半順序グループ

抽象代数では、半順序群は、並進不変の半順序"≤"を備えた群( G、 +)です。言い換えると、 "≤" は、 Gのすべてのa、b、gについて、a ≤ bであればa + g ≤ b + gかつg + a ≤ g + bという特性を持ちます。

Gの元xは、 0 ≤ xのとき正元と呼ばれます。 0 ≤ xの元の集合はしばしばG ⁺と表記され、Gの正錐と呼ばれます。

並進不変性により、 a ≤ b が成り立つのは、0 ≤ - a + bのときのみである。したがって、半順序はモナド的な性質、すなわちa ≤ b が成り立つのは- a + b ∈ G ⁺のときのみである、という式に簡約できる。

一般群Gにおいて、正錐の存在はG上の順序を規定する。群Gが部分的に順序付け可能な群であるためには、Gの部分集合H ( G ⁺ )が存在し、次の条件を満たす必要がある。

• 0 ∈ H
• もしa∈Hかつb∈Hならばa + b∈Hである。​​​
• もしa∈Hならば、 Gの各xに対して-x + a + x∈Hとなる。
• a ∈ Hかつ- a ∈ Hならばa = 0

正錐G ⁺を持つ半順序群Gは、ある正の整数nに対してn · g ∈ G ^+が成り立つとき、 g ∈ G ⁺となるとき、無孔群であると言われる。無孔群とは、正錐G ⁺に「隙間」がないことを意味する。

群の順序が線型順序である場合、それは線型順序群と呼ばれます。群の順序が格子順序である場合、つまり任意の2つの元に最小の上界がある場合、それは格子順序群（略してl-群とも呼ばれますが、通常はl: ℓ-群という 表記で表記されます）と呼ばれます。

リース群は、格子順序群よりもわずかに弱い性質を持つ、非穿孔半順序群である。すなわち、リース群はリース補間性質を満たす。すなわち、 x ₁、x ₂、y ₁、y _2がGの元であり、x _i ≤ y _jであるとき、 x _i ≤ z ≤ y _jを満たすz ∈ Gが存在する。

GとH が2つの半順序群である場合、 GからHへの写像は、群準同型かつ単調関数であるとき、半順序群の射である。半順序群は、この射の概念とともに、圏を形成する。

半順序群は、体の値の定義に使用されます。

例

• 通常の順序の整数
• 順序ベクトル空間は半順序群である
• リース空間は格子順序群である
• 半順序群の典型的な例はZ ⁿです。ここで、群の演算は成分ごとの加算であり、すべてのi = 1,... , nに対してa _i ≤ b _i (通常の整数順序) である場合に限り、 ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n )と記述します。
• より一般的には、Gが半順序群であり、X が何らかの集合である場合、 XからGへのすべての関数の集合もまた半順序群である。つまり、すべての演算は成分ごとに実行される。さらに、Gのすべての部分群は半順序群である。つまり、 Gから順序を継承する。
• Aが近似的に有限次元C*-代数である場合、またはより一般的には、Aが安定的に有限な単位C*-代数である場合、K ₀ ( A )は半順序アーベル群である。(Elliott, 1976)

プロパティ

アルキメデスの

実数のアルキメデスの性質は、半順序群に一般化できます。

性質：任意の に対して が成り立つとき、かつ すべてのに対してが成り立つとき、半順序群はアルキメデス的群と呼ばれます。同様に、 のとき、任意の に対して が成り立つとき、となるものが存在し、 となります。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle e\leq a\leq b}$ ${\displaystyle a^{n}\leq b}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle a\neq e}$ ${\displaystyle b\in G}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b<a^{n}}$

一体型密閉

半順序群Gが整閉群であるとは、 Gのすべての元aとbに対して、すべての自然数nに対してa ⁿ ≤ bであればa ≤ 1 が成り立つことを言う。^[1]

この性質は、半順序群がアルキメデス的であるという事実よりもいくぶん強い。ただし、格子順序群が整閉であることとアルキメデス的であることは同値である。^{[2]すべての整}閉有向群は既にアーベル的である という定理がある。これは、有向群が完全格子順序群に埋め込み可能であるのは、それが整閉である場合のみであるという事実と関係している。 ^[1]

参照

• 循環順序グループ ​​ – グループ演算によって循環順序が尊重されるグループ
• 線型順序群 – 並進不変な全順序を持つ群
• 順序体 – 順序構造を持つ代数的対象
• オーダーリング
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序環 – 互換性のある半順序を持つ環
• 半順序空間 – 半順序位相空間

注記

1. グラス (1999)
2. バーコフ（1942）

参考文献

• M. アンダーソン、T. ファイル、「格子順序群：入門」、D. ライデル、1988 年。
• バーコフ、ギャレット (1942). 「格子順序群」 . 『数学年報』 . 43 (2): 313. doi :10.2307/1968871. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968871.
• MR Darnel、「格子順序群の理論」、純粋および応用数学の講義ノート 187、Marcel Dekker、1995 年。
• L. フックス、「Partially Ordered Algebraic Systems」、Pergamon Press、1963 年。
• グラス, AMW (1982).順序付き順列群. doi :10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908。
• グラス, AMW (1999). 半順序群. ワールド・サイエンティフィック. ISBN 981449609X。
• VMコピトフ、AIココリン（D.ルーヴィッシュ訳）、Fully Ordered Groups、Halsted Press（John Wiley & Sons）、1974年。
• VM Kopytov と N. Ya. Medvedev、「右順序群」、Siberian School of Algebra and Logic、Consultants Bureau、1996 年。
• コピトフ, VM; メドヴェージェフ, N. Ya. (1994).格子順序群の理論. doi :10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7。
• RB Mura と A. Rhemtulla、「順序可能群」、純粋および応用数学の講義ノート 27、Marcel Dekker、1977 年。
• ブライス、TS (2005).格子と順序付き代数構造. Universitext. doi :10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5。、第9章。
• エリオット, ジョージ A. (1976). 「半単純有限次元代数の列の帰納的極限の分類について」.代数ジャーナル. 38 : 29–44 . doi :10.1016/0021-8693(76)90242-8.

さらに読む

エヴェレット, CJ; ウラム, S. (1945). 「順序群について」.アメリカ数学会誌. 57 (2): 208– 216. doi : 10.2307/1990202 . JSTOR  1990202.

外部リンク

• コピトフ、VM (2001) [1994]、「半順序群」、数学百科事典、EMSプレス
• コピトフ、VM (2001) [1994]、「格子順序群」、数学百科事典、EMSプレス
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