逆関数

関数fとその逆関数f ⁻¹。f はa を3 に写像するので、逆関数f ⁻¹は 3 をaに写像します

関数の場合、その逆関数は明示的に記述できます。つまり、各要素をf ( x ) = yとなる一意の要素に渡します。${\displaystyle f^{-1}.}$

例として、実変数の実数値関数f ( x ) = 5 x − 7を考えてみましょう。 f は 、入力に5を掛け、その結果から7を引く関数と考えることができます。これを元に戻すには、入力に7を加算し、その結果を5で割ります。したがって、 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

定義${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

f がXをYに写す場合、 f −1はYをXに写す

If f maps X to Y, then f ⁻¹ maps Y back to X.

f を集合Xを定義域とし、集合Yを余定義域とする関数とする。fが逆であるとは、YからXへの関数g が存在し、すべての に対してかつすべての に対してとなることを意味する。^{[ 1 ]}${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

fが逆関数ならば、この性質を満たす関数gはただ1つ存在する。関数gはfの逆関数と呼ばれ、通常はf ⁻¹と表記される。この表記法は1813年にジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェルによって導入された。 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [注 1 ]}

関数fが逆関数となるのは、それが全単射である場合に限ります。これは、すべての f に対する条件がfが単射であることを意味し、すべての f に対する条件がfが全射であることを意味するためです。 ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

逆関数f ⁻¹からfへの関数は、次のように明示的に記述できる。

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)}$ 。

逆関数と合成

fが定義域Xと余定義域Yを持つ可逆関数である場合、

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$ 、すべてのおよびすべてのに対して。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

関数の合成を使用すると、このステートメントは関数間の次の式に書き直すことができます。

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ そして${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

ここで、 id _Xは集合X上の恒等関数、つまり引数が変化しない関数です。圏論では、 この命題は逆射の定義として用いられます

関数合成について考えると、 f ⁻¹という表記法を理解するのに役立ちます。関数f : X → Xを自身と繰り返し合成することを反復処理と呼びます。f を値xからn回適用すると、 f ⁿ ( x )と表記されます。つまり、f ² ( x ) = f ( f ( x ))となります。 f ⁻¹ ( f ( x )) = xなので、f ⁻¹とf ⁿを合成するとf ^{n −1}となり、 fを1回適用した効果が「元に戻る」ことになります。

表記

f ⁻¹ ( x )という表記は誤解される可能性がありますが、^{[ 1 ]} ( f ( x )) ^{−1 は確かに}f ( x )の逆数を表し、 fの逆関数とは何の関係もありません。^{[ 6 ]}この表記は、逆数との曖昧さを避けるために逆関数に使用される場合があります。^{[ 7 ]}${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

一般的な表記法に合わせて、一部の英語の著者は、xに適用される正弦関数の逆関数（実際には部分逆関数。下記参照）を表すのにsin ⁻¹ ( x )のような表現を使用しています。 ^{[ 8 ] [ 6 ]}また、これはsin ( x )の乗法逆関数の表記法（ (sin ( x )) ⁻¹と表記できる）と混同される可能性があると考える著者もいます。^{[ 6 ]}混乱を避けるため、逆三角関数は、しばしば接頭辞「arc」（ラテン語のarcusに由来）を付けて示されます。^{[ 9 ] [ 10 ]}たとえば、正弦関数の逆関数は通常、逆正弦関数と呼ばれ、arcsin ( x )と表記されます。^{[ 9 ] [ 10 ]}同様に、双曲線関数の逆関数は接頭辞「 ar」（ラテン語のāreaに由来）を付けて示されます。^{[ 10 ]}例えば、双曲正弦関数の逆関数は、典型的にはarsinh ( x )と表記される。^{[ 10 ]} sin ⁻¹ ( x )のような表現は、多値逆関数と部分逆関数を区別するのに依然として有用である： 。その他の逆特殊関数は、 f ⁻¹表記の曖昧さを避ける必要がある場合、接頭辞「inv」を付けることがある。 ^{[ 11 ] [ 10 ]}${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

