合計関係

数学において、二集合XとY間の二項関係 R ⊆ X × Yは、元集合Xが定義域 { x  : xRyを満たすyが存在する } に等しいとき、全関係（または左全関係）と呼ばれます。逆に、Y が値域 { y  : xRyを満たすxが存在する} に等しいとき、 R は右全関係と呼ばれます。

f : X → Y が関数である場合、 fの定義域はX全体となるため、fは全関係となる。一方、f が部分関数である場合、定義域はXの真部分集合となる可能性があり、その場合fは全関係とはならない。

「二項関係は、その言説宇宙内のすべてが他の何かとそのような関係にある場合にのみ、その言説宇宙に関して完全であると言われる。」^[1]

代数的特徴づけ

全体の関係は、関係の合成を含む等式と不等式によって代数的に特徴付けることができる。このために、2つの集合を とし、任意の2つの集合に対してとの間の普遍関係を とし、上の恒等関係を とする。の逆関係を表す記法を用いる。${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle L_{A,B}=A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle R^{\top}}$ ${\displaystyle R.}$

• ${\displaystyle R}$ は任意の集合に対して全であると同時に、任意の集合に対しても全であることを意味する^{[2] ：54}${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S\subseteq W\times X,}$ ${\displaystyle S\neq \emptyset }$ ${\displaystyle SR\neq \emptyset .}$
• ${\displaystyle R}$ 合計は^{[2]の場合:54}${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}$
• が合計であれば、逆は真である^[注1]${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• が合計ならば、逆は^{[注2] [2] : 63 のとき真である。}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• が合計であれば、逆は^{[2]の場合に真である：54  [3]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• より一般的には、が全集合であるとき、任意の集合と任意の集合に対して逆は成り立つ^{[注3] [2] ：57}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z,}$ ${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$

参照

• 連続関係— 完全な同質関係

注記

1. その場合は合計になりません。${\displaystyle Y=\emptyset \neq X,}$ ${\displaystyle R}$
2. 前の箇条書きを観察して適用します。${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},}$
3. 前の箇条書きを取って控訴する。${\displaystyle Z=Y,S=I_{Y}}$

参考文献

1. カーネギーメロン大学の関数
2. Schmidt, Gunther ; Ströhlein, Thomas (2012年12月6日). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-642-77968-8。
3. ガンター・シュミット (2011).リレーショナル数学.ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511778810. ISBN 9780511778810。定義5.8、57ページ。

• ギュンター・シュミット＆マイケル・ウィンター（2018）リレーショナル・トポロジー
• C. Brink、W. Kahl、G. Schmidt (1997) 「コンピュータサイエンスにおけるリレーショナル手法」、Advances in Computer Science、5ページ、ISBN 3-211-82971-7
• Gunther Schmidt & Thomas Strohlein (2012)[1987] Relations and Graphs、p. 54、Google Books
• Gunther Schmidt (2011) Relational Mathematics、p. 57、Google Books