ウィリアム・ローヴェア
アメリカの数学者、哲学者 (1937–2023)
ウィリアム・ローヴェア
フィレンツェのローヴェレ、2003年
誕生
フランシス・ウィリアム・ローヴェア

（1937年2月9日）1937年2月9日
アメリカ合衆国インディアナ州マンシー
死去2023年1月23日(2023年1月23日)（享年85歳）
米国ノースカロライナ州チャペルヒル
出身校コロンビア大学
著名な
賞トスカーナ州議会より「ジュリオ・プレティ賞」（2010年）を授与
科学的なキャリア
分野数学
研究機関リード大学、チューリッヒ工科大学、シカゴ大学、ニューヨーク市立大学大学院、ダルハウジー大学、ペルージャ大学、ニューヨーク州立大学バッファロー校
博士課程指導教員サミュエル・アイレンバーグ

フランシス・ウィリアム・ローヴェア（/ l ɔː ˈ v ɪər / ; 1937年2月9日 - 2023年1月23日）は、アメリカの数学者、哲学者であり、圏論、トポス理論、数学の哲学における基礎的研究で知られている。彼は代数理論を圏として導入し、数学の代替的基礎として集合の圏の初等理論（ETCS）を開発し、圏論的論理を創始し、トポス理論の分野の共同創始者となった。彼の研究の中心テーマは、圏論的方法に基づく古典的連続体力学と物理学の厳密な数学的基礎の探求であった。

経歴

インディアナ州マンシーに生まれ、マシューズ郊外の農場で育ったローヴェアは、1955年にインディアナ大学で学び始めました。[1]そこで、クリフォード・トゥルーズデルに連続体力学を、アラン・ドナガンに哲学を学びました。[2]トゥルーズデルのために関数解析の講義を準備しているときに、ジョン・L・ケリーの教科書『一般位相幾何学』の問題から圏論を学びました。ローヴェアは、圏論がトゥルーズデルとウォルター・ノルの物理的アイデアのための単純で厳密な公理を作成するための有望な枠組みであると気づきました。トゥルーズデルは、 1960年にコロンビア大学で圏論の創始者であるサミュエル・アイレンバーグに師事するためのローヴェアの申請を支持しました。[2]

ローヴェアは博士号取得前の1961年から62年にかけて、カリフォルニア大学バークレー校でモデル理論と集合論の非公式な学生として過ごし、アルフレッド・タルスキとダナ・スコットの講義を聴講した。[2]リード大学での最初の教職において、彼は写像の合成に関する最初の公理を開発し、これが後に集合の圏の初等理論（1964年）へと発展した。[3]

ローヴェレは1963年にコロンビア大学でアイレンベルクの指導の下、博士号を取得した。1964年から1967年にかけて、チューリッヒ工科大学数学研究所で圏の圏について研究し、オーバーヴォルフアッハで行われたピエール・ガブリエルによるグロタンディークの代数幾何学の基礎に関するセミナーから影響を受けた。その後、シカゴ大学（1967～1968年）でマック・レーンの指導の下、またニューヨーク市立大学大学院（1968～1969年）でアレックス・ヘラーの指導の下、教鞭を執った。1968年から1969年にかけて、再びチューリッヒ工科大学に戻った。[4]

1969年、ダルハウジー大学はキラム助成金の支援を受け、ローヴェアを筆頭とする15名の研究者からなる研究グループを設立した。しかし、大学は1971年にグループを解散し、ローヴェアを解雇した。その理由は、ローヴェアの政治活動と許可なく数学史を教えたことを理由とした。[5]この解雇は学生からの激しい抗議を引き起こした。[6]こうした論争にもかかわらず、1995年にはダルハウジー大学で圏論50周年記念式典が開催され、ローヴェアとサンダース・マクレーンが出席した。

ダルハウジー大学を去った後、ローヴェレはイタリアのペルージャでセミナーを開催し（1972年から1974年まで）、エンリッチド・カテゴリーに関する研究を行った。1974年、バッファロー大学の数学教授に就任し、2000年に退職するまでその職を務め、スティーブン・シャヌエルと共同研究を行った。1977年、5年間の任期でマーティン数学教授に選出され、1982年に「連続体物理学におけるカテゴリー」に関する会議を開催した。バッファロー大学の数学 名誉教授であり、哲学の名誉非常勤教授でもあった。

ローヴェアは長い闘病の末、2023年1月23日にノースカロライナ州チャペルヒルで85歳で亡くなった。[1] [7]

数学的研究

ローヴェアの研究は、数学的および物理学的概念に単純で一般的な基礎を与えるために圏論を用いることを特徴としている

範疇論理と代数理論

ローヴェアの1963年の博士論文「代数理論の関数的意味論」は、普遍代数の枠組みとしてカテゴリーのカテゴリーを導入した。[8]現在ローヴェア理論として知られるこの研究は、代数理論自体をカテゴリーとして、そのモデルを関数として扱った。

シカゴ大学での圏論的力学に関する講義はトポス理論への一歩となり、ニューヨーク市立大学でのハイパードクトリンに関する講義は圏論的論理を発展させた。この時期の重要な発見は、論理の存在量化子と普遍量化子が置換関数の随伴関数として特徴付けられることであった。 [9]これは論理と幾何学の深いつながりを明らかにし、彼の研究全体に浸透するテーマとなっている。

トポス理論と強化されたカテゴリー

1968年から1969年にかけてチューリッヒに戻ったローヴェレは、トポスの基本（一階）公理を提唱し、グロタンディークのトポスの概念を一般化した（トポス理論の歴史を参照）。彼は代数位相学者のマイルス・ティアニーと共同でこの理論の解明と応用に取り組んだ。ティアニーはグロタンディークの「位相」の記述において大きな単純化を発見した。ローヴェレはグロタンディークの位相は部分対象表現上の自己準同型として完全に記述できることを指摘し、ティアニーはそれが満たすべき条件は冪等性と有限交差の保存だけであることを示した。これらのローヴェレ-ティアニー位相は、部分トポスを層圏として決定するため、代数幾何学とモデル理論の両方において重要である。アンダース・コックは後にさらなる単純化を発見し、基本的なトポスは、マップ空間とサブオブジェクトの概念を表現できる積とイコライザーを持つカテゴリとして単純に記述できるようになりました。

ペルージャ在籍中、ローヴェレは様々な種類のエンリッチド・カテゴリについて研究した。この枠組みでは、 2つのオブジェクト間のホム集合が、他のカテゴリ内のオブジェクトに置き換えられる。代表的な例として、計量空間は非負実数上のエンリッチド・カテゴリと見なすことができる。この場合、オブジェクトは空間の点であり、任意の2点 と に対して、「ホムオブジェクト」は距離 である。この合成法則は三角不等式に対応する。[10] × {\displaystyle x} y {\displaystyle y} d （ × 、 y ） {\displaystyle d(x,y)}

物理学と連続体力学の研究

ローヴェアの研究の中心的な動機は、物理学、特に古典力学の厳密な数学的基礎の探求であった。[11]あるインタビューで、彼は初期の研究を次のように回想している。

私は1955年から1960年1月までインディアナ大学に在籍していました。実験物理学は好きでしたが、理論科目の一部に見られる曖昧な推論には不満を感じていました。そこでまず数学を学ぶことにしました。トゥルーズデルは数学科にいましたが、工学物理学にも深い知識を持っていました。彼は1955年から（そしてその後も）、私の教育を担当し、連続体力学と運動論の研究を進めるよう助言してくれました。[2]

これにより彼は「連続体物理学の基礎を簡素化するにはカテゴリーが明らかに重要である」と信じるようになった。[2]