例

平方根関数

f ( x ) = x ²で与えられる関数f : R → [0,∞)は、すべての に対してとなるため、単射ではありません。したがって、fは逆関数ではありません ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

関数の定義域が非負の実数に制限されている場合、つまり、前と同じ規則で関数をとる場合、関数は全単射であり、したがって逆関数である。^{[ 12 ]}ここでの逆関数は（正の）平方根関数と呼ばれ、と表記される。 ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

標準的な逆関数

次の表は、いくつかの標準関数とその逆関数を示しています。

逆算術関数

関数f ( x )	逆関数f ^−1 ( y )	注釈
x + a	y − a
a − x	a − y
mx	⁠y/m⁠	m ≠ 0
⁠1/x⁠ (つまりx ^−1 )	⁠1/y⁠（つまりy ^−1）	x , y ≠ 0
x ^p	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$ （つまりy ^1/ p）	整数p > 0 ; pが偶数の 場合、 x , y ≥ 0
a ^x	log a y	y > 0かつa > 0かつa ≠ 1
x e ^x	W ( y )	x ≥ −1かつy ≥ −1/ e
三角関数	逆三角関数	様々な制約（下の表を参照）
双曲線関数	逆双曲線関数	様々な制約
ロジスティック関数	ロジット

逆関数の公式

代数式で与えられる多くの関数は、その逆関数の公式を持ちます。これは、可逆関数の逆関数が次のように明示的に記述される ためです${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$ 。

これにより、代数式で与えられる多くの関数の逆関数を簡単に決定できます。例えば、fが関数である 場合

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

実数yを決定するには、 (2 x + 8) ³ = yとなる唯一の実数xを見つけなければなりません。この方程式は次のように解けます。 ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

したがって逆関数f ⁻¹は次の式で与えられる。

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

関数の逆関数は、閉じた形式式で表現できない場合があります。例えば、fが関数である 場合、

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

するとfは一対一なので、逆関数f ⁻¹を持つ。この逆関数の式は無限和として表現される。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

性質

関数は二項関係の特別な型であるため、逆関数の性質の多くは逆関係の性質に対応しています

ユニークさ

与えられた関数fに対して逆関数が存在する場合、それは一意である。^{[ 13 ]}これは、逆関数はfによって完全に決定される逆関係でなければならないためである。

対称性

関数とその逆関数の間には対称性があります。具体的には、関数fが定義域Xと余定義域Yを持つ可逆関数である場合、その逆関数f ⁻¹は定義域Yと像Xを持ち、f ⁻¹の逆関数は元の関数fです。記号で表すと、関数f : X → Y とf ⁻¹ : Y → Xについて、^{[ 13 ]}

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ そして${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

この記述は、 fが逆関数であるためには単射でなければならないという含意から導かれる。逆関数の対偶的性質は^{[ 14 ]}によって簡潔に表現できる

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

g ∘ fの逆はf ⁻¹ ∘ g ⁻¹です。

関数の合成の逆関数は^{[ 15 ]で与えられる。}

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

gとfの順序が逆になっていることに注意してください。fの後にgを元に戻すには、最初にg を元に戻す必要があります。 次にfを元に戻す必要があります。

例えば、f ( x ) = 3 x、g ( x ) = x + 5とすると、 g ∘ fという合成関数は、まず3を掛け、次に5を足す関数となる。

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

このプロセスを逆にするには、まず5を引いてから3で割る必要があります。

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

これは( f ⁻¹ ∘ g ⁻¹ )( x )という合成です 。

自己逆

Xが集合ならば、 X上の恒等関数はそれ自身の逆関数である

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

より一般的には、関数f  : X → X が自身の逆関数と等しいのは、合成f ∘ fがid _Xと等しい場合のみである。このような関数は反転（involution）と呼ばれる。

