二分法

線分 DE は線分 AB を D で二等分し、線分 EF は線分 AD を C で垂直二等分し、線分 EF は直角 AED の内二等分線です。

幾何学において、二等分とは、何かを2つの等しい、または合同な部分（同じ形と大きさを持つ）に分割することです。通常、二等分線（二等分線とも呼ばれる）が用いられます。最もよく使われる二等分線の種類は、線分の二等分線（与えられた線分の中点を通る線）と角の二等分線（角度の頂点を通る線で、角度を2つの等しい角度に分割する線）です。3次元空間では、二等分は通常、二等分平面（二等分線とも呼ばれる）によって行われます。

垂直線分の二等分線

意味

線分の垂直二等分線

• 線分の垂直二等分線とは、線分の中点と垂直に交わる線です。
• 線分の垂直二等分線には、その各点が線分 AB の端点から等距離にあるという性質もあります。${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle X}$

（D） . ${\displaystyle \quad |XA|=|XB|}$

証明はピタゴラスの定理から導かれる。 ${\displaystyle |MA|=|MB|}$

${\displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.}$

性質（D）は通常、垂直二等分線の作成に使用されます。

定規とコンパスによる作図

定規とコンパスによる作図

古典幾何学では、二等分はコンパスと定規を使った単純な作図であり、その実現可能性は、等しい半径と異なる中心を持つ 円弧を描く能力に依存します。

線分は、線分の端点を中心とする半径が等しい交差する円を描くことで二等分されます。2つの円の交点を結ぶ線分が、線分の垂直二等分線です。 二等分線の作成は線分の中点を知らなくても行われるため、この作図は二等分線と線分の交点を 求める際に用いられます。${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle r>{\tfrac {1}{2}}|AB|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

この構成は、実際には、与えられた点で与えられた直線に垂直な直線 を構築するときに使用されます。つまり、直線と 2 点で交差する中心を持つ円を描き、構築される垂線は 1 つの二等分線分になります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle AB}$

方程式

が2点の位置ベクトルである場合、その中点は であり、ベクトルは垂直線分の二等分線の法線ベクトルです。したがって、そのベクトル方程式は です。 この方程式を挿入して展開すると、ベクトル方程式が得られます。 ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$ ${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0}$ ${\displaystyle {\vec {m}}=\cdots }$

（V）${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

すると、座標形式の方程式が得られます。 ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$

（C）${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

あるいは明示的には: (E)、 ここで、、および。 ${\displaystyle \quad y=m(x-x_{0})+y_{0}}$ ${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$ ${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$ ${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$

アプリケーション

垂直線分の二等分線は、さまざまな幾何学の問題を解くために使用されました。

1. タレスの円の中心の構築、
2. 三角形の外接円の中心の作成、
3. ボロノイ図の境界は、このような線分または平面のセグメントで構成されます。

二等分平面

空間における垂直線分の二等分線

• 線分の垂直二等分線は、線分の中点で線分と垂直に交わる平面です。

そのベクトル方程式は平面の場合と文字通り同じです。

（V）${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

すると、座標形式の方程式が得られます。 ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$

（C3）${\displaystyle \quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\;.}$

特性(D) (上記参照) は空間においても文字通り真です: (D)線分の垂直二等分面は任意の点に対して次の特性を持ちます: 。 ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \;|XA|=|XB|}$

角の二等分線

コンパスと定規を使った角度の二等分

角の二等分線は、角を等しい長さの2つの角に分割します。角には二等分線が1本しかありません。角の二等分線の各点は、角の辺から等距離にあります。

定規とコンパスを使って角を二等分するには、頂点を中心とする円を描きます。円は、角と各辺の2点で交わります。これらの点を中心として、同じ大きさの円を2つ描きます。円（2点）の交点が角の二等分線となります。

この作図の正しさの証明は、問題の対称性を利用することで、かなり直感的に理解できます。正式な証明は、菱形と合同な三角形の基本的な性質を参照します。角の三等分（3つの等しい部分に分割すること）は、コンパスと定規だけでは不可能です（これはピエール・ワンツェルによって初めて証明されました）。

角の「内二等分線」とは、180°未満の角を2つの等しい角に分割する直線、半直線、または線分のことである。「外二等分線」とは、一方の辺が元の角を形成し、もう一方の辺の延長線がもう一方の辺を形成することで形成される補角（180°から元の角を引いた角）を2つの等しい角に分割する直線である。^{[ 1 ]}

角の内二等分線と外二等分線は垂直である。角が代数的に次のように表される2つの直線によって形成される場合、 内二等分線と外二等分線は次の2つの式で表される^{[ 2 ]。p.15} ${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}$ ${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=\pm {\frac {l_{2}x+m_{2}y+n_{2}}{\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.}$

