リンデバーグの状態

確率論において、リンデバーグの条件は、一連の独立した確率変数に対して中心極限定理(CLT) が成り立つための十分条件(また、特定の条件下では必要条件でもある)である。^{[1] [2] [3]問題の確率変数が有限}分散を持ち、独立かつ同一に分布することを要求する古典的な CLT とは異なり、リンデバーグの CLT では、有限分散を持ち、リンデバーグの条件を満たし、独立であることのみを要求する。これは、フィンランドの数学者ヤール・ヴァルデマール・リンデバーグにちなんで名付けられている。^[4]

声明

を確率空間とし、をその空間上で定義された独立確率変数とする。期待値と分散が存在し、有限であると仮定する。また、${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}}$ ${\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}$

この独立確率変数の列がリンデバーグの条件を満たす場合： ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0}$

すべての に対して、1 _{…}は指示関数であるとき、中心極限定理が成り立ち、すなわち確率変数 ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}}$

分布的に標準正規分布に従う確率変数に収束する。${\displaystyle n\to \infty .}$

リンデバーグの条件は十分条件だが、一般には必要条件ではない（つまり、逆の含意は一般には成り立たない）。しかし、問題の独立確率変数の列が

${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ as }}n\to \infty ,}$

すると、リンデバーグの条件は十分かつ必要であり、つまり中心極限定理の結果が成り立つ 場合にのみ成立します。

備考

フェラーの定理

フェラーの定理は、リンデバーグの条件が成り立つことを証明する代替方法として使用できる。^[5]簡単のため、 ととすると、定理は次のように述べる。 ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=0}$

の場合、は標準正規分布に弱収束し、Lindeberg の条件を満たします。${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0}$ ${\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle X_{k}}$

この定理は、背理法を用いて中心極限定理がに対して成立することを 反証するために用いることができる。この手順では、 に対してリンデバーグの条件が満たされないことを証明する必要がある。 ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$

解釈

Lindeberg 条件はを意味するため、の値が十分に大きい場合、任意の個別のランダム変数( ) の分散への寄与が任意に小さくなることを保証します。 ${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle s_{n}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

例

リンデバーグ条件を満たす以下の有益な例を考えてみましょう。平均0、分散1のiid確率変数の列と、以下の条件を満たす非ランダムな列があるとします。 ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle \max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a\|_{2}}}\rightarrow 0}$$

ここで、線形結合の正規化された要素を定義します。

$${\displaystyle X_{i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}}$$

これはリンデバーグ条件を満たす：

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]}$$

しかし、は有限なので、 DCT と の条件により、ごとに 0 になることがわかります。 ${\displaystyle \xi _{i}^{2}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

参照

• リャプノフ条件
• 中心極限定理

参考文献

1. ビリングスリー, P. (1986). 確率と測度（第2版）. Wiley. p. 369. ISBN 0-471-80478-9。
2. Ash, RB (2000).確率と測度論（第2版）. p. 307. ISBN 0-12-065202-1。
3. Resnick, SI (1999).確率パス. p. 314.
4. JW リンデバーグ (1922)。 「Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung」。数学的ツァイシュリフト。15 (1): 211–225。土井:10.1007/BF01494395。S2CID  119730242。
5. Athreya, KB; Lahiri, SN (2006).測度論と確率論. Springer. p. 348. ISBN 0-387-32903-X。