逆関数のグラフ

y = f ( x )とy = f ⁻¹ ( x )のグラフ。点線はy = xです。

fが逆関数ならば 、関数のグラフは

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

方程式のグラフと同じである

${\displaystyle x=f(y).}$

これは、 xとyの役割が逆になっている点を除けば、 fのグラフを定義する方程式y = f ( x )と同一である。したがって、 f ⁻¹のグラフは、 fのグラフからx 軸とy軸の位置を入れ替えることで得られる。これは、グラフを直線 y = xを挟んで反転させることと等価である。^{[ 16 ] [ 1 ]}

逆関数と微分

逆関数定理によれば、一変数の連続関数（ただし）がその値域（像）上で逆関数となるのは、それが厳密に増加または減少する（極大値または極小値を持たない）場合のみである。例えば、関数 ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

導関数f′ ( x )= 3x2 +1^は常に正な ので、逆関数である。

関数fが区間I上で微分可能であり、かつ各x ∈ Iに対してf′ ( x ) ≠ 0 であるとき、逆関数f ^−1はf ( I )上で微分可能である。^{[ 17 ]} y = f ( x ) のとき、逆関数の導関数は逆関数定理によって与えられる。

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

ライプニッツの記法を用いると、上記の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

この結果は連鎖律から導かれます（逆関数と微分に関する記事を参照）。

逆関数定理は、多変数関数にも一般化できます。具体的には、連続微分可能な多変数関数f : R ⁿ → R ⁿは、点pにおけるfのヤコビ行列が逆行列である限り、点pの近傍において逆行列となります。この場合、f ( p )におけるf ⁻¹のヤコビ行列は、 pにおけるfのヤコビ行列の逆行列となります。

実世界の例

• fを摂氏温度を華氏温度に変換する関数とすると、その逆関数は華氏温度を摂氏温度に変換します。^{[ 18 ]}$${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$ $${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• fが家族の各子供に誕生年を割り当てるとします。逆関数は、どの子供が特定の年に生まれたかを出力するでしょう。しかし、家族に同じ年に生まれた子供（例えば双子や三つ子など）がいる場合、入力が共通の誕生年であれば、出力はわかりません。同様に、子供が生まれていない年が指定された場合、子供に名前を付けることはできません。しかし、各子供が別々の年に生まれ、子供が生まれた3年間だけに注目すれば、逆関数が存在します。例えば、$${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• Rはある量のxパーセント上昇をもたらす関数、Fはある量のxパーセント下落をもたらす関数とします。x = 10%の100ドルに適用すると、最初の関数を適用した後に2番目の関数を適用しても、元の100ドルの価値は回復しません。これは、一見すると逆関数のように見えますが、これら2つの関数は互いに逆関数ではないことを示しています。
• 溶液のpHを計算する式は、pH = −log ₁₀ [H ⁺ ]です。多くの場合、pH測定値から酸の濃度を求める必要があります。その場合、逆関数である[H ⁺ ] = 10 ^−pHが用いられます。

一般化

偏逆関数

xの平方根は、f ( x ) = x^ ²の偏逆関数です

関数fが1対1でなくても、定義域を制限することでfの部分逆関数を定義できる場合がある。例えば、関数fは

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

はx ² = (− x ) ²なので1対1ではない。しかし、 x ≥ 0の範囲に限定すれば1対1となり、その場合

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

（代わりにx ≤ 0 の領域に制限すると、逆数はyの平方根の負数になります。）

完全逆関数

この3次関数の逆関数には3つの分岐があります

あるいは、逆関数が多値関数であることに満足できる場合は、定義域を制限する必要はありません。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

この多価逆関数はfの完全逆関数と呼ばれることもあり、その部分（例えば√ xや − √ xなど）は枝と呼ばれる。多価関数の最も重要な枝（例えば正の平方根）は主枝と呼ばれ、そのyにおける値はf ⁻¹ ( y )の主値と呼ばれる。

