線形化多項式

数学において、線形化多項式（またはq多項式）とは、構成するすべての単項式の指数がqのべき乗であり、係数がq位の有限体の何らかの拡大体から得られる多項式です。

典型的な例は と書きます。 ここで、各 は、 ある固定された正の整数に対して です。 L （ × ） ＝ ∑ 私 ＝ 0 n 1つの 私 × q 私 、 {\displaystyle L(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{q^{i}},} 1つの 私 {\displaystyle a_{i}} F q メートル （ ＝ GF ⁡ （ q メートル ） ） {\displaystyle F_{q^{m}}(=\operatorname {GF} (q^{m}))} メートル {\displaystyle m}

この特殊な多項式は、理論的にも応用的にも重要です。[1]これらの多項式の根は高度に構造化されているため、簡単に決定できます。

プロパティ

  • マップx ↦ L ( x )は、 F qを含む任意の体上の線形マップです。
  • Lの根の集合はF q -ベクトル空間であり、 q -フロベニウス写像の下で閉じている。
  • 逆に、U がF qを含む有限体の任意のF q線型部分空間である場合、 U上で正確に消える多項式は線型化多項式です。
  • 与えられた体上の線形化多項式の集合は、多項式の加算と合成に対して閉じています。
  • Lが 上の非零線型多項式で、そのすべての根がの拡大体に存在する場合、 Lの各根は同じ重複度を持ち、それは 1 またはqの正のべき乗のいずれかである。[2] F q n {\displaystyle F_{q^{n}}} F q s {\displaystyle F_{q^{s}}} F q n {\displaystyle F_{q^{n}}}

記号乗算

一般に、2つの線型化多項式の積は線型化多項式にはなりませんが、2つの線型化多項式の合成は線型化多項式となるため、合成は乗算の代わりに用いることができ、このため、この設定では合成はしばしば記号乗算と呼ばれます。記法上、 L 1 ( x ) とL 2 ( x ) が線型化多項式である場合、この観点がどのような場合に採用されるかを定義します。 L 1 （ × ） ⊗ L 2 （ × ） ＝ L 1 （ L 2 （ × ） ） {\displaystyle L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)=L_{1}(L_{2}(x))}

関連する多項式

多項式L ( x )と はq-同値多項式です（注： L ( x )の指数「q i 」はl ( x )では「 i 」に置き換えられています）。より具体的には、l ( x ) はL ( x )の従来のq-同値多項式と呼ばれ、L ( x ) はl ( x )の線形化されたq-同値多項式と呼ばれます。 l （ × ） ＝ ∑ 私 ＝ 0 n 1つの 私 × 私 {\displaystyle l(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}

q-多項式Fq

Fqに係数を持つ線型多項式は、記号除算、記号可約性、記号因数分解を定義することを可能にする追加の性質を持つ。この種の線型多項式の重要な例として、フロベニウスの自己同型性とトレース関数が挙げられる。 × ↦ × q {\displaystyle x\mapsto x^{q}} Tr ⁡ （ × ） ＝ ∑ 私 ＝ 0 n − 1 × q 私 。 {\textstyle \operatorname {Tr} (x)=\sum _{i=0}^{n-1}x^{q^{i}}.}

この特殊なケースでは、記号乗算は演算として、可換性、結合性、および通常の加算に対する分配性を持つことを示すことができる。 [3]また、この特殊なケースでは、記号除算の演算を定義することができる。L ( x ) とL 1 ( x ) がF q上の線型多項式である場合、L 1 ( x )がL ( x )を記号的に割り切るとは、 F q上の線型多項式L 2 ( x )が存在し、次の式が成り立つときである。 L （ × ） ＝ L 1 （ × ） ⊗ L 2 （ × ） 。 {\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)。}

L 1 ( x ) とL 2 ( x )がそれぞれ通常のq-関係式l 1 ( x ) とl 2 ( x ) を持つF q上の線型多項式である場合、 L 1 ( x )がL 2 ( x )を記号的に割り切るのは、 l 1 ( x ) がl 2 ( x )を割り切る場合のみである。[4]さらに、 この場合、 L 1 ( x ) は通常の意味でL 2 ( x )を割り切る。 [5]

次数> 1のF q上の線型化多項式L ( x )は、 F q上でL i による記号分解 が、因子の1つが次数 1 であるものだけである場合、 F q 上で記号的に既約である。次数 > 1 の線型化多項式はいずれも非自明な因子 x を持つため、記号的に既約な多項式は常に通常の意味で既約である。F q上の線型化多項式L ( x )が記号的に既約である場合、かつその従来のq対応l ( x ) がF q上で既約である場合に限り、この多項式は記号的に既約である。 L （ × ） ＝ L 1 （ × ） ⊗ L 2 （ × ） 、 {\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x),}

次数 > 1 のF q上のすべてのq多項式L ( x ) には、 F q上の記号的に既約な多項式への記号因数分解があり、この因数分解は本質的に一意です (因数を並べ替えてF qの非ゼロ要素を乗算するまで)。

例えば、[6]では、 F 2上の2次元多項式L ( x ) = x 16 + x 8 + x 2 + xと、その通常の2次元連立方程式l ( x ) = x 4 + x 3 + x + 1を考える。l ( x ) = ( x 2 + x + 1)( x + 1) 2 をF 2 [ x ]で因数分解すると、次の記号因数分解が得られる 。 L （ × ） ＝ （ × 4 + × 2 + × ） ⊗ （ × 2 + × ） ⊗ （ × 2 + × ） 。 {\displaystyle L(x)=(x^{4}+x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x).}

アフィン多項式

Lを 上の線型多項式とする。の形の多項式は上のアフィン多項式である。 F q n {\displaystyle F_{q^{n}}} あ （ × ） ＝ L （ × ） − α  のために  α ∈ F q n 、 {\displaystyle A(x)=L(x)-\alpha {\text{ }}\alpha \in F_{q^{n}},} F q n {\displaystyle F_{q^{n}}}

定理：Aが上の非零アフィン多項式で、そのすべての根がの拡大体に存在する場合、 Aの各根は同じ重複度を持ち、それは1またはqの正のべき乗のいずれかである。[7] F q n {\displaystyle F_{q^{n}}} F q s {\displaystyle F_{q^{s}}} F q n {\displaystyle F_{q^{n}}}

注記

  1. ^ Lidl & Niederreiter 1997、pg.107 (初版)
  2. ^ マレン & パナリオ 2013、p. 23 (2.1.106)
  3. ^ Lidl & Niederreiter 1997、pg. 115（初版）
  4. ^ Lidl & Niederreiter 1997、pg. 115 (初版) 系 3.60
  5. ^ Lidl & Niederreiter 1997、pg. 116 (初版) 定理 3.62
  6. ^ Lidl & Niederreiter 1997、pg. 117 (初版) 例 3.64
  7. ^ マレン＆パナリオ 2013、p. 23 (2.1.109)

参考文献

  • リドル、ルドルフ；ニーダーライター、ハラルド（1997年）有限体．数学とその応用百科事典第20巻（第2版）．ケンブリッジ大学出版局．ISBN 0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.
  • Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013)、『有限体ハンドブック、離散数学とその応用』、ボカラトン：CRC Press、ISBN 978-1-4398-7378-6
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