三角形

同時性と共線性

図に示すように、三角形の内角の二等分線は三角形の内心と呼ばれる点において一致します。

二つの外角の二等分線ともう一つの内角の二等分線は等しい。^{[ 3 ]：p.149}

外角の二等分線と対辺との3つの交点は同一線上にある。[ 3 ^]：149頁

3つの交点、つまり内角の二等分線と対辺との交点2つと、もう1つの外角の二等分線と対辺の延長線との交点3つは同一直線上にある。^{[ 3 ]：149ページ}

角の二等分線定理

この図では、BD:DC = AB:AC です。

角の二等分線定理は、三角形の辺を対角を二等分する線で二等分した時の、二等分された線分の相対的な長さに関する定理です。この定理は、これらの線分の相対的な長さが、三角形の他の二辺の相対的な長さと一致することを示しました。

長さ

三角形の辺の長さが、半周が 、対辺の角が A の場合、角 A の内二等分線の長さは^{[ 3 ] : p. 70 です。}${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle s=(a+b+c)/2,}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}},}$

あるいは三角法で言えば、^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.}$

三角形ABCの​​角Aの内二等分線の長さがmで、この二等分線がAの反対側の辺を長さmとnの線分に分ける場合、^{[ 3 ] : p.70} ${\displaystyle t_{a}}$

${\displaystyle t_{a}^{2}+mn=bc}$

ここで、bとcは頂点 B と C の反対側の辺の長さです。また、A の反対側の辺はb : c の比率で分割されます。

角A、B、Cの内二等分線の長さがそれぞれ と である場合、^{[ 5 ]}${\displaystyle t_{a},t_{b},}$ ${\displaystyle t_{c}}$

${\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$

合同でない2つの三角形は、3つの内角の二等分線の長さの同じセットを共有することはない。^{[ 6 ] [ 7 ]}

整数三角形

有理角の二等分線を持つ整数三角形が存在します。

四辺形

凸四辺形の内角二等分線は、円周四辺形（つまり、隣接する角二等分線の4つの交点が共円である）^{[ 8 ]}を形成するか、 または共角四辺形を形成する。後者の場合、四辺形は接線四辺形である。

菱形

ひし形の各対角線は、向かい合う角を二等分します。

外接四辺形

外接四辺形の外心は、6本の角の二等分線の交点にあります。これらは、2つの対角における内角の二等分線、他の2つの対角における外角の二等分線（補角の二等分線）、そして対辺の延長線が交差する角における外角の二等分線です。

放物線

BEはFECを二等分する

放物線の任意の点における接線は、その点と焦点を結ぶ線と、その点から準線に 垂直な線との間の角度を二等分します。

多角形の辺の二等分線

三角形

中央値

三角形の3つの中線はそれぞれ、1つの頂点と対辺の中点を通る線分であるため、その辺を二等分します（ただし、必ずしも垂直ではありません）。3つの中線は、三角形の重心と呼ばれる点で交差します。重心は、三角形が均一な密度を持つ場合の重心です。したがって、三角形の重心といずれかの頂点を通る線は、対辺を二等分します。重心は、どの辺の中点からも、対辺の頂点からも2倍の距離にあります。

垂直二等分線

三角形の一辺の内垂直二等分線とは、その辺を垂直に二等分する線分の、三角形の内側を通る線分です。三角形の三辺の垂直二等分線は、外心（三頂点を通る円の中心）で交差します。したがって、三角形の外心を通り、ある辺に垂直な線は、その辺を二等分します。

鋭角三角形では、外心は2つの最短辺の垂直二等分線を等しい割合で分割します。鈍角三角形では、2つの最短辺の垂直二等分線（それぞれの三角形の対辺を越えて外心まで延長したもの）は、それぞれの交差する三角形の辺で等しい割合で分割されます。^{[ 9 ]：系5および6}

任意の三角形において、内部の垂直二等分線は次のように与えられ、辺は、面積は^{[ 9 ]：Thm 2 である。}${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$ ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ ${\displaystyle T.}$

四辺形

凸四角形の2つの双中線は、対辺の中点を結ぶ線分であり、したがってそれぞれが2つの辺を二等分する。2つの双中線と対角線の中点を結ぶ線分は、「頂点の重心」と呼ばれる点で一致し、この点で全て二等分される。^{[ 10 ] : p.125}

凸四辺形の4つの「反心」は、ある辺の中点を通る垂線であり、したがって反対側の辺を二等分する。四辺形が円周状（円に内接する）の場合、これらの反心はすべて「反心」と呼ばれる共通点で 交わる。