実数直線上の連続関数の場合、各極値の間には1つの分岐が必要です。例えば、極大値と極小値を持つ3次関数の逆関数には3つの分岐があります（隣の図を参照）。

三角関数の逆関数

逆正弦関数は正弦関数の部分逆関数です

上記の考察は、三角関数の逆関数を定義する際に特に重要です。例えば、正弦関数は1対1対応ではありません。

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

任意の実数xに対して（より一般的には任意の整数nに対してsin( x + 2 π n ) = sin( x ) ）。しかし、正弦は区間 [− ⁠π/2⁠、 ⁠π/2⁠ ]であり、対応する部分逆関数は逆正弦と呼ばれます。これは逆正弦の主枝とみなされるため、逆正弦の主値は常に − ⁠の間になります。π/2⁠と⁠π/2次の表は、各逆三角関数の主な分岐を示しています。^{[ 19 ]}

関数	通常の主値の範囲
アークサイン	− ⁠π/2⁠ ≤ sin ^−1 ( x ) ≤ ⁠π/2⁠
逆余弦	0 ≤ cos ^−1 ( x ) ≤ π
アークタンジェント	− ⁠π/2⁠ < tan ^−1 ( x ) < ⁠π/2⁠
アークコット	0 < コット^-1 ( x ) < π
秒角	0 ≤ 秒^-1 ( x ) ≤ π
弧csc	− ⁠π/2⁠ ≤ csc ^−1 ( x ) ≤ ⁠π/2⁠

左と右の反転

左辺と右辺の 関数合成は必ずしも一致する必要はありません。一般に、条件は

1. 「 g ( f ( x )) = xとなるgが存在する」そして
2. 「 f ( g ( x ))= xとなるgが存在する」

はfの異なる特性を意味します。たとえば、f : R → [0, ∞)が平方写像を表し、R内のすべてのxに対してf ( x ) = x ²が成り立ち、 g : [0, ∞) → R が平方根写像を表し、 x ≥ 0のすべてのxに対してg ( x ) = √ x が成り立ちます。すると、f ( g ( x )) = x が[0, ∞)内のすべてのxに対して成り立ちます。つまり、gはfの右逆です。ただし、gはfの左逆ではありません。たとえば、g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 です。

左逆

f : X → Yの場合、fの左逆（またはfの逆）は関数g : Y → Xであり、fとg を左から合成すると恒等関数^{[ 20 ]}となる 。つまり、関数gは次の規則を満たす $${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

f ( x )= yならばg ( y )= xです。

関数gは、 fの像上のfの逆関数と等しくなければなりませんが、像内にない Yの要素については任意の値を取ることができます。

空でない定義域を持つ関数fが単射となるのは、左逆関数が存在する場合のみである。^{[ 21 ]} 基本的な証明は次のようになる。

• gがfの左逆であり、f ( x ) = f ( y )である場合、g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = yとなります。

• 空でないf : X → Yが単射である場合、左逆g : Y → Xを次のように構築する：すべてのy ∈ Yに対し、y がfの像に含まれるならば、 f ( x ) = yとなるようなx ∈ Xが存在する。g ( y ) = xとする。 fは単射であるため、この定義は一意である。そうでない場合、g ( y )をXの任意の元とする。

  任意のx ∈ Xに対して、f ( x )はfの像となる。構成により、g ( f ( x )) = xとなり、左逆写像の条件が満たされる。

古典数学では、空でない定義域を持つすべての単射関数f は必ず左逆関数を持つ。しかし、構成的数学ではこの左逆関数が成り立たないことがある。例えば、実数体の2元集合の包含{0,1} → Rの左逆関数は、実数直線を集合{0,1}に引き戻すことで分解不可能性に違反する。^{[ 22 ]}

