レビンソンの不等式

数学において、レビンソンの不等式はノーマン・レビンソンによる次の不等式であり、正の数を含む。 とを範囲 で三次導関数を持つ与えられた関数とし、 ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,2a)}$

${\displaystyle f'''(x)\geq 0}$

すべての について。 およびについてと仮定する。すると ${\displaystyle x\in (0,2a)}$ ${\displaystyle 0<x_{i}\leq a}$ ${\displaystyle 0<p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}$

Ky Fan不等式はLevinsonの不等式の特別な場合であり、

${\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},{\text{ }}f(x)=\log x.}$

参考文献

• スコット・ローレンス、ダニエル・シーガルマン：「平均を含む2つの不等式の一般化」、ア​​メリカ数学会報、第35巻第1号、1972年9月。
• ノーマン・レビンソン：Ky Fanの不等式の一般化、数学解析応用ジャーナル第8巻（1964年）、133-134ページ。