ランツベルク・シャール関係

数論と調和解析 において、ランツベルク・シャール関係式（または恒等式）は次の式で表され、任意の正の整数pとqに対して有効です。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right).}$

これを証明する標準的な方法^[1]は、τ  =  ⁠IQ2​/p⁠  +  ε、ここでε > 0 となるのは、この恒等式におけるJacobi の 法則によるものです（これは本質的には古典的な調和解析におけるポアソン和公式の特殊なケースです）。

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}\tau }={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi {\frac {n^{2}}{\tau }}}}$

そしてε  → 0とします。

有限手法のみを用いた証明は2018年にベン・ムーアによって発見された。^{[2] [3]}

q = 1とすると、この恒等式はpを法とする二次ガウス 和の式に簡約されます。

ランツベルク・シャール恒等式は、より対称的に次のように言い換えることができる。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{\sqrt {q}}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{q}}\right)}$

ただし、 pqは偶数である という仮説を追加します。

参考文献

1. Dym, H.; McKean, H. P. (1972).フーリエ級数と積分. アカデミック・プレス. ISBN 978-0122264511。
2. Moore, Ben (2020-12-01). 「有限法によるLandsberg–Schaar関係の証明」. The Ramanujan Journal . 53 (3): 653– 665. arXiv : 1810.06172 . doi :10.1007/s11139-019-00195-4. ISSN  1572-9303. S2CID  55876453.
3. Moore, Ben (2019-07-17). 「有限法によるLandsberg-Schaar関係式の証明」arXiv : 1810.06172 [math.NT].