右逆関数

非単射かつ全射な関数を用いた右逆関数の例

fの右逆関数（またはfの切断関数）は、関数h : Y → Xであって、

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

つまり、関数hは次の規則を満たす。

もし、${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

したがって、h ( y ) は、 fの下でyにマッピングされるXの要素のいずれかになります。

関数fが右逆関数を持つのは、それが全射である場合に限ります (この同値性は、選択公理が成り立つ場合に限り成り立ちます)。

hがfの右逆ならば、fは射影的である。任意の に対して、となるような が存在する。${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

fが射影的であれば、f には右逆関数hがあり、これは次のように構成できます。すべての に対して、となるものが少なくとも 1 つ存在します( fは射影的であるため)。したがって、そのうちの 1 つをh ( y )の値として選択します。^{[ 23 ]}${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

両側逆関数

左逆関数と右逆関数の両方である逆関数（両側逆関数）は、存在する場合、一意でなければなりません。実際、関数に左逆関数と右逆関数がある場合、それらはどちらも同じ両側逆関数であるため、逆関数と 呼ぶことができます

が の左逆であり右逆である場合、すべての に対して、となります。${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

関数が全単射である場合に限り、その関数には両側逆関数が存在します。

全単射関数fは単射なので、左逆関数が存在します（fが空関数の場合、 f自身の左逆関数も存在します）。fは全射なので、右逆関数が存在します。上記の説明から、左逆関数と右逆関数は同じです。${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

f に両側逆関数gがある場合、gはfの左逆関数と右逆関数なので、fは単射かつ射影的です。

逆像

f : X → Yが任意 の関数（必ずしも逆写像である必要はない）である場合、元y∈Yの逆像（または逆像）は、yに写像するXのすべての元の集合として定義されます

${\displaystyle f^{-1}(y)=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

yの逆像は関数fの（多値）完全逆関数によるyの像と考えることができます。

この概念は、範囲の部分集合に一般化できます。具体的には、SがYの任意の部分集合である場合、 Sの逆像（ ）は、Sに写像されるXのすべての要素の集合です。 ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

例えば、関数f : R → R ; x ↦ x ²を考えてみましょう。この関数は全単射ではないため逆関数ではありませんが、例えば、関数 f : R → R ; x ↦ x 2 の接尾辞は定義できません。

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$ 。

元の概念とその一般化は、恒等式によって関連付けられています。単一の元y ∈ Yの逆像、つまり単集合{ y } は、 yのファイバーと呼ばれることもあります。Yが実数全体の集合である場合、 f ⁻¹ ({ y })を準位集合と呼ぶのが一般的です${\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\}),}$

