全積分の法則

確率論と数理 統計学において、全キュムラントの法則は、全確率の法則、全期待値の法則、全分散の法則をキュムラントに一般化したものであり、時系列解析に応用されている。この法則はデイヴィッド・ブリリンガーによって提唱された。[1]

最も分かりやすいのは、特定の順序のキュムラントを1つの確率変数について記述するのではなく、結合キュムラントについて記述する最も一般的な形式である。一般に、

κ ( X 1 , … , X n ) = ∑ π κ ( κ ( X i : i ∈ B ∣ Y ) : B ∈ π ) , {\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{i}:i\in B\mid Y):B\in \pi ),}

どこ

  • κ ( X 1 , ...,  X n ) はn 個の確率変数X 1 , ...,  X nの結合キュムラントであり、
  • 合計はインデックスの集合{1, ...,  n }のすべてのパーティション にわたっており 、 π {\displaystyle \pi }
  • 「B ∈ π ;」は、Bがパーティションπの「ブロック」のリスト全体を実行することを意味し、
  • κ ( X i  :  i  ∈  B  |  Y ) は、確率変数Yの値が与えられた条件付きキュムラントです 。したがって、κ はそれ自体が確率変数、つまり確率変数 Yの関数です。

例

1つのランダム変数だけの特別なケースとn= 2または3

n = 2 または 3 の場合にのみ、 n次キュムラントはn次中心モーメントと一致します。n = 2 の場合は よく知られています（全分散の法則を参照）。以下はn = 3の場合です。μ 3という表記 は、3 次中心モーメントを意味します。

μ 3 ( X ) = E ⁡ ( μ 3 ( X ∣ Y ) ) + μ 3 ( E ⁡ ( X ∣ Y ) ) + 3 cov ⁡ ( E ⁡ ( X ∣ Y ) , var ⁡ ( X ∣ Y ) ) . {\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}

一般的な4次結合キュムラント

一般的な 4 次キュムラントの場合、この規則により、次のように 15 項の合計が得られます。

κ ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = κ ( κ ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 2 , X 3 ∣ Y ) , κ ( X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 2 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 3 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 3 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 2 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 2 , X 3 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 1 ∣ Y ) ) } ( partitions of the  3 + 1  form ) + κ ( κ ( X 1 , X 2 ∣ Y ) , κ ( X 3 , X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 3 ∣ Y ) , κ ( X 2 , X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 2 , X 3 ∣ Y ) ) } ( partitions of the  2 + 2  form ) + κ ( κ ( X 1 , X 2 ∣ Y ) , κ ( X 3 ∣ Y ) , κ ( X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 3 ∣ Y ) , κ ( X 2 ∣ Y ) , κ ( X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 1 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 2 ∣ Y ) , κ ( X 3 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 2 , X 3 ∣ Y ) , κ ( X 1 ∣ Y ) , κ ( X 4 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 2 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 1 ∣ Y ) , κ ( X 3 ∣ Y ) ) + κ ( κ ( X 3 , X 4 ∣ Y ) , κ ( X 1 ∣ Y ) , κ ( X 2 ∣ Y ) ) } ( partitions of the  2 + 1 + 1  form ) + κ ( κ ( X 1 ∣ Y ) , κ ( X 2 ∣ Y ) , κ ( X 3 ∣ Y ) , κ ( X 4 ∣ Y ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})\\[5pt]={}&\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}3+1{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}2+2{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}2+1+1{\text{ form}})\\[5pt]&{\begin{matrix}{}+\kappa (\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y)).\end{matrix}}\end{aligned}}}

複合ポアソン確率変数のキュムラント

Y が期待値λのポアソン分布を持ち、X が互いに 独立しておりYからも独立したWのY個のコピーの合計であるとします。  

X = ∑ y = 1 Y W y . {\displaystyle X=\sum _{y=1}^{Y}W_{y}.}

ポアソン分布のキュムラントはすべて互いに等しく、したがってこの場合は λに等しい。また、確率変数W 1 , ..., W mが独立である場合、n番目のキュムラントは加法性を持つことも思い出してほしい。

κ n ( W 1 + ⋯ + W m ) = κ n ( W 1 ) + ⋯ + κ n ( W m ) . {\displaystyle \kappa _{n}(W_{1}+\cdots +W_{m})=\kappa _{n}(W_{1})+\cdots +\kappa _{n}(W_{m}).}

