線形スパン

クロスハッチングされた平面は、R ²とR ³の両方におけるuとvの線形スパンであり、ここでは透視図で示されています。

数学において、ベクトル空間の元の集合の線型スパン（線型包^{[ 1 ]}または単にスパンとも呼ばれる）^は、 Sの元のすべての有限線型結合の集合であり、 ^Sを含むすべての線型部分空間の共通部分である。span( S ) ^{[ 3 ]}または${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \langle S\rangle .}$

たとえば、幾何学では、2 つの線形独立ベクトルが平面に広がります。

ベクトル空間Vが部分集合Sの線型的伸張であることを表現するために、通常、以下のいずれかの句が使用されます: S はVを張る、SはVの全域集合である、VはSによって張られるか生成される、 SはVの生成集合または生成集合である。

スパンは多くの数学的構造に一般化することができ、その場合、最小の部分構造は一般に、${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

意味

体K上のベクトル空間Vが与えられたとき、ベクトル集合S （必ずしも有限ではない）の張点は、 Sを含むVのすべての部分空間の交差Wとして定義されます。したがって、これはSを含む最小の部分空間（集合包含の場合） です。これはS 、またはS内のベクトルによって張られる部分空間と呼ばれます。逆に、SはWの張集合と呼ばれ、 S がWを張ると言います。

この定義から、 SのスパンとはSの元（ベクトル）の有限線形結合全体の集合であり、そのように定義できることがわかる。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}すなわち、$${\displaystyle \operatorname {span} (S)={\biggl \{}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\;\mathbf {v} _{1},...\mathbf {v} _{n}\in S,\;\lambda _{1},...\lambda _{n}\in K{\biggr \}}}$$

Sが空の場合、唯一の可能性はn = 0であり、前の式は空和に帰着する。^{[ a ]}空和に関する標準的な慣例から、この性質は他の定義と直接結びつく。しかし、多くの入門書では、この事実は定義の一部として単純に扱われている。 ${\displaystyle \operatorname {span} (S)}$ ${\displaystyle {\text{span}}(\emptyset )=\{\mathbf {0} \},}$

が有限のとき、 ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ $${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\{\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid \lambda _{1},...\lambda _{n}\in K\}}$$

例

実ベクトル空間は{(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}を成す集合である。この特定の成す集合は基底でもある。もし(−1, 0, 0)を(1, 0, 0)に置き換えれば、これもまたの標準基底となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

同じ空間の別の全域集合は{(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}で与えられますが、この集合は線形従属であるため基底ではありません。

集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) }は の張集合ではない。なぜなら、その張集合は、最後の要素が0であるすべてのベクトルの空間だからである。この空間は、集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}によっても張られる。なぜなら、(1, 1, 0)は(1, 0, 0)と(0, 1, 0)の線形結合だからである。したがって、張られる空間は ではない。3番目の要素を0にすることで、 と同一 視できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{3}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

空集合は 内のすべての可能なベクトル空間の部分集合であり、{(0, 0, 0)} はこれらすべてのベクトル空間の交差であるため、空集合は {(0, 0, 0)} の全域集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

単項式 の集合x ⁿ（nは負でない整数）は、多項式の空間を張ります。

定理

定義の同等性

K上のベクトル空間Vの部分集合Sのすべての線形結合の集合は、 Sを含むVの最小の線形部分空間です。

証明。まず、範囲SがVのサブスペースであることを証明します。S は V のサブセットであるため、範囲Sに零ベクトル0が存在すること、範囲S が加算に関して閉じていること、および範囲Sがスカラー乗算に関して閉じていることを証明するだけで済みます。とすると、であるため、Vの零ベクトルが範囲Sに存在することは自明です。S の 2 つの線形結合を加算すると、 Sの線形結合:が生成されます(すべて ) 。また、 Sの線形結合にスカラーを乗算すると、 Sの別の線形結合:が生成されます。したがって、範囲SはVのサブスペースです。${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda_{i},\mu_{i}\in K}$ ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

任意のv _{i は}Sの線型結合である（自明である）ので、が成り立つ。WがS を含むVの線型部分空間であると仮定する。W は加法とスカラー乗算に関して閉じているので、任意の線型結合はWに含まれるはずである。したがって、SのスパンはSを含むVの任意の部分空間に含まれ、そのような部分空間の交差、またはそのような部分空間の最小のものは、 Sのすべての線型結合の集合に等しい。${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

全域集合の大きさは少なくとも線形独立集合の大きさである

ベクトル空間Vのすべての全域集合Sには、少なくともVからの任意の線形独立なベクトル集合と同じ数の要素が含まれていなければなりません。

証明．を全域集合とし，をVから線形独立なベクトル集合とする．であることを証明したい．${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

S はVを張るので、もVを張らなければならず、Sの線形結合でなければなりません。したがって は線形従属であり、 Sから他の要素の線形結合であるベクトルを1つ削除できます。このベクトルはWが線形独立であるため、w _iのいずれにもなりません。結果として得られる集合は であり、これはVの全域集合です。このステップをn回繰り返します。 p番目のステップ後の結果集合は、 Sのm - pベクトルの和集合です。${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$

n番目のステップまで、 vのすべての随伴ベクトルに対してSから除去するv _iが必ず存在するので、少なくともw _iと同じ数のv _iが存在することになります（つまり ）。これを検証するために、矛盾として と仮定します。すると、m番目のステップで、集合 が得られ、別のベクトル を随伴できます。しかし、はVの全域集合であるため、は の線形結合です。Wは線形独立なので、これは矛盾です。${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$