参照

• ラグランジュの逆定理は、解析関数の逆関数のテイラー級数展開を与える
• 逆関数の積分
• 逆フーリエ変換
• 可逆計算

注記

1. ゼロ以外の実数の逆数を取るなどの数値の累乗と混同しないでください

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「逆関数」 . mathworld.wolfram.com . 2020年9月8日閲覧
2. ハーシェル, ジョン・フレデリック・ウィリアム(1813) [1812-11-12]. 「コーツの定理の注目すべき応用について」 .ロンドン王立協会哲学論文集. 103 (第1部). ロンドン:ロンドン王立協会, 印刷: W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, 販売: G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .  
3. ハーシェル、ジョン・フレデリック・ウィリアム(1820). 「第3部 第1節 直接差分法の例」 . 『差分法の応用例集』 . ケンブリッジ、英国: J. Smith 印刷、J. Deighton & sons 販売。pp. 1–13 [5–6]. 2020年8月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月4日閲覧。[1]（注：ここでハーシェルは1813年の著作に言及し、ハンス・ハインリヒ・ビュルマンの古い著作にも言及している。）
4. パース、ベンジャミン(1852). 『曲線、関数および力』 第1巻（新版）. ボストン、アメリカ合衆国. p. 203.
5. ペアノ、ジュゼッペ(1903)。Formulaire mathématique (フランス語)。 Vol. IV. p. 229.
6. カジョリ、フロリアン(1952) [1929年3月]. 「§472. 対数のべき乗 / §473. 反復対数 / §533. ジョン・ハーシェルの逆関数の表記法 / §535. 逆関数の競合表記法の持続性 / §537. 三角関数のべき乗」. 『数学表記の歴史』第2巻（1929年発行の第3版訂正第2刷）. シカゴ、アメリカ合衆国:オープンコート出版. pp. 108, 176– 179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. 2016年1月18日閲覧。[...] §473.反復対数[...] ここで、PringsheimとMolkがEncyclopédie の共同記事で使用した記号について言及します。「² log _b a = log _b (log _b a ), ..., ^{k +1} log _b a = log _b ( ^k log _b a )。」 [...] §533.逆関数sin ⁻¹ x、 tan ⁻¹ xなどのJohn Herschelの表記は、 1813年のPhilosophical Transactions of London 誌に彼によって発表されました。彼は ( p. 10 ) 次のように述べています。「この表記 cos. ⁻¹ e は1/cos. eを意味するのではなく、通常 arc (cos.= e ) と表記されるものを意味すると理解する必要があります 。」彼は、一部の著者が cos. を使用していることを認めています。^m A を(cos. A ) ^mと書いていますが、彼はd ² x、 Δ ³ x、 Σ ² xはdd x、 ΔΔΔ x、 ΣΣ xを意味するので、 sin. sin. x の代わりにsin . ² x、 log. log. log. xの代わりに log. ³ xと書くべきだと指摘して、自分の表記法を正当化しています。 d ^{− n} V=∫ ⁿ Vと書くのと同じように、 sin. ⁻¹ x =arc (sin.= x )、 log. ⁻¹ x . =c ^xと書いてもよいでしょう。 数年後、ハーシェルは 1813 年にはf ⁿ ( x )、f ^{− n} ( x )、 sin. ⁻¹ xなどと、彼が当時初めて想定したように。しかし、この数ヶ月の間に、ドイツの分析家バーマンの研究が彼の知るところとなり、その中で同じことがかなり以前に説明されていた。しかし、彼[バーマン]は、この考えを逆関数 tan ⁻¹に適用することの便利さに気付いていなかったようだ。等、また、それがもたらす関数の逆計算についても全く認識していないようだ。」ハーシェルはこう付け加えている。「この表記法の対称性と、とりわけ解析演算の性質についてそれが切り開く新しく最も広範な見解は、この表記法の普遍的な採用を正当化するようだ。」^[a] [...] §535.逆関数に対する競合表記法の存続。— [...] ハーシェルの表記法の使用は、ベンジャミン・パースの著書において、それらに対する主な反対意見を取り除くためにわずかに変更された。パースは次のように書いた。「cos ^[-1] x」、「log ^[-1] x 」。^[b] [...] §537.三角関数のべき乗。—例えば、sin xの2乗を表すために、主に3つの表記法が使われてきた。すなわち、(sin x ) ²、sin x ²、sin ² xである。現在、最も普及している表記法はsin ² xであるが、最初の最も誤解されにくいのは sin ² xです。sin x · sin xとsin (sin x ) の2つの解釈が考えられます。^[c] sin (sin x ) は通常は現れないため、log 2 x の場合と比べて誤解される危険性ははるかに低くなります。log ² xの場合、log x · log xと log (log x ) は解析において頻繁に使用されます。[...] (sin x ) ^{nを sin n} xと表記することは広く使用されており、現在では主流となっています。[...](xviii+367+1 ページ、うち補遺 1 ページ) (注: 第 2 版の再版の ISBN とリンクは、Cosimo, Inc. (米国ニューヨーク、2013 年) によるものです。)
7. Helmut Sieber und Leopold Huber: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien.エルンスト・クレット・フェルラーク。
8. トーマス 1972、304–309ページ
9. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. 「21.2.-4. 逆三角関数」.科学者とエンジニアのための数学ハンドブック：定義、定理、および参照とレビューのための公式（第3版）. ミネオラ、ニューヨーク州、米国：Dover Publications, Inc. p.  811 . ISBN 978-0-486-41147-7。
10. オールドハム, キース・B.; マイランド, ジャン・C.; スパニアー, ジェローム (2009) [1987].関数アトラス：アトラス関数計算機Equator付き（第2版）. Springer Science+Business Media, LLC . doi : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6 LCCN  2008937525
11. ホール、アーサー・グラハム、フリンク、フレッド・グッドリッチ (1909)。「第14条：逆三角関数」。米国ミシガン州アナーバーで執筆。平面三角法。ニューヨーク：ヘンリー・ホルト・アンド・カンパニー。15 ～ 16ページ 。 2017年8月12日閲覧。α = arcsin  mこの表記法はヨーロッパで広く使用されており、米国でも急速に普及しています。あまり望ましくない記号であるα = sin ^-1 mは、英語とアメリカのテキストにまだ見られます。α = inv sin mという表記法は、その汎用性を考えると、おそらくさらに適切でしょう。[…] 同様の記号関係が他の三角関数にも当てはまります。2つの互いに逆関数は、それぞれが他方の逆関数であると言われるため、「arc-sin m 」または「anti-sin m 」とよく読みます
12. レイ 2006、69ページ、例7.24
13. Wolf 1998、p. 208、定理7.2
14. スミス、エッゲン、セント・アンドレ、2006 年、pg. 141 定理 3.3(a)
15. レイ 2006、p. 71、定理7.26
16. ブリッグス＆コクラン 2011、28～29ページ
17. レイ 2006、p. 246、定理26.10
18. 「逆関数」 . www.mathsisfun.com . 2020年9月8日閲覧。
19. ブリッグス＆コクラン 2011、39～42ページ
20. ダミット、フート。抽象代数。
21. Mac Lane, Saunders. 『働く数学者のためのカテゴリー』
22. フランケル (1954). 「抽象集合論」 . Nature . 173 (4412): 967. Bibcode : 1954Natur.173..967C . doi : 10.1038/173967a0 . S2CID 7735523 . 
23. ローア、ニコラス・A. (2019年11月20日).数学的証明入門. CRC Press. ISBN 978-1-000-70962-9。