彼は物理法則を圏論の言語で直接表現できる「総合物理学」を構想した。1967年のシカゴ講義における圏論的力学とそれに続く総合微分幾何学の発展は、この方向への大きな一歩となった。[12]このプログラムは、マーティン教授職によって実現した1982年のバッファロー会議「連続体物理学における圏論」で最高潮に達した。この会議には、クリフォード・トゥルーズデルをはじめ、連続体物理学の合理的基礎と総合微分幾何学を研究する他の数名の研究者が参加した。[13]議事録の序文で、ローヴェアは不必要な解析的複雑さを排除した、物理的概念のための厳密かつ柔軟な基盤を求める自身の探求について詳述した。

哲学と弁証法の研究

ローヴェレの研究は哲学と深く絡み合っていた。彼はカテゴリー理論の精密さを用いて、形而上学と認識論、特にゲオルク・ヘーゲル哲学の概念を明確化し、形式化しようと努めた。[11]彼は、客観論理と主観論理、アウフヘービング（存在と生成）、強度量と強度量といったヘーゲル的概念のカテゴリー的形式化を提唱した。[11]

彼は、圏論が対立概念の統一といった弁証法的な概念をモデル化するための適切なツールを提供すると主張した。ローヴェアにとって、随伴関手の概念は対立概念の統一の代表的な例であり、一見相反する二つの概念（論理と幾何学、あるいは統語論と意味論など）を正確な数学的関係で結びつけるものである。[14]

ローヴェアは1992年の著書『空間と量のカテゴリー』の中で次のように書いている。

今後数十年、そして来世紀において、弁証法哲学は科学の進歩において大きな役割を果たすだろうと私は確信している。しかし、真剣に研究されなければ、それは不可能であろう。…この対決に貢献するという精神のもと、私は、弁証法にとって極めて重要な哲学的区別、例えば一般と特殊、客観と主観、存在と生成の区別について、カテゴリー理論家が精密な数学モデルを提供することで成し遂げてきた進歩について論じたい。[15]

彼はこのプロジェクトがヘルマン・グラスマンと彼のAusdehnungslehreのような初期の数学者たちの研究の継続であるとみなした。[16]

政治的見解と活動

ローヴェアは生涯を通じて熱心なマルクス・レーニン主義者であった。彼は自身の政治的立場が科学的・哲学的研究と深く結びついていると認識していた。1971年、ベトナム戦争とカナダ政府による戦時措置法の行使に声高に反対したため、ダルハウジー大学を解雇された。[4] [6]

ローヴェアは数学的著作にしばしば哲学的・政治的概念を織り込んだ。1970年の論文「量化子と層」では、随伴関数という数学的概念を対立物の統一という弁証法的原理と結びつけ、毛沢東の論文「矛盾について」やウラジーミル・レーニンの知識論を引用している。[17]同論文の一節で、彼は次のように述べている。

物事の主要な矛盾が発見されると、科学的手法はそれをスローガンにまとめ、それを事物の更なる発展と変革のためのイデオロギー的武器として絶えず用いることにある。「集合論」においてこれを行うには、数学における主要な対立傾向の対が随伴関数の形をとるという経験を考慮する必要があり、形而上学的「構築」の各段階において冪集合(P)を蓄積(∪)する過程によって残される数学的に無関係な痕跡(∈)から解放される。

受賞歴

選書

  • 1986年連続体物理学のカテゴリー（ニューヨーク州バッファロー、1982年）、ローヴェアとスティーブン・H・シャヌエル編（ローヴェアによる序文pp 1-16）、シュプリンガー数学講義ノート1174。ISBN 3-540-16096-5電子書籍
  • 2003年（2002年）『数学のための集合』（ロバート・ローズブラとの共著）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-01060-8。
  • 2009年『概念数学：カテゴリー入門』（スティーブン・H・シャヌエル共著）。ケンブリッジ大学出版局、第2版。ISBN 978-0521719162; 1997年 pbk版

参照

参考文献

  1. ^ ab 「F・ウィリアム・ローヴェアを偲んで」バッファロー大学。2023年2月15日
  2. ^ abcde ピカド、ホルヘ。 「F. ウィリアム・ロービア氏へのインタビュー」(PDF)。コインブラ大学。
  3. ^ Lawvere, FW (2005). 「集合の圏の基本理論（長編）解説付き」（PDF） .圏の理論と応用. 2024年8月5日閲覧。
  4. ^ ab Kock, Anders (2023). 「F. William Lawvere (1937–2023): 数学の統一に向けた生涯にわたる闘い」.ヨーロッパ数学会(128): 36– 40. doi : 10.4171/mag/143 .
  5. ^ ウェイト、P. (1997). 『ダルハウジー大学の軌跡：1925-1980年、変貌を遂げた旧校舎』マギル・クイーンズ出版社、317-319頁
  6. ^ ab 「F・ウィリアム・ローヴェア追悼」カナダ共産党（マルクス・レーニン主義）。2023年1月。
  7. ^ アンダーソン、デール（2023年2月14日）「高度な数学を変革したバッファロー大学の教授、F・ウィリアム・ローヴェア博士（85歳）」バッファロー・ニュース
  8. ^ Lawvere, F. William (1963). 代数理論の関数的意味論(PDF) (博士論文). コロンビア大学.
  9. ^ Lawvere, FW (1970). 「ハイパードクトリンにおける等式と随伴関手としての理解スキーマ」. カテゴリー代数の応用. アメリカ数学会. pp.  1– 14. ISBN 978-0-8218-1417-8。
  10. ^ Lawvere, FW (1973), 「計量空間、一般化論理、閉カテゴリー」、ミラノ数学・物理学セミナー、43: 135–166。 『カテゴリーの理論と応用の再版』第1号 (2002年)、1-37頁に再録。
  11. ^ abc nLab Authors (2024年8月). 「ウィリアム・ローヴェア」. nLab .
  12. ^ F. Lawvere, William (1997年9月27日). 「運動法則のトポス」(PDF) . nLab (モントリオールでの講演の記録).
  13. ^ Lawvere, FW; Schanuel, SH (1986年2月1日).連続体物理学におけるカテゴリー. 数学講義ノート. 第1174巻 (第1版). Springer . doi :10.1007/BFb0076928. ISBN 978-3-540-16096-0。
  14. ^ Lawvere, F. William (1990). 「微積分と物理学における反対語の統一と同一性」. F. William Lawvere アーカイブ. 2024年8月5日閲覧
  15. ^ Lawvere, F. William (1992). 「空間と量のカテゴリー」. 数学の空間：哲学的、認識論的、歴史的探究. Javier Echeverria, Andoni Ibarra, Thomas Mormann編. ベルリン、ニューヨーク: W. de Gruyter . pp.  14– 30. doi :10.1515/9783110870299.14. ISBN 978-3-11-013249-6。
  16. ^ 「数学の新しい分野、『1844年のAusdehnungslehre』およびその他の著作」Historia Mathematica 32 ( 1)。ロイド・C・カンネンバーグ訳、アルバート・C・ルイス序文。Open Court（2005年2月発行）：99-106。1995年{{cite journal}}：CS1 maint: その他（リンク）
  17. ^ ウィリアム・ローヴィア (1971)。 「数量化子と層」。 Actes du Congrès international des mathématiciens、第 1 冊(PDF)。ゴーティエ・ヴィラール。329–334ページ 。
  18. ^ アメリカ数学会フェロー一覧 Archived 2018-08-25 at the Wayback Machine、2024-08-05取得。
  • F・ウィリアム「ビル」ローヴェア・アーカイブ – ローヴェアの論文、講演、書簡の公式保管庫
  • 2007 年にポルトガルのコインブラにある国際数学センターの紀要に掲載されたインタビュー (インタビュー全文)。
  • 『圏論と応用』の再版。ローヴェアの基礎論文の多くを再版しています。
  • William F. Lawvere nLab エントリー。
  • GitHubでホストされている William F. Lawvere の全集のリポジトリ。
  • 数学系譜プロジェクトの William Lawvere 氏。
  • 写真
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