数学の一分野である表現論において、簡約代数群Gのラングランズ双対 L G（GのL群とも呼ばれる）は、 Gの表現論を司る群である。G が体k上で定義されている場合、L G は複素リー群によるkの絶対ガロア群の拡張である。また、 L群のヴェイユ形式と呼ばれる変形もあり、これはガロア群をヴェイユ群に置き換えたものである。ここで、名前の文字Lは、 L 関数、特に保型L 関数の理論との関連も示している。ラングランズ双対は、ラングランズ (1967) がA. ヴェイユに宛てた手紙の中で導入された。
L群は、ロバート・ラングランズのラングランズ予想において頻繁に用いられている。これは、k が大域体であるとき、群Gにおいて保型形式がある意味で関数的であるという考えから、より正確な表現を導き出すために用いられる。保型形式と表現が関数的であるのはGそのものというわけではなく、 L Gである。これは、ある群からより大きな群への形式の「持ち上げ」や、体拡大後に同型となる特定の群が関連する保型表現を持つという一般的な事実など、多くの現象を理解する上で役立つ。
分離閉体の定義
分離閉体K上の簡約代数群から、そのルートデータ( X * , Δ, X * , Δ v ) を構築できます。ここで、 X *は最大トーラスの指標の格子、X *は双対格子 (1-パラメータ部分群によって与えられる)、 Δ はルート、 Δ v はコルートです。K 上の連結な簡約代数群は、そのルートデータによって (同型性を除いて) 一意に決定されます。ルートデータは群の中心も決定するため、 ディンキン図 よりもわずかに多くの情報を含んでいます。
任意のルート データ ( X *、Δ、X *、Δ v ) に対して、特性を 1 パラメータ サブグループと交換し、ルートをコルートと交換することで、デュアル ルート データ( X *、Δ v、X *、Δ) を定義できます。
G が代数閉体K上の連結簡約代数群である場合、そのラングランズ双対群 L G は、ルートデータがGのルートデータと双対である複素連結簡約群です。
例：ラングランズ双対群L GはGと同じディンキン図を持つが、 B n型の成分がC n型の成分に、あるいはその逆に変更されている。Gが自明な中心を持つ場合、L Gは単連結であり、Gが単連結である場合、 L G は自明な中心を持つ。GL n ( K )のラングランズ双対はGL n ( C )である。
より一般的な体上の群の定義
ここで、G が、ある体k上の可分閉包Kを持つ簡約群であるとする。K 上、 Gはルートデータを持ち、これはガロア群Gal ( K / k )の作用を伴う。L 群の恒等成分L G oは、双対ルートデータの連結複素簡約群であり、これはガロア群Gal ( K / k )の誘導作用を伴う。完全なL群L Gは、半直積である 。
- L G = L G o × Gal ( K / k )
連結成分とガロア群の関係。
Lグループの定義には、次のようにいくつかのバリエーションがあります。
- 分離閉包の完全なガロア群Gal ( K / k )を用いる代わりに、 Gを分割する有限拡大のガロア群を用いることができる。この場合、対応する半直積は有限個の成分のみを持ち、複素リー群となる。
- k が局所体、大域体、または有限体であるとする。k の絶対ガロア群の代わりに、絶対ヴェイユ群を用いることができる。ヴェイユ群はガロア群への自然な写像を持ち、したがってルートデータにも作用する。対応する半直積はL群のヴェイユ形式と呼ばれる。
- 有限体上の代数群Gに対して、ドリーニュとリュスティグは異なる双対群を導入した。以前と同様に、G は有限体の絶対ガロア群の作用を持つ根元を与える。したがって、双対群 G *は、ガロア群の誘導作用を持つ双対根元に付随する有限体上の簡約代数群となる。（この双対群は有限体上に定義され、ラングランズ双対群の成分は複素数上に定義される。）
アプリケーション
ラングランズ予想は、非常に大まかに言えば、Gが局所体または大域体上の簡約代数群である場合、Gの「良い」表現と、ガロア群（またはヴェイユ群、あるいはラングランズ群）のGのラングランズ双対群への準同型写像との間に対応関係が存在することを示唆する。この予想をより一般的に定式化したものがラングランズ関手性であり、これは（大まかに言えば）ラングランズ双対群間の（振る舞いの良い）準同型写像が与えられた場合、対応する群の「良い」表現の間に誘導写像が存在するはずである、というものである。
この理論を明確にするためには、L群から別のL群へのL準同型の概念を定義する必要がある。つまり、L群は圏に定義されなければならず、それによって「関数性」が意味を持つ。複素リー群上の定義は予想通りであるが、L準同型はヴェイユ群「上」でなければならない。
参考文献
- A. Borel、保型L関数、保型形式、表現、およびL関数 Archived 2006-12-06 at the Wayback Machine、ISBN 0-8218-1437-0
- ラングランズ、R.（1967）、A.ヴァイルへの手紙
- ミルコビッチ, I.; ヴィロネン, K. (2007)、「幾何学的ラングランズ双対性と可換環上の代数群の表現」、Annals of Mathematics、第2集、166 (1): 95– 143、arXiv : math/0401222、doi :10.4007/annals.2007.166.95、ISSN 0003-486X、MR 2342692Gの双対群をGのアフィングラスマン多様体の幾何学の観点から記述します。
