レヴィ＝チヴィタ接続

リーマン幾何学または擬リーマン幾何学（特に一般相対論のロレンツ幾何学）において、レヴィ・チヴィタ接続は、 （擬）リーマン計量を保存し、ねじれのない多様体の接束上の唯一のアフィン接続です。

リーマン幾何学の基本定理は、これらの特性を満たす唯一の接続が存在することを述べています。

リーマン多様体および擬リーマン多様体の理論において、共変微分という用語はしばしばレヴィ-チヴィタ接続を指すのに用いられる。この接続の局所座標系に関する成分（構造係数）はクリストッフェル記号と呼ばれる。

歴史

レヴィ＝チヴィタ接続はトゥリオ・レヴィ＝チヴィタにちなんで名付けられましたが、もともとはエルヴィン・ブルーノ・クリストッフェルによって「発見」されました。レヴィ＝チヴィタ^[1]は、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロと共にクリストッフェルの記号^{[2]を用いて}平行移動の概念を定義し、平行移動と曲率の関係を探求し、現代のホロノミーの概念を発展させました^[3]。

1869年、クリストッフェルはベクトル場の固有微分の成分が座標系を変えると反変ベクトルの成分として変換されることを発見しました。この発見はテンソル解析の真の始まりでした。

1906年、LEJブラウワーは定曲率空間の場合のベクトルの平行移動を考察した最初の数学者であった。^{[4] [5]}

1917年、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタは、ユークリッド空間に埋め込まれた超曲面、すなわち「より大きな」周囲空間に埋め込まれたリーマン多様体の場合の重要性を指摘した。 ^[1]彼は、埋め込まれた曲面の場合の固有微分を、周囲アフィン空間における通常の微分の接線成分として解釈した。レヴィ＝チヴィタの固有微分と曲線に沿ったベクトルの平行移動の概念は、当初の動機が特定の埋め込みに依存していたにもかかわらず、抽象的なリーマン多様体上でも意味を成す。${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

1918年、ヤン・アーノルドゥス・スハウテンはレヴィ＝チヴィタとは独立に、同様の結果を得ました。^[6]同年、ヘルマン・ワイルはレヴィ＝チヴィタの結果を一般化しました。^{[7] [8]}

表記

• ( M , g )は擬リーマン多様体を表す。
• TMはMの接線束です。
• gはMの擬リーマン計量です。
• X、Y、ZはM上の滑らかなベクトル場、つまりTMの滑らかなセクションです。
• [ X , Y ]はXとYのリー括弧です。これも滑らかなベクトル場です。

計量g は、最大2つのベクトルまたはベクトル場X、Y を引数として取ることができます。前者の場合、出力は数値、つまりXとYの（擬似）内積です。後者の場合、多様体上のすべての点pにおいてX _p、Y _pの内積が取られ、 g ( X、Y )はM上の滑らかな関数を定義します。ベクトル場は（定義により）滑らかな関数上の微分作用素として作用します。局所座標では、作用は次のようになります。 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

ここではアインシュタインの 和定理が使われています。

正式な定義

アフィン接続は 、次の場合、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれます。 ${\displaystyle \nabla }$

1. メトリック、つまりを保存します。${\displaystyle \nabla g=0}$
2. これは、ねじれなし、つまり任意のベクトル場 およびに対して であり、ここではベクトル場およびのリー括弧です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

上記の条件1は、計量との適合性と呼ばれることもあり、条件2は対称性と呼ばれることもあります（Do Carmoのテキストを参照）。^[9]

（擬）リーマン幾何学の基本定理

定理すべての擬リーマン多様体は一意のレヴィ・チヴィタ接続を持つ。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \nabla }$

証明：^{[10] [11]} 一意性を証明するには、テンソルへの接続の作用の定義を解いて、

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$ 。

したがって、計量を保存する 条件は次のように書ける。${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$ 。

の対称性により、 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)}$ 。

ねじれがないので、右辺は

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)}$ 。

したがって、コズルの式

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}}$

が成り立つ。したがって、レヴィ・チヴィタ接続が存在する場合、 は任意であり、は退化せず、右辺は に依存しないため、それは一意でなければならない。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla }$

