ラックス・ウェンドロフ法

さまざまなラックス・ウェンドロフ法を示すグラフ

ラックス・ウェンドロフ法は、ピーター・ラックスとバートン・ウェンドロフにちなんで名付けられた^[1]。差分に基づく双曲型偏微分方程式を解く数値解法である。空間と時間の両方において2次の精度を持つ。この法は、支配方程式を定義する関数を現在の時刻で評価する陽的時間積分の一例である。

意味

次の形式の方程式があるとします。 ここで、xとtは独立変数であり、初期状態u ( x , 0)が与えられています。 $${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u(x,t))}{\partial x}}=0}$$

線形ケース

線形の場合、f ( u ) = Au、Aは定数である。^[2] ここで は次元、 は次元を表す。この線形スキームは、いくつかの方法で一般の非線形の場合に拡張できる。その1つは、 $${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}A^{2}\left[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}}$$

非線形の場合

一般的な非線形方程式の Lax-Wendroff の保存形は次のようになります。 ここで、 は で評価されたヤコビ行列です。 $${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].}$$ ${\displaystyle A_{i\pm 1/2}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i\pm 1}^{n})}$

ヤコビアンフリー法

ヤコビ評価を回避するには、2 段階の手順を使用します。

リヒトマイヤー法

以下は、Richtmyerの2段階Lax-Wendroff法です。Richtmyerの2段階Lax-Wendroff法の最初のステップでは、時間ステップの半分（t _{n + 1/2} ）とグリッドポイントの半分（x _{i + 1/2 ）における}f ( u ( x , t ))の値を計算します。2番目のステップでは、 t _nとt _{n +} 1/2のデータを用いて、t _{n + 1}における値を計算します。

最初の（緩い）ステップ: $${\displaystyle u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$$ $${\displaystyle u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$$

2番目のステップ: $${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left[f(u_{i+1/2}^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].}$$

マコーマック法

これと同種の別の手法がMacCormackによって提案されました。MacCormackの手法では、まず順方向差分を行い、次に逆方向差分を行います。

最初のステップ: 2番目のステップ: $${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})).}$$ $${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].}$$

あるいは、最初のステップ: 2番目のステップ: $${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$$ $${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].}$$

参考文献

1. PD Lax; B. Wendroff (1960). 「保存則の体系」(PDF) . Commun. Pure Appl. Math . 13 (2): 217– 237. doi :10.1002/cpa.3160130205. 2017年9月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。
2. LeVeque, Randall J. (1992). 保存則の数値解析法(PDF) . ボストン: Birkhäuser. p. 125. ISBN 0-8176-2723-5。

• マイケル・J・トンプソン、「天体流体力学入門」、インペリアル・カレッジ・プレス、ロンドン、2006年。
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「第20.1節 フラックス保存的初期値問題」.数値レシピ：科学計算の芸術（第3版）. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. p. 1040. ISBN 978-0-521-88068-8。