数学において、層群は壁紙群の三次元的拡張であり、三次元的に鏡映関係を持つ。これは二次元格子を持つ空間群であり、二次元格子方向の繰り返しにおいて対称であることを意味する。各格子点における対称群は、主軸が格子面に垂直な軸を持つ 軸性結晶点群である。
結晶系または格子の種類と点群別に整理された80の層群の表[1] [2]
| 三斜晶系 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1ページ目 | 2 | 1ページ目 | ||||||
| 単斜晶系/傾斜 | |||||||||
| 3 | 112ページ | 4 | p11m | 5 | p11a | 6 | p112/m | 7 | p112/a |
| 単斜晶系/直交晶系 | |||||||||
| 8 | 211ページ | 9 | p2 1 11 | 10 | c211 | 11 | 午後11時 | 12 | pb11 |
| 13 | cm11 | 14 | p2/m11 | 15 | p2 1 /m11 | 16 | p2/b11 | 17 | p2 1 /b11 |
| 18 | c2/m11 | ||||||||
| 斜方晶系 | |||||||||
| 19 | 222ページ | 20 | p2 1 22 | 21 | p2 1 2 1 2 | 22 | c222 | 23 | pmm2 |
| 24 | pma2 | 25 | pba2 | 26 | cmm2 | 27 | 午後2時 | 28 | pm2 1 b |
| 29 | pb2 1 m | 30 | pb2b | 31 | pm2a | 32 | pm2 1 n | 33 | pb2 1 a |
| 34 | pb2n | 35 | 平方センチメートル | 36 | cm2e | 37 | 午後 | 38 | pmaa |
| 39 | pban | 40 | 午後午前 | 41 | ピマ | 42 | pman | 43 | pbaa |
| 44 | pbam | 45 | pbma | 46 | 午後 | 47 | んんん | 48 | cmme |
| 正方晶 | |||||||||
| 49 | 4ページ目 | 50 | 4ページ | 51 | p4/m | 52 | p4/n | 53 | p422 |
| 54 | p42 1 2 | 55 | p4mm | 56 | p4bm | 57 | p 4 2m | 58 | p 4 2 1 m |
| 59 | 4平方 メートル | 60 | p 4 b2 | 61 | p4/mmm | 62 | p4/nbm | 63 | p4/mbm |
| 64 | p4/nmm | ||||||||
| 三角 | |||||||||
| 65 | 3ページ目 | 66 | 3ページ | 67 | p312 | 68 | p321 | 69 | p3m1 |
| 70 | p31m | 71 | p 3 1m | 72 | p 3 m1 | ||||
| 六角 | |||||||||
| 73 | 6ページ | 74 | 6ページ | 75 | p6/m | 76 | p622 | 77 | p6mm |
| 78 | 6平方 メートル | 79 | p 6 2m | 80 | p6/mmm | ||||
層グループと平面グループの対応
レイヤーグループから壁紙グループ（平面グループ）への射影写像は、積層方向（通常はZ軸）に沿った対称要素を無視し、残りの要素を平面グループの要素と揃えることで得られます。[3]結果として得られる射影写像は、レイヤーグループと平面グループ（壁紙グループ）間の直接的な対応を提供します。
| # | レイヤーグループ | # | 飛行機グループ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1ページ目 | 1 | 1ページ目 |
| 2 | 1ページ目 | 2 | 2ページ目 |
| 3 | 112ページ | 2 | 2ページ目 |
| 4 | p11m | 1 | 1ページ目 |
| 5 | p11a | 1 | 1ページ目 |
| 6 | p112/m | 2 | 2ページ目 |
| 7 | p112/a | 2 | 2ページ目 |
| 8 | 211ページ | 3 | 午後 |
| 9 | p2 1 11 | 4 | ページ |
| 10 | c211 | 5 | cm |
| 11 | 午後11時 | 3 | 午後 |
| 12 | pb11 | 4 | ページ |
| 13 | cm11 | 5 | cm |
| 14 | p2/m11 | 6 | p2mm |
| 15 | p2 1 /m11 | 7 | p2mg |
| 16 | p2/b11 | 7 | p2mg |
| 17 | p2 1 /b11 | 8 | p2gg |
| 18 | c2/m11 | 9 | c2mm |
| 19 | 222ページ | 6 | p2mm |
| 20 | p2 1 22 | 7 | p2mg |
| 21 | p2 1 2 1 2 | 8 | p2gg |
