主要次数項

数式、式、またはモデル内の主要次数項（または主要次数補正）は、最も大きな桁数を持つ項です。[ 1 ] [ 2 ]方程式内の異なる項のサイズは変数が変化すると変化するため、どの項が主要次数であるかも変化する可能性があります

多種多様な複雑な数学モデルを単純化し理解するための一般的かつ強力な方法は、変数とパラメータの特定のサイズに対してどの項が最も大きい（したがって最も重要である）かを調べ、それらの項のみによって生じる動作を分析することです（他の小さな項は無視できるものとみなします）。[ 3 ] [ 4 ]これにより主要な動作が得られます。真の動作はこれからわずかにずれるだけです。

主要な挙動は、厳密に主導次数項のみで十分に捉えられる場合もあれば、やや小さい項も含める必要があると判断される場合もあります。その場合、「主導次数項」という語句は、この項群全体を指すために非公式に使用されることがあります。主導次数項群のみによって生じる挙動は、モデルの 主導次数挙動と呼ばれます。

基本例

y  =  x 3  + 5 x + 0.1における各項の大きさ 。（主要次数の項はピンク色で強調表示されています。）
×0.0010.10.5210
× 30.0000000010.0010.12581000
5 ×0.0050.52.51050
0.10.10.10.10.10.1
年0.1050000010.6012.72518.11050.1

方程式y  =  x 3  + 5 x  + 0.1 を考えてみましょう。表は、xの5つの異なる値について、この方程式の4つの項の大きさと、どの項が主要次数であるかを示しています。xがさらに増加し​​ても、主要次数項はx 3とyのままですが、x が減少して負の値になっていくと、主要次数項は再び変化します

2 つの項がほぼ同じオーダー、または大きさであると見なすべきかどうかについて、厳密な区切りはありません。 1 つの経験則として、互いに 10 倍 (1 桁) 以内にある 2 つの項はほぼ同じオーダーと見なすべきであり、互いに 100 倍 (2 桁) 以内ではない 2 つの項はそうではない、というものがあります。ただし、その中間はグレー ゾーンであるため、どの項がほぼ主要オーダーであると見なすべきか、どの項がそうでないかについての固定された境界はありません。代わりに、変数が変化すると、項はフェード インしたりフェード アウトしたりします。モデル内の項が主要オーダー (またはほぼ主要オーダー) であるかどうか、そうでない場合、無視できると見なせるほど小さいかどうか (2 つの異なる質問) の決定は、多くの場合、調査と判断の問題であり、コンテキストによって異なります。

主要次数挙動

主要次数項が1つだけの方程式は可能ですが、まれです。例えば、100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1という方程式（右辺は100個の1で構成されています）です。変数とパラメータの値の特定の組み合わせに対して、方程式は通常、少なくとも2つの主要次数項とその他の低次数項を含みます。この場合、低次数項、および主要次数項のうち低次数項と同じサイズの部分（おそらく2桁目または3桁目以降）は無視できると仮定することで、これらの低次数項と主要次数項の一部をすべて削除して新しい方程式を形成できます。残りの項は主要次数方程式、主要次数バランス[ 5 ]、またはドミナントバランス[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]を提供し、これらの項だけを含む新しい方程式を作成することは、方程式を主要次数化すると呼ばれますこの新しい方程式の解は、元の方程式の主要次数解[ 9 ] [ 10 ]と呼ばれます。この新しい方程式の挙動を解析することで、変数とパラメータのこれらの値に対するモデルの主要次数挙動[ 11 ] [ 12 ]が得られます。この近似を行う際の誤差の大きさは、通常、無視される最大の項の大きさとほぼ同程度です。

y  =  x 3  + 5 x + 0.1のグラフ。x  = 0.001ではy は一定であり、x = 10 ではy はxの3乗に比例して増加する という 、主要な挙動を示します。

上記の例の先導順序の動作を理解したいとします。

  • x  = 0.001の場合、 x 3 項とx 5項は無視できるものとみなし、残りの2つの項の小数点第3位以降の値とともに省略できます。これにより、主要次数のバランスはy  = 0.1 となります。したがって、この方程式のx = 0.001における主要次数の挙動は、 yが一定であるということです。
  • 同様に、x  = 10 の場合、 5 つのx 項と 0.1 項は無視できるものとみなし、残りの2つの項の3桁目以降の値とともに省略できます。これにより、主要次数のバランスはy  =  x 3となります。したがって、この方程式のx = 10における主要次数の挙動は、 y がxの3乗に比例するというものです。

したがって、 xの任意の値においてyの主な挙動を調べることができる。主要次数の挙動は、主要次数となる項の数が増えるほど複雑になる。x = 2では、 yのxに対する3 次依存性と 1 次依存性の間に主要次数のバランスが保たれる。

主要なバランスと動作を見つけるためのこの説明は、プロセスの概要のみを説明しており、数学的に厳密なものではないことに注意してください。

次次

もちろん、yは実際にはx = 0.001で完全に一定ではありません 。これは、この点付近での主な挙動にすぎません。最上位（またはほぼ最上位）の項のみを保持し、他のすべての小さな項を無視できると見なすだけでは不十分な場合があります（たとえば、モデルを将来予測に使用する場合）。そのため、次に大きい項のセットも保持する必要がある場合があります。これらは、次次次（NLO）項または補正項と呼ぶことができます。[ 13 ] [ 14 ]その次の項のセットは、次々次次次（NNLO）項または補正項と呼ぶことができます。[ 15 ]

使用法

一致する漸近展開

主要次数簡略化手法は、各部分領域における正確な近似解が主要次数解である場合に、整合漸近展開法と組み合わせて使用​​される。 [ 3 ] [ 16 ] [ 17 ]

ナビエ・ストークス方程式の簡略化

特定の流体流れのシナリオでは、（非常に一般的な）ナビエ・ストークス方程式は、主要次数成分のみを考慮することで大幅に簡略化される可能性があります。例えば、ストークス流れ方程式[ 18 ]などです。また、潤滑理論の薄膜方程式も簡略化されます。

機械学習による微分方程式の簡素化

様々な微分方程式は、主次成分のみを考慮することで局所的に簡略化できます。機械学習アルゴリズムは、シミュレーションデータや観測データを主次方程式の項を含む局所的な領域に分割し、空気力学、海洋力学、腫瘍誘発性血管新生、合成データなどの応用に利用できます。[ 19 ]

参照

  • 評価、「主導順序」の代数的一般化

参考文献

  1. ^ JKハンター著『漸近解析と特異摂動論』、2004年。http ://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
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