ルジャンドル関数

物理科学と数学において、ルジャンドル関数 P _λ、Q _λ、およびルジャンドル随伴関数 P^μ
_λ、Q^μ
_λ、そして第二種ルジャンドル関数Q _nはすべて、ルジャンドル微分方程式の解です。ルジャンドル多項式とルジャンドル随伴多項式も、特殊な場合の微分方程式の解であり、多項式であるがゆえに、多数の追加の性質、数学的構造、および応用を持ちます。これらの多項式解については、Wikipediaの個別の記事を参照してください。

λ = l = 5のルジャンドル随伴多項式曲線

ルジャンドル微分方程式

一般的なルジャンドル方程式は、λとμが複素数の 場合もあり 、それぞれ関数の次数と位数と呼ばれます。λが整数（nと表記）でμ = 0の場合の多項式解はルジャンドル多項式P nです。λが整数_（ nと表記）でμ = mも整数で| m | < nの場合 の多項式解は、ルジャンドル随伴多項式です。λとμの他のすべてのケースは1つとして議論することができ、解はP$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$ ^μ
_λ、Q^μ
_λと書きます。μ = 0の場合は上付き文字を省略し、単にP _λ、Q _λと書きます。ただし、 λが整数の場合の解Q _{λ は}、第二種ルジャンドル関数として別途議論されることが多く、Q _nと書きます

これは、3つの正則特異点（ 1、-1、∞ ）を持つ2階線形方程式です。このような方程式はすべて、変数変換によって超幾何微分方程式に変換でき、その解は超幾何関数を用いて表すことができます。

微分方程式の解

この微分方程式は線形、同次（右辺 = 0）、2階であるため、2つの線形独立な解を持ち、どちらも超幾何関数を用いて表すことができます。をガンマ関数とすると、最初の解は、 2番目の解は ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2,}$$ $${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$$

Mathematica 13.1のComplexPlot3D関数を用いて、複素平面におけるn=0.5の第二種ルジャンドル関数Q n(x)のプロット（-2-2iから2+2iまで）（色付き）

これらは一般に、非整数次数の第一種および第二種のルジャンドル関数として知られており、 μがゼロでない場合は「関連する」という修飾語が追加されます。P解とQ解の間の有用な関係は、ホイップルの公式です。

正の整数次数

正の整数の場合、上記の評価には特異項の消去が含まれます。 ^{[1] の}極限は${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$

$${\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}$$

（上昇）ポッホハンマー記号を用いて。 ${\displaystyle (\lambda )_{n}}$

第二種ルジャンドル関数（Q _n）

第二種ルジャンドル関数の最初の5つのプロット。

整数次、およびの特殊なケースに対する非多項式解は 、しばしば別々に議論されます。それは次のように与えられます 。${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ $${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

この解は、のとき必ず特異です。 ${\displaystyle x=\pm 1}$

第二種ルジャンドル関数は、ボネの漸化式を用いて再帰的に定義することもできます。 $${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

第二種ルジャンドル准関数

整数次、およびの特殊なケースに対する非多項式解は、次のように与えられます 。${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$ $${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

積分表現

ルジャンドル関数は、等高線積分として表すことができます。例えば、 等高線が点1とz の周りを正の方向に回り込み、 -1 の周りを回り込まないとします。実数xに対して、 $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$ $${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

ルジャンドル関数を characters として表す

の実積分表現は、の二重剰余類空間であるの調和解析の研究に非常に役立ちます（帯状球面関数を参照）。実際には、 のフーリエ変換は で 与えられます。 ${\displaystyle P_{s}}$ ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ ${\displaystyle G//K}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ $${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

第一種ルジャンドル関数の特異点（P _λ）対称性の結果として

非整数次ルジャンドル関数P _λは区間 [-1, 1] で非有界です。物理学の応用では、これがしばしば選択基準となります。実際、第二種ルジャンドル関数Q _λは常に非有界であるため、ルジャンドル方程式の有界解を得るには、次数が整数値でなければなりません。整数次の場合のみ、第一種ルジャンドル関数は [-1, 1] で有界となるルジャンドル多項式に簡約されます。 ^[2]によれば、非整数次ルジャンドル関数P _λの特異性は、 ルジャンドル方程式の鏡映対称性の結果です。したがって、先ほど述べた選択規則の下では対称性があります。

参照

• フェラーズ関数

参考文献

1. Creasey, Peter E.; Lang, Annika (2018). 「球面上の等方性ガウス確率場の高速生成」.モンテカルロ法とその応用. 24 (1): 1– 11. arXiv : 1709.10314 . Bibcode :2018MCMA...24....1C. doi :10.1515/mcma-2018-0001. S2CID  4657044.
2. van der Toorn, Ramses (2022年4月4日). 「ルジャンドル方程式の対称性の帰結としての第一種ルジャンドル関数の特異性」. Symmetry . 14 (4): 741. Bibcode :2022Symm...14..741V. doi : 10.3390/sym14040741 . ISSN  2073-8994.

• ミルトン・アブラモウィッツ、アイリーン・アン・ステガン編 (1983) [1964年6月]。「第8章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版） 。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。332ページ。ISBN   LCCN  64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253
• リチャード・クーラント、デイヴィッド・ヒルベルト（1953年）、数理物理学の方法、第1巻、ニューヨーク：インターサイエンス出版社。
• ダンスター、TM（2010年）、ルジャンドル関数と関連関数、フランク・WJ・オルバー、ダニエル・M・ロジエ、ロナルド・F・ボイスヴェール、チャールズ・W・クラーク（編）、NIST数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• イワノフ、AB（2001年）[1994年]、「ルジャンドル関数」、数学百科事典、EMSプレス
• スノー、チェスター (1952) [1942]、「超幾何関数とルジャンドル関数、ポテンシャル理論の積分方程式への応用」、米国標準規格応用数学シリーズ、第19号、ワシントンD.C.：米国政府印刷局、hdl：2027/mdp.39015011416826、MR  0048145
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1963), A Course in Modern Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2

外部リンク

• Wolfram関数サイトのルジャンドル関数P
• Wolfram関数サイトのルジャンドル関数Q
• Wolfram関数サイトのルジャンドル関数P
• Wolfram関数サイトのルジャンドル関数Q