期待値

確率論において、期待値（期待値、期待値、期待演算子、数学的期待値、平均、期待値、または第一モーメントとも呼ばれる）は、加重平均の一般化です。

有限個の結果を持つ確率変数の期待値は、すべての可能な結果の加重平均です。可能な結果が連続体の場合、期待値は積分によって定義されます。測度論によって提供される確率の公理的基礎においては、期待値はルベーグ積分によって与えられます。

確率変数Xの期待値は、、、またはで表されることが多く、 EはまたはEと表記されることも多い。^{[1] [2] [3]}${\displaystyle {\text{E}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{E}}[X]}$ ${\displaystyle {\text{E}}X}$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$

歴史

期待値の概念は、17世紀半ばに「ポイント問題」から生まれました。これは、ゲームを途中で終わらせざるを得ない2人のプレイヤーの間で、賭け金を公平に分配する方法を中心とするパズルです。 ^{[4]この問題は何世紀にもわたって議論されてきましたが、} 1654年にフランスの作家でアマチュア数学者のメレ騎士がブレーズ・パスカルにこの問題を提示したことで新たな勢いを得ました。メレは、この問題は解けないと主張し、現実世界への応用において数学がいかに欠陥があるかを示していると述べました。数学者であるパスカルは、この問題の解決に取り組むことを決意しました。

彼はピエール・ド・フェルマーへの有名な一連の手紙の中でこの問題について議論し始めた。間もなく、二人はそれぞれ独立して解決策を思いついた。二人は異なる計算手法で問題を解いたが、結果は同じだった。なぜなら、彼らの計算は同じ基本原理に基づいていたからである。その原理とは、将来の利益の価値はそれを得る確率に正比例するはずであるというものである。この原理は二人にとって自然に身についたようだった。二人は本質的に同じ解決策を見つけたことに非常に喜び、それによって問題を決定的に解決したという確信を抱いた。しかし、彼らはその発見を公表せず、パリにいる共通の科学者仲間の小さなグループにのみ知らせた。^[5]

オランダの数学者クリスティアーン・ホイヘンスは、その著書の中で点の問題を考察し、パスカルとフェルマーの解法と同じ原理に基づく解法を提示しました。ホイヘンスはパリ訪問直後の1657年、確率論に関する論文『De ratiociniis in ludo aleæ 』（ホイヘンス (1657) 参照）を出版しました。この本は、元の問題よりも複雑な状況（例えば、3人以上のプレイヤーの場合）における期待値を計算する規則を追加することで期待値の概念を拡張し、確率論の基礎を築く最初の成功した試みと見なすことができます。

ホイヘンスは論文の序文で次のように書いている。

また、フランスの最も優れた数学者たちが長らくこの種の微積分に取り組んできたため、最初の発明の栄誉を私に帰すべきではないことも付け加えておくべきでしょう。これは私のものではありません。しかし、これらの学者たちは、互いに難問を数多く提起して互いに競い合いながらも、その手法を隠蔽してきました。そのため、私はこの問題について、まず要素から始めて自ら深く探求する必要がありました。そのため、同じ原理から出発したと断言することさえ不可能です。しかし最終的に、私の答えは多くの場合、彼らの答えと変わらないことがわかりました。

— エドワーズ（2002）

19世紀半ば、パフヌティ・チェビシェフはランダム変数の期待値について体系的に考えた最初の人物となった。^[6]

語源

パスカルもホイヘンスも「期待」という用語を現代的な意味では用いていない。特にホイヘンスは次のように書いている。^[7]

何かを勝ち取るチャンスや期待値は、公正な賭けで同じチャンスと期待値で得られる金額とまったく同じ価値がある。... 私が a または b を期待し、それらを獲得するチャンスが等しい場合、私の期待値は (a+b)/2 の価値がある。

それから100年以上後の1814年、ピエール＝シモン・ラプラスは『確率分析理論』を出版し、その中で期待値の概念が明確に定義されました。^[8]

…偶然の理論におけるこの利点は、期待される合計とそれを得る確率の積である。これは、確率に比例した分割を仮定することで生じるリスクを負うことを望まない場合に、結果として得られるべき部分的な合計である。この分割は、あらゆる奇妙な状況を排除した場合に唯一公平な分割である。なぜなら、確率の度合いが等しければ、期待される合計を得る権利も等しくなるからである。この利点を数学的希望と呼ぶことにする。

表記

「期待値」を表す文字Eの使用は、 1901年のWA・ウィットワースに遡ります。 ^[9]この記号はそれ以来、英語圏の作家の間で広く使われるようになりました。ドイツ語ではEはErwartungswert（期待値）、スペイン語ではesperanza matemática（数学的期待） 、フランス語ではespérance mathématique（数学的期待）を表します。^[10]

「E」を「期待値」を表すために使用する場合、著者はさまざまな表記法を使用します。期待値演算子は、 E (直立)、E (斜体)、または(黒板太字) のように表記されるほか、さまざまな括弧表記 ( E( X )、E[ X ]、E Xなど) が使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {E} }$

もう一つの一般的な表記法はμX_である。⟨X⟩ 、⟨X⟩avは物理_学でよく使われる。[ ^11] M( X )はロシア語の文献で使われる。 ${\displaystyle {\overline {X}}}$

意味

上で論じたように、期待値を定義する方法は状況に応じていくつか存在する。最も単純かつ独創的な定義は、コインを投げた場合のように、結果が有限個しかあり得ない場合を対象とする。無限級数理論を用いると、これは可算個に多数あり得る場合にも拡張できる。また、多くの自然現象で生じる（区分的）連続確率密度関数によって規定される確率変数という特殊なケースも非常によく考慮される。これらの特殊な定義はすべて、測度論やルベーグ積分といった数学的ツールに基づく一般的な定義の特殊なケースとみなすことができ、これらの異なる状況に公理的な基盤と共通言語が提供される。

期待値の定義は、多次元確率変数、すなわち確率ベクトル の期待値を定義するために拡張することができます。これは、要素ごとに のように定義されます。同様に、要素を持つ確率行列の期待値はのように定義できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E[X]_{i}=E[X_{i}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle E[X]_{ij}=E[X_{ij}]}$

有限個の結果を持つ確率変数

起こり得る結果の有限リストを持つ確率変数を考えてみましょう。それぞれの結果には（それぞれ）発生する確率があります。期待値は^[12]で定義されます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{k}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$$

確率は を満たす必要があるため、を、確率によって重みが与えられた値の加重平均として解釈するのが自然です。 ${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$ ${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

すべての起こり得る結果が等確率である特殊な場合（つまり）では、加重平均は標準平均によって与えられます。一般的な場合、期待値は、ある結果が他の結果よりも起こりやすいという事実を考慮に入れます。 ${\displaystyle p_{1}=...=p_{k}}$

例

サイコロを振る回数（試行回数）が増えるにつれて、サイコロの出目の平均値が期待値3.5に収束していく様子を示す図

• 6面サイコロを振った結果をとします。より具体的には、 はサイコロを投げた後に上面に表示される目の数です。 の取り得る値は1、2、3、4、5、6で、いずれも確率 ⁠ で等しく発生します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ 1/6⁠。 の期待値は、サイコロを 振ってその結果の平均 (算術平均) を計算すると、 が大きくなるにつれて、平均はほぼ確実に期待値に収束します。この事実は、大数の強い法則として知られています。${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• ルーレットは小さなボールと、縁に38個の番号付きポケットがついたホイールで構成されています。ホイールが回転すると、ボールはランダムに跳ね回り、いずