ライプニッツ代数

数学において、（右）ライプニッツ代数は、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられ、ジャン＝ルイ・ローデイにちなんでローデイ代数と呼ばれることもあるが、可換環R上の 加群Lで、ライプニッツ恒等式を満たす双線型積[_,_]を持つものである。

${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b].\,}$

言い換えれば、任意の元cによる右乗法は微分である。加えて括弧が交代的である場合 ([ a ,  a ] = 0)、ライプニッツ代数はリー代数である。実際、この場合 [ a ,  b ] = −[ b ,  a ] であり、ライプニッツ恒等式はヤコビの恒等式 ([ a , [ b ,  c ]] + [ c , [ a ,  b ]] + [ b , [ c ,  a ]] = 0) と等価である。逆に、任意のリー代数は明らかにライプニッツ代数である。

この意味で、ライプニッツ代数はリー代数の非可換な一般化と見なすことができます。リー代数のどの定理と性質がライプニッツ代数にも依然として当てはまるかという研究は、文献において繰り返し取り上げられるテーマです。^{[1]例えば、}エンゲルの定理はライプニッツ代数にも依然として当てはまることが示されている^{[2] [3] 。また、}レヴィ＝マルチェフの定理のより弱いバージョンも成り立つことが示されている^{[4] 。}

任意のベクトル空間Vのテンソル加群T ( V ) は、次のようなローデイ代数に変換できる。

${\displaystyle [a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n},x]=a_{1}\otimes \cdots a_{n}\otimes x\quad {\text{for }}a_{1},\ldots ,a_{n},x\in V.}$

これはV上の自由ローデイ代数です。

ライプニッツ代数は1965年にA. Blohによって発見され、D代数と名付けられました。ジャン＝ルイ・ローデイが、リー代数の外積モジュールにおける古典的なシュヴァレー・アイレンベルク境界写像をテンソル加群に持ち上げることができ、新しい連鎖複体が得られることに気付いたことで、ライプニッツ代数は注目を集めました。実際、この複体は任意のライプニッツ代数に対して明確に定義されています。この連鎖複体のホモロジーHL ( L )はライプニッツホモロジーとして知られています。Lが結合R代数A上の（無限）行列のリー代数である場合、 LのライプニッツホモロジーはAのホッホシルトホモロジー上のテンソル代数です。

ジンビール代数は、ライプニッツ代数に対する コシュル双対概念である。定義的恒等式として以下を持つ。

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)+a\circ (c\circ b).}$

注記

1. バーンズ、ドナルド W. (2011年7月). 「ライプニッツ代数に関するいくつかの定理」. Communications in Algebra . 39 (7): 2463– 2472. doi :10.1080/00927872.2010.489529.
2. パツオウラコス, アレクサンドロス (2007年11月26日). 「ライプニッツ代数の冪零性について」. Communications in Algebra . 35 (12): 3828– 3834. doi :10.1080/00927870701509099.
3. し。 A.アユポフ。 BA オミロフ (1998)。 「ライプニッツ代数について」。 Khakimdjanov、Y.で。瞽女、M.アユポフ、Sh. （編）。代数と作用素理論、タシケントのコロキウムの議事録、1997 年。ドルドレヒト: スプリンガー。1 ～ 13ページ 。ISBN 9789401150729。
4. バーンズ、ドナルド W. (2011年11月30日). 「ライプニッツ代数に対するレヴィの定理について」.オーストラリア数学会報. 86 (2): 184–185 . arXiv : 1109.1060 . doi :10.1017/s0004972711002954.

参考文献

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• ロデー、ジャン＝ルイ (1993)。 「Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz」(PDF)。少尉。数学。シリーズ 2。39 ( 3–4 ) : 269–293。
• ロデー、ジャン＝ルイ、テイムラズ、ピラシビリ (1993)。 「ライプニッツ代数の普遍包囲代数と（コ）ホモロジー」。数学アンナレン。296 (1): 139–158。CiteSeerX  10.1.1.298.1142。土井：10.1007/BF01445099。S2CID  16865683。
• Bloh, A. (1965). 「リー代数の概念の一般化について」. Dokl. Akad. Nauk SSSR . 165 : 471–3 .
• Bloh, A. (1967). 「一般化されたリー代数のクラスに対するカルタン-アイレンベルクホモロジー理論」. Dokl. Akad. Nauk SSSR . 175 (8): 824–6 .
• ジュマディルダエフ、アスファルト州。ツレンバエフ、KM (2005)。 「ジンビエル代数の零能」。J.Dyn.制御システム。11 (2): 195–213。土井:10.1007/s10883-005-4170-1。S2CID  121944962。
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