ランダウ核

ランダウ核はドイツの数論学者エドムント・ランダウにちなんで名付けられました。この核は以下のように定義される総和可能性核です: ^[1]

$L_{n}(t)={\begin{cases}{\frac {(1-t^{2})^{n}}{c_{n}}}&{\text{if }}{-1}\leq t\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ ここで係数は次のように定義されます。 $c_{n}$

$c_{n}=\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt.$

視覚化

部分積分を用いると次のことが示せる: ^[2] 従って、ランダウ核は次のように定義できる。 $c_{n}={\frac {(n!)^{2}\,2^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)}}.$ $L_{n}(t)={\begin{cases}(1-t^{2})^{n}{\frac {(2n)!(2n+1)}{(n!)^{2}\,2^{2n+1}}}&{\text{for }}t\in [-1,1]\\0&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$

この関数をnの異なる値に対してプロットすると、 nが無限大に近づくにつれて、ディラックのデルタ関数に近づくことがわかります。これは図^[1]に見られるように、次の関数がプロットされています。 $L_{n}(t)$

プロパティ

ランダウ核の一般的な性質として、非負かつ上で連続であることが挙げられます。これらの性質については、次の節でより具体的に説明します。 $\mathbb {R}$

ディラック列

定義: ディラック列—ディラック列は、次の特性を満たす関数の列です。 $\{K_{n}(t)\}$ $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$K_{n}(t)\geq 0,\,\,\forall t\in \mathbb {R} {\text{ および }}\forall n\in \mathbb {Z}$
$\int _{-\infty }^{\infty }K_{n}(t)\,dt=1,\,\forall n$
$\forall \varepsilon >0\,\forall \delta >0\,\exists N\in \mathbb {Z} _{+}\,\forall n\geq N:$
${}\quad \int _{\mathbb {R} \smallsetminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{-\delta }K_{n}(t)\,dt+\int _{\delta }^{\infty }K_{n}(t)\,dt<\varepsilon$

3番目の箇条書きは、 nが無限大に近づくにつれて、関数のグラフの下の面積が原点近くに集中することを意味します。この定義から、次の定理が導き出されます。 $y=K_{n}(t)$

定理—ランダウ核の列はディラック列である

証明：3番目の性質のみを証明する。そのために、次の補題を導入する。

補題—係数は次の関係を満たす。 $c_{n}\geq {\frac {2}{n+1}}$

補題の証明:

上記の係数の定義を用いると、被積分関数は偶数であることが分かるので、補題の証明は次のように書ける。この補題の系は次の通りである。 ${\frac {c_{n}}{2}}=\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt=\int _{0}^{1}(1-t)^{n}(1+t)^{n}\,dt\geq \int _{0}^{1}(1-t)^{n}\,dt={\frac {1}{1+n}}$

帰結—すべての肯定的、現実的 $\delta :$ $\int _{\mathbb {R} \smallsetminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$

参照

参考文献

^ ab Terras, Audrey (2009年5月25日). 「講義8. ディラックとワイエルシュトラス」(PDF) .
^ ヒルバー、クーラント。数理物理学の方法、第1巻、p.84。

[:0-1] Terras, Audrey (2009年5月25日). 「講義8. ディラックとワイエルシュトラス」(PDF) .

[2] ヒルバー、クーラント。数理物理学の方法、第1巻、p.84。