ブラフマグプタの定理によれば、円周四辺形が直交対角線（つまり、直交する対角線を持つ）である場合、対角線の交点から辺に引いた垂線は、常に反対側の辺を二等分します。

垂直二等分線の作成では、別の四辺形の辺の垂直二等分線から四辺形を形成します。

面積の二等分線と周囲の二等分線

三角形

三角形の面積を二等分する線は無数にあります。そのうちの 3 本は三角形の中線（各辺の中点と反対の頂点とを結ぶ線）で、三角形の重心で交わります。実際、面積の二等分線のうち重心を通るのはこれらだけです。他の 3 本の面積の二等分線は三角形の辺に平行で、それぞれが他の 2 辺と交差し、それらの辺を の割合で線分に分割します。^{[ 11 ]}これらの 6 本の線は、一度に 3 本ずつ交わります。つまり、3 本の中線が交わることに加えて、どの中線も辺に平行な面積の二等分線のうち 2 本と交わります。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$

面積の二等分線の無限の包絡線は三角体である（三角体の外側に対して凹状の曲線で結ばれた3つの頂点を持つ図形として広義に定義され、内部の点は非凸集合となる）。^{[ 11 ]}三角体の頂点は中線の中点にある。三角体の内部にある点はすべて3つの異なる面積の二等分線上にあり、三角体の外部にある点はすべて1つの面積の二等分線上にある。[1] 三角体の辺は三角形の延長された辺に漸近する双曲線の弧である。^{[ 11 ]}面積の二等分線の包絡線の面積と三角形の面積の比はすべての三角形で不変であり、すなわち0.019860...または2%未満に等しい。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

三角形の二等分線とは、三角形の周を二等分し、3辺の中点を一端とする線分です。3本の二等分線は、中心三角形の内接円であるシュピーカー円の中心に一致し（すべて中心を通ります） 、角の二等分線と平行です。

三角形の二等分線とは、三角形の3つの頂点のいずれかに一端を持ち、三角形の周囲を二等分する線分です。3つの二等分線は三角形の ナーゲル点で一致します。

三角形の面積と周長を半分に分ける直線は、三角形の内心（内接円の中心）を通ります。三角形には、このような内接円の中心が1つ、2つ、または3つあります。内心を通る直線が面積または周長の一方を二等分する場合、かつその直線が他方も二等分する場合に限ります。^{[ 12 ]}

平行四辺形

平行四辺形の中心を通る任意の線は、面積^{[ 11 ]}と周囲を二等分する。

円と楕円

円やその他の楕円の面積の二等分線と周長の二等分線はすべて中心を通り、中心を通る弦は面積と周長を二等分します。円の場合、これらは円の 直径です。

対角線の二等分線

平行四辺形

平行四辺形の対角線は互いに二等分し ます。

四辺形

四辺形の対角線を結ぶ線分が両方の対角線を二等分する場合、この線分 (ニュートン直線) 自体は頂点の重心によって二等分されます。

体積二等分線

正四面体の二つの対辺を与えられた比率で分割する平面は、同じ比率で正四面体の体積も分割する。したがって、正四面体の双中線（対辺の中点を結ぶ線）を含む平面は、正四面体の体積を二等分する^{[ 13 ] [ 14 ] : pp.89–90}

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「外角二等分線」 MathWorld（Wolfram Webリソース）より。
2. スペイン、バリー.分析円錐図法、ドーバー出版、2007年（原著1957年）。
3. ジョンソン、ロジャー A.、「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー出版、2007年（原著1929年）。
4. オックスマン、ビクター. 「与えられた一辺の長さと二つの隣接する角の二等分線を持つ三角形の存在について」, Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
5. シモンズ、スチュアート. Mathematical Gazette 93, 2009年3月, 115-116.
6. Mironescu, P., Panaitopol, L.、「所定の角二等分線の長さを持つ三角形の存在」、 American Mathematical Monthly 101 (1994): 58–60。
7. オックスマン、ビクター、「規定角二等分線を持つ三角形の一意性の純粋に幾何学的な証明」、フォーラム幾何学8（2008）：197-200。
8. Weisstein, Eric W. 「Quadrilateral」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より。http ://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
9. ミッチェル、ダグラス W. (2013)、「三角形の辺の垂直二等分線」、フォーラム幾何学13、53-59。http ://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
10. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
11. Dunn, Jas. A.; Pretty, Jas. E. (1972年5月). 「三角形を半分に割る」. The Mathematical Gazette . 56 (396): 105– 108. doi : 10.2307/3615256 . JSTOR  3615256 .
12. コドコスタス、ディミトリオス、「三角形イコライザー」、数学マガジン83、2010年4月、pp.141-146。
13. Weisstein, Eric W. 「Tetrahedron」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より。http ://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
14. Altshiller-Court, N. 「四面体」『 Modern Pure Solid Geometry』第4章、Chelsea、1979年。

外部リンク

• 結び目を切る角度の二等分線
• 角の二等分線の定義。インタラクティブアプレットを使った数学オープンリファレンス
• 直線の二等分線の定義。インタラクティブアプレットを使った数学オープンリファレンス
• 垂直線二等分線。インタラクティブアプレット付き
• コンパスと定規を使用して、角度と直線を二等分するためのアニメーションの説明
• ワイスタイン、エリック W. 「直線の二等分線」。MathWorld 。

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