非回転流のラプラス方程式

非回転流は、流体の流れ場において速度の回転がゼロとなる領域に存在します。つまり、 $\nabla \times {\vec {v}}=0$

同様に、流体が非圧縮性であると仮定した場合： $\rho (x,y,z,t)=\rho {\text{ (定数)}}$

次に、連続方程式から始めます。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})=0$

非圧縮性の条件は、密度の時間微分が 0 であり、密度が発散から引き出されて分割され、非圧縮システムの連続方程式が残ることを意味します。 $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$

さて、ヘルムホルツ分解を用いると、速度はスカラーポテンシャルの勾配とベクトルポテンシャルの回転の和として表すことができます。つまり、 ${\vec {v}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\vec {A}}$

次のような条件を課すことに注意する $\nabla \times {\vec {v}}=0$ $\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=0$

勾配の回転は常に0です。関数の回転が一様に0になるのは、ベクトルポテンシャル自体が0である場合のみであることに注意してください。したがって、非回転流の条件により、次の式が成り立ちます。 ${\vec {v}}=-\nabla \phi$

そして、連続方程式を使用して、スカラーポテンシャルを代入し、非回転流のラプラス方程式を見つけることができます。 $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$

$\nabla ^{2}\phi =0\,$

ラプラス方程式はよく研究されている線形偏微分方程式であることに注意してください。その解は無限にありますが、境界条件によって速度ポテンシャルが完全に決定されるため、物理系を考える際にはほとんどの解は無視できます。

一般的な境界条件の例には、によって決定される流体の速度がシステムの境界上で 0 になることが含まれます。 ${\vec {v}}=-\nabla \phi$

非回転流を研究する理由はたくさんありますが、その中には次のようなものがあります。

参照