存在を証明するために、与えられたベクトル場 と に対して、Koszulの式の右辺はベクトル場 の滑らかな関数に対して単なる実線型ではなく線型であることに注意する。したがって、の非退化性により、右辺は新しいベクトル場を一意に定義し、これは左辺で示唆的に と表記される。Koszulの式を代入することにより、すべてのベクトル場とすべての関数に対して、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

したがって、Koszul 式は実際には接続を定義しており、この接続はメトリックと互換性があり、ねじれがありません。つまり、Levi-Civita 接続です。

わずかな違いはあるものの、同じ証明は、計量法と互換性があり、規定されたねじれを持つ一意の接続が存在することを示しています。

クリストッフェルの記号

接束上のアフィン接続を とする。座標基底ベクトル場を持つ局所座標を選び、についてと書く。これらの座標に関する のクリストッフェル記号は次のように定義される。${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$ ${\displaystyle \nabla _{j}}$ ${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

クリストッフェル記号は逆に座標近傍上の 接続を定義する。${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}$

つまり、

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

アフィン接続は計量と互換性があり、その場合のみ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

つまり、

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

アフィン接続∇がねじれのない接続となるのは、

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}$

つまり、

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

下位 2 つのインデックスは対称的です。

座標ベクトル場をとることによって確認すると（または直接計算することによって）、上で導出したレヴィ・チヴィタ接続のKoszul表現は、次のように計量に関するクリストッフェル記号の定義と等価である。 ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

ここで、通常通り、は双対計量テンソルの係数、つまり行列の逆行列の要素です。 ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{kl}}$

曲線に沿った微分

レヴィ・チヴィタ接続は（他のアフィン接続と同様に）曲線に沿った微分も定義し、Dと表記されることもあります。

( M , g )上の滑らかな曲線γとγに沿ったベクトル場Vが与えられたとき、その導関数は次のように定義される。

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

正式には、Dはプルバックバンドルγ * TM上のプルバック接続 γ *∇です。

特に、は曲線γ自身に沿ったベクトル場である。 がゼロの場合、曲線は共変微分の測地線と呼ばれる。正式には、この条件は に適用されたプルバック接続のゼロとして言い換えられる。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

共変微分が特定の計量のレヴィ・チヴィタ接続である場合、その接続の測地線は、まさにその弧の長さに比例してパラメータ化された計量の測地線になります。

平行輸送

一般に、接続に関する曲線上の平行移動は、曲線の点における接空間間の同型性を定義する。接続がレヴィ＝チヴィタ接続である場合、これらの同型性は直交する、つまり、様々な接空間上の内積を保存する。

下の図は、レヴィ・チヴィタ接続によって誘起される平行移動を、穴あき平面 上の2つの異なるリーマン計量に関連付けて示しています。平行移動が行われる曲線は単位円です。極座標では、左側の計量は標準ユークリッド計量で、右側の計量は です。最初の計量は平面全体に広がりますが、2番目の計量は原点で特異点を持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}$

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$ 。

レヴィ・チヴィタ接続による穴あき平面上の平行輸送

注意：これは単位円上の平行移動ではなく、単位円に沿った穴あき平面上の平行移動です。実際、最初の画像ではベクトルは単位円の接空間の外側にあります。

例: Rの単位球面³

⟨ , ⟩をR ³上の通常のスカラー積とする。S ^{2 を}R ³上の単位球面とする。点mにおけるS ²の接空間は、mに直交するすべてのベクトルからなるR ³のベクトル部分空間と自然に同一視される。したがって、S ²上のベクトル場Y は、写像Y  : S ² → R ³として見ることができ、これは次式を満たす 。${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

点m​​ における写像Yの微分をd _m Yとおくと、次式が成り立ちます。

補題—式は 、捩れがゼロである S ² 上のアフィン接続を定義します。$${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$$

証拠

∇ がライプニッツ恒等式を満たし、第1変数に関してC ^∞ ( S ² )線形であることは簡単に証明できます。また、この接続がねじれのないことを示す計算も簡単です。したがって、ここで証明する必要があるのは、上記の式がS ²に接するベクトル場を生成することだけです。つまり、S ²のすべてのmに対して、 S ²のすべてのm を⟨ Y ( m ), m ⟩に写す 写像fを考えます。これは常に 0 です。写像fは定数であるため、その微分はゼロです。特に、 上記の式 (1) は次のように成り立ちます。QED $${\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}$$ $${\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.}$$

