リエナール方程式

数学、特に力学系と微分方程式の研究において、リエナール方程式^{[1]はフランスの物理学者アルフレッド・マリー}・リエナールにちなんで名付けられた2階常微分方程式の一種です。

ラジオや真空管技術の発展に伴い、リエナール方程式は発振回路のモデル化に利用できることから、精力的に研究されました。リエナールの定理は、特定の追加仮定の下で、そのようなシステムのリミットサイクルの一意性と存在を保証します。区分線形関数を含むリエナール系は、ホモクリニック軌道を含むこともあります。^[2]

意味

fとgを⁠ ⁠上の連続微分可能関数とし、f を偶関数、g を奇関数とする。このとき、の形の2階常微分方程式はリエナール方程式と呼ばれる。^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$$

リエナールシステム

この方程式は、等価な2次元常微分方程式に変換することができる。定義する。

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

それから

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

リエナールシステムと呼ばれます。

あるいは、リエナール方程式自体も自律微分方程式であるため、置換によりリエナール方程式は1階微分方程式になります。 ${\displaystyle v={dx \over dt}}$

${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

これは第二種アーベル方程式である。^{[4] [5]}

例

ファンデルポール振動子

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

はリエナール方程式である。ファン・デル・ポール振動子の解はリミットサイクルを持つ。このようなサイクルは、小さい場合には負、それ以外の場合には正となるリエナール方程式の解を持つ。ファン・デル・ポール方程式には一般に厳密な解析解は存在しない。リミットサイクルのこのような解は、が区分定数関数である場合に存在する。 ^[6]${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

リエナールの定理

リエナール系は、以下の追加の特性を満たす場合、原点を囲む唯一の安定した リミットサイクルを持ちます。 ^[7]

• すべてのx > 0 に対してg ( x ) > 0 である。
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;}$
• F ( x ) は、ある値pにおいて 1 つの正の根を持ちます。ただし、0 < x < pおよびF ( x ) > 0 の場合はF ( x ) < 0 となり、 x > pの場合は単調となります。

参照

• ビリュコフ方程式

脚注

1. Liénard, A. (1928) "Etude des oscillations entretenues"、 Revue générale de l'électricité 23、pp. 901–912 および 946–954。
2. 区分線形リエナールシステムの位相曲線とベクトル場
3. グイドリッツィ、ハミルトン L. (1996)。 「リナードの解決策」。Anais da Academia Brasileira de Ciências (ブラジルポルトガル語)。68 (1):124.
4. eqworldのリエナール方程式。
5. eqworldにおける第二種アーベル方程式。
6. Pilipenko AM、Biryukov VN「自己発振回路の効率に関する最新の数値解析手法の調査」、Journal of Radio Electronics、第9号、（2013年）。http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html
7. 証明については、Perko, Lawrence (1991). Differential Equations and Dynamical Systems (Third ed.). New York: Springer. pp.  254– 257. ISBNを参照。 0-387-97443-1。

外部リンク

• 「リエナール方程式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• PlanetMathの LienardSystem 。