Xの4次キュムラントを求めます。以下の式が成り立ちます。

κ 4 ( X ) = κ ( X , X , X , X ) = κ 1 ( κ 4 ( X ∣ Y ) ) + 4 κ ( κ 3 ( X ∣ Y ) , κ 1 ( X ∣ Y ) ) + 3 κ 2 ( κ 2 ( X ∣ Y ) ) + 6 κ ( κ 2 ( X ∣ Y ) , κ 1 ( X ∣ Y ) , κ 1 ( X ∣ Y ) ) + κ 4 ( κ 1 ( X ∣ Y ) ) = κ 1 ( Y κ 4 ( W ) ) + 4 κ ( Y κ 3 ( W ) , Y κ 1 ( W ) ) + 3 κ 2 ( Y κ 2 ( W ) ) + 6 κ ( Y κ 2 ( W ) , Y κ 1 ( W ) , Y κ 1 ( W ) ) + κ 4 ( Y κ 1 ( W ) ) = κ 4 ( W ) κ 1 ( Y ) + 4 κ 3 ( W ) κ 1 ( W ) κ 2 ( Y ) + 3 κ 2 ( W ) 2 κ 2 ( Y ) + 6 κ 2 ( W ) κ 1 ( W ) 2 κ 3 ( Y ) + κ 1 ( W ) 4 κ 4 ( Y ) = κ 4 ( W ) λ + 4 κ 3 ( W ) κ 1 ( W ) λ + 3 κ 2 ( W ) 2 + 6 κ 2 ( W ) κ 1 ( W ) 2 λ + κ 1 ( W ) 4 λ = λ E ⁡ ( W 4 ) (the punch line -- see the explanation below). {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{4}(X)={}&\kappa (X,X,X,X)\\[8pt]={}&\kappa _{1}(\kappa _{4}(X\mid Y))+4\kappa (\kappa _{3}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+3\kappa _{2}(\kappa _{2}(X\mid Y))\\&{}+6\kappa (\kappa _{2}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+\kappa _{4}(\kappa _{1}(X\mid Y))\\[8pt]={}&\kappa _{1}(Y\kappa _{4}(W))+4\kappa (Y\kappa _{3}(W),Y\kappa _{1}(W))+3\kappa _{2}(Y\kappa _{2}(W))\\&{}+6\kappa (Y\kappa _{2}(W),Y\kappa _{1}(W),Y\kappa _{1}(W))+\kappa _{4}(Y\kappa _{1}(W))\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\kappa _{1}(Y)+4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\kappa _{2}(Y)+3\kappa _{2}(W)^{2}\kappa _{2}(Y)\\&{}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\kappa _{3}(Y)+\kappa _{1}(W)^{4}\kappa _{4}(Y)\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\lambda +4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\lambda +3\kappa _{2}(W)^{2}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\lambda +\kappa _{1}(W)^{4}\lambda \\[8pt]={}&\lambda \operatorname {E} (W^{4})\qquad {\text{(the punch line -- see the explanation below).}}\end{aligned}}}

最後の和は、集合 { 1, 2, 3, 4 } のすべての分割について、その分割のすべてのブロックについて、ブロックの大きさに等しい位数のWのキュムラントの積を合計したものであると理解できます。これはまさにWの4 次モーメントです（この事実に関するより簡潔な議論についてはキュムラントの項を参照）。したがって、 XのキュムラントはWのモーメントにλを乗じた ものになります。

このようにして、すべてのモーメント列はキュムラント列でもあることがわかります (逆は成り立ちません。偶数次 ≥ 4 のキュムラントは負になる場合があり、正規分布のキュムラント列はどの確率分布のモーメント列でもないため)。

ベルヌーイ確率変数の条件付け

Y  = 1 の確率が pで、Y  = 0 の確率が q  = 1 −  pであるとする。Yが与えられた場合のXの条件付き確率分布が、Y  = 1の場合にはF 、 Y = 0の場合にはGであるとする。 すると 、

κ n ( X ) = p κ n ( F ) + q κ n ( G ) + ∑ π < 1 ^ κ | π | ( Y ) ∏ B ∈ π ( κ | B | ( F ) − κ | B | ( G ) ) {\displaystyle \kappa _{n}(X)=p\kappa _{n}(F)+q\kappa _{n}(G)+\sum _{\pi <{\widehat {1}}}\kappa _{\left|\pi \right|}(Y)\prod _{B\in \pi }(\kappa _{\left|B\right|}(F)-\kappa _{\left|B\right|}(G))}

ここでπは{1, ...,  n }の最も粗い分割よりも細かい分割であることを意味する 。つまり、和はその分割を除くすべての分割についてである。例えばn  = 3の 場合、 π < 1 ^ {\displaystyle \pi <{\widehat {1}}}

κ 3 ( X ) = p κ 3 ( F ) + q κ 3 ( G ) + 3 p q ( κ 2 ( F ) − κ 2 ( G ) ) ( κ 1 ( F ) − κ 1 ( G ) ) + p q ( q − p ) ( κ 1 ( F ) − κ 1 ( G ) ) 3 . {\displaystyle \kappa _{3}(X)=p\kappa _{3}(F)+q\kappa _{3}(G)+3pq(\kappa _{2}(F)-\kappa _{2}(G))(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))+pq(q-p)(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))^{3}.}

参考文献

  1. ^ David Brillinger、「条件付けによるキュムラントの計算」、Annals of the Institute of Statistical Mathematics、第21巻（1969年）、215～218頁。
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