実際、この接続はR ³から継承されたS ²上の計量に対するレヴィ・チヴィタ接続です。実際、この接続が計量を保存することは確認できます。

共形再スケーリングにおける挙動

共形類の計量が同じ類の共形再尺度計量に置き換えられると、レヴィ・チヴィタ接続は規則^[12]に従って変換される。 ここで、は の勾配ベクトル場、すなわちの -双対ベクトル場であり、局所座標で によって与えられる。実際、 がねじれフリーであることを確認するのは自明である。計量性を検証するには、 が定数であると仮定する。その場合、 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}$ $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}$$ ${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d\gamma }$ ${\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {\nabla }}}$ ${\displaystyle g(Y,Y)}$ $${\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}$$

応用として、再び単位球面を考えてみましょう。ただし、今回は立体射影となるので、計量 (複素フビニ・スタディ座標 ) は次のようになります。 これは、球面の計量がユークリッド計量 で、となる 共形平坦であることを示しています。 となるので となり、 となります 。 ユークリッド勾配 を用いると となります 。 これらの関係は、その複素共役とともに、2 球面のクリストッフェル記号を定義します。 ${\displaystyle z,{\bar {z}}}$ $${\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}$$ ${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}$ ${\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}$ $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}$$ ${\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}$ $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}$$

参照

• ヴァイツェンベック接続

注記

1. Levi-Civita、Tullio (1917). 「Nozione diParallelismo in una varietà qualunque」[あらゆる多様体における並列性の概念]。レンディコンティ デル チルコロ マテマティコ ディ パレルモ(イタリア語)。42 : 173–205。土井:10.1007/BF03014898。JFM  46.1125.02。S2CID  122088291。
2. クリストフェル、エルウィン B. (1869)。 「Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades」。数学に関するジャーナル。1869 (70): 46–70 . doi :10.1515/crll.1869.70.46。S2CID  122999847。
3. マイケル・スピヴァック（1999年）『微分幾何学入門（第2巻）』Publish or Perish Press、238ページを参照。ISBN 0-914098-71-3。
4. ブラウワー、LEJ (1906)。 「Het krachtveld der niet-Euclidische、negatief gekromde ruimten」。Koninklijke Academy van Wetenshappen。フェルスラーゲン。15：75～ 94
5. ブラウワー、LEJ (1906)。 「負の曲率を持つ非ユークリッド空間の力場」。Koninklijke Academy van Wetenshappen。議事録。9 : 116–133。書誌コード:1906KNAB....9..116B。
6. スハウテン、ヤン・アーノルドゥス(1918)。 「Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie」。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。12 (6)：95。
7. ヘルマン・ヴァイル(1918)。 「重力と電気」。Sitzungsberichte der Königlich Preusischen Akademie der Wissenschaften。 1918 年 1 月～6 月: 465– 480。Bibcode :1918SPAW....465W。 Das Relativitätsprinzipに転載: Eine Sammlung von Abhandlungen (1923)、pp. 147–159、doi :10.1007/978-3-663-19510-8_11、ISBN 978-3-663-19372-2。
8. ヘルマン・ヴァイル (1918)。 「レーヌ微小幾何学」。数学的ツァイシュリフト。2 ( 3–4 ): 384– 411。Bibcode :1918MatZ....2..384W。土井：10.1007/bf01199420。S2CID  186232500。
9. カルモ、マンフレド・ペルディガン・ド (1992)。リーマン幾何学。フランシス・J・フラハティ。ボストン：ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3490-8. OCLC  24667701。
10. John M Lee (2018).リーマン多様体入門. Springer-Verlag. p. 22.
11. バレット・オニール (1983).半リーマン幾何学と相対性理論への応用. アカデミック・プレス. p. 61.
12. Arthur Besse (1987).アインシュタイン多様体. Springer. p. 58.

参考文献

• ブースビー、ウィリアム・M. (1986).微分可能多様体とリーマン幾何学入門. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-116052-1。
• 小林 庄七;野水勝美（1963）。微分幾何学の基礎。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-470-49647-9。 第1巻158ページ参照

外部リンク

• 「レヴィ＝チヴィタ接続」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MathWorld: レヴィ・チヴィタ関係
• PlanetMath: レヴィ-チヴィタ接続
• 多様体アトラスにおけるレヴィ＝チヴィタ接続