| 22 | c222 | 9 | c2mm |
| 23 | pmm2 | 6 | p2mm |
| 24 | pma2 | 7 | p2mg |
| 25 | pba2 | 8 | p2gg |
| 26 | cmm2 | 9 | c2mm |
| 27 | 午後2時 | 3 | 午後 |
| 28 | pm2 1 b | 3 | 午後 |
| 29 | pb2 1 m | 4 | ページ |
| 30 | pb2b | 3 | 午後 |
| 31 | pm2a | 3 | 午後 |
| 32 | pm2 1 n | 4 | ページ |
| 33 | pb2 1 a | 4 | ページ |
| 34 | pb2n | 5 | cm |
| 35 | cm2m | 5 | cm |
| 36 | cm2e | 3 | 午後 |
| 37 | 午後 | 6 | p2mm |
| 38 | pmaa | 6 | p2mm |
| 39 | pban | 10 | 4ページ目 |
| 40 | 午後午前 | 7 | p2mg |
| 41 | ピマ | 6 | p2mm |
| 42 | pman | 9 | c2mm |
| 43 | pbaa | 7 | p2mg |
| 44 | pbam | 8 | p2gg |
| 45 | pbma | 7 | p2mg |
| 46 | 午後 | 10 | 4ページ目 |
| 47 | んんん | 9 | c2mm |
| 48 | cmme | 6 | p2mm |
| 49 | 4ページ目 | 10 | 4ページ目 |
| 50 | 4ページ | 10 | 4ページ目 |
| 51 | p4/m | 10 | 4ページ目 |
| 52 | p4/n | 12 | p4gm |
| 53 | p422 | 11 | p4mm |
| 54 | p42 1 2 | 12 | p4gm |
| 55 | p4mm | 11 | p4mm |
| 56 | p4bm | 12 | p4gm |
| 57 | p 4 2m | 11 | p4mm |
| 58 | p 4 2 1 m | 12 | p4gm |
| 59 | 4平方メートル | 11 | p4mm |
| 60 | p 4 b2 | 12 | p4gm |
| 61 | p4/mmm | 11 | p4mm |
| 62 | p4/nbm | 11 | p4mm |
| 63 | p4/mbm | 12 | p4gm |
| 64 | p4/nmm | 11 | p4mm |
| 65 | 3ページ目 | 13 | 3ページ目 |
| 66 | 3ページ | 16 | 6ページ |
| 67 | p312 | 14 | p3m1 |
| 68 | p321 | 15 | p31m |
| 69 | p3m1 | 14 | p3m1 |
| 70 | p31m | 15 | p31m |
| 71 | p 3 1m | 17 | p6mm |
| 72 | p 3 m1 | 17 | p6mm |
| 73 | 6ページ | 16 | 6ページ |
| 74 | 6ページ | 13 | 3ページ目 |
| 75 | p6/m | 16 | 6ページ |
| 76 | p622 | 17 | p6mm |
| 77 | p6mm | 17 | p6mm |
| 78 | 6平方メートル | 14 | p3m1 |
| 79 | p 6 2m | 15 | p31m |
| 80 | p6/mmm | 17 | p6mm |
参照
参考文献
- ^ Kopsky, V.; Litvin, DB, 編 (2002). 国際結晶学表, 第E巻: 亜周期群. 第E巻 (第5版). ベルリン, ニューヨーク: Springer-Verlag . doi :10.1107/97809553602060000105. ISBN 978-1-4020-0715-6。
- ^ Hitzer, ESM; Ichikawa, D. (2008年8月17日～19日). 「結晶学的亜周期群の幾何代数による表現」. Electronic Proc. of AGACSE (3). ライプツィヒ, ドイツ. arXiv : 1306.1280 . Bibcode :2013arXiv1306.1280H.
- ^ Sze, WHR; Xi, B.; Zhu, J. (2025). 「バンド構造から準2次元薄膜の対称性情報と層数を予測する際の入力データ構成の重要な違い」 . Computational Condensed Matter . 42 e01009. doi :10.1016/j.cocom.2025.e01009. ISSN 2352-2143.
外部リンク
- ビルバオ結晶学サーバー、「亜周期群：層状群、棒状群、フリーズ群」
- 周期群の命名法、記号および分類、V. コプスキーおよび DB リトヴィン
- CVM 1.1: フランク・ファリスによる「振動する壁紙」。彼は、反転等長変換を用いて壁紙グループからレイヤーグループを構築します。