参考文献

• ブリッグス、ウィリアム、コクラン、ライル (2011).微積分学／初等超越論 一変数.アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-321-66414-3。
• デブリン、キース・J. (2004).集合、関数、論理／抽象数学入門（第3版）.チャップマン＆ホール／CRC数学. ISBN 978-1-58488-449-1。
• フレッチャー、ピーター、パティ、C. ウェイン (1988). 『高等数学の基礎』 . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3。
• レイ、スティーブン・R. (2006).解析学／証明入門（第4版）.ピアソン／プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-148101-5。
• スミス、ダグラス、エッゲン、リチャード・セント・アンドレ（2006年）。『上級数学への移行』（第6版）。トンプソン・ブルックス／コール。ISBN 978-0-534-39900-9。
• トーマス・ジュニア、ジョージ・ブリントン(1972) 『微積分と解析幾何学 第1部：一変数関数と解析幾何学（別版）』アディソン・ウェスリー
• ウルフ、ロバート・S. (1998).証明、論理、そして予想 / 数学者の道具箱. WHフリーマン・アンド・カンパニー. ISBN 978-0-7167-3050-7。

参考文献

• ジョン・C・アマジゴ、レスター・A・ルーベンフェルド (1980)「陰関数、ヤコビアン、逆関数」『微積分学とその工学・物理科学への応用』ニューヨーク：ワイリー、  103 ～120ページ。ISBN 0-471-04934-4。
• ビンモア、ケン・G. (1983). 「逆関数」.微積分学. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. pp.  161– 197. ISBN 0-521-28952-1。
• スピヴァック、マイケル (1994) 『微積分学』（第3版）『Publish or Perish』ISBN 0-914098-89-6。
• スチュワート、ジェームズ(2002).微積分学（第5版）.ブルックス・コール. ISBN 978-0-534-39339-7。

外部リンク

• 「逆関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]