スパニングセットは基底に縮小できる

V を有限次元ベクトル空間とする。V を張る任意のベクトル集合は、必要に応じて（つまり、集合内に線型従属ベクトルが存在する場合）、ベクトルを捨てることで、Vの基底に縮約できる。選択公理が成り立つならば、これはV が有限次元であるという仮定なしに成り立つ。これはまた、 V が有限次元であるとき、基底が最小全域集合であることを示している。

一般化

空間における点の広がりの定義を一般化すると、マトロイドの基底集合の部分集合Xは、 Xの階数が基底集合全体の階数と等しいとき、スパニング集合と呼ばれる^{[ 7 ]。}

ベクトル空間の定義は加群にも一般化できる。^{[ 8 ] [ 9 ]} R加群Aと_Aの元a1 _, ..., anの集合が与えられたとき、a1 ,..., anによって張られるAの部分加群は、元_aiの すべてのR線型結合からなる巡回加群の和である。ベクトル空間の場合と同様に、Aの任意_の部分集合によって張られるAの部分加群は_、その部分集合を含むすべての部分加群の共通部分である。 $${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}}$$

閉じた線形スパン（関数解析）

関数解析では、ベクトルの集合の閉じた線形スパンは、その集合の線形スパンを含む最小の閉集合です。

Xをノルムベクトル空間とし、EをXの任意の空でない部分集合とする。Eの閉線形範囲はまたは で表され、 Eを含むXのすべての閉線形部分空間の共通部分である。 ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$

これを数学的に表現すると、

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}$

区間 [0, 1] 上の関数x ⁿの閉線形範囲（ nは非負の整数）は、使用するノルムによって異なります。L 2 ノルムを使用する場合、閉線^形範囲は区間上の平方積分可能な関数のヒルベルト空間になります。ただし、最大ノルムを使用する場合、閉線形範囲は区間上の連続関数の空間になります。どちらの場合でも、閉線形範囲には多項式ではない関数が含まれるため、線形範囲自体には含まれません。ただし、閉線形範囲における関数の集合の濃度は連続体の濃度であり、これは多項式集合の濃度と同じです。

注記

集合の線型範囲は閉線型範囲に稠密である。さらに、以下の補題で述べられているように、閉線型範囲はまさに線型範囲の 閉包である。

閉じた線形スパンは、閉じた線形部分空間（それ自体も非常に重要。 Riesz の補題を参照）を扱うときに重要です。

便利な補題

X をノルム空間とし、EをXの任意の空でない部分集合とする。すると

1. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ は、 Eを含むXの閉線形部分空間であり、
2. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}$ 、すなわち、の閉包である。${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (E)}$
3. ${\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}$
4. ${\displaystyle (E^{\perp })^{\perp }=((\operatorname {Sp} (E))^{\perp })^{\perp }={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}.}$

(したがって、閉じた線形スパンを探す通常の方法は、まず線形スパンを探し、次にその線形スパンの閉包を探すことです。)

参照

• アフィン包
• 円錐形の組み合わせ
• 凸包

脚注

1. n = 0の場合、ベクトルと定数の条件は空であり、したがって空に満たされるため、これは論理的に有効です。

引用

1. 数学百科事典 (2020) . 線形包。
2. アクラー（2015） 29頁、§2.7
3. アクラー（2015） 29-30頁、§§2.5、2.8
4. ヘフェロン（2020） 100頁、第2章、定義2.13
5. アクラー（2015） 29-30頁、§§2.5、2.8
6. ローマン（2005） 41-42ページ
7. オクスリー（2011）、28頁。
8. ローマン（2005） 96ページ、第4章
9. マックレーン＆バーコフ（1999） 193頁、第6章

出典

教科書

• アクラー、シェルドン・ジェイ(2015). 『線形代数を正しく理解する』（PDF）（第3版）. Springer . ISBN 978-3-319-11079-0。
• ヘフェロン、ジム(2020).線形代数(PDF) (第4版). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4。
• マック・レーン、サンダース、バーコフ、ギャレット(1999) [1988].代数学（第3版）. AMSチェルシー出版. ISBN 978-0821816462。
• オクスリー、ジェームズ・G. (2011).マトロイド理論. オックスフォード数学大学院テキスト第3巻（第2版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 9780199202508。
• ローマン、スティーブン(2005). 『上級線形代数』（PDF）（第2版）. Springer . ISBN 0-387-24766-1。
• リン、ブライアン・P.; ヤングソン、マーティン・A. (2008).線形関数解析. シュプリンガー. ISBN 978-1848000049。
• レイ、デイビッド・C.（2021）『線形代数とその応用（第6版）』ピアソン。

ウェブ

• ランカム、イザヤ、ナハターガエル、アン・シリング（2010年2月13日）「線形代数 - 抽象数学入門」（PDF）カリフォルニア大学デービス校。 2011年9月27日閲覧。
• ワイスタイン、エリック・ヴォルフガング. 「ベクトル空間スパン」 . MathWorld . 2021年2月16日閲覧。
• 「線形包」数学百科事典2020年4月5日. 2021年2月16日閲覧.

外部リンク

• 線形結合とスパン: ベクトルの線形結合とスパンを理解する、khanacademy.org。
• サンダーソン、グラント（2016年8月6日）「線形結合、スパン、基底ベクトル」。線形代数のエッセンス。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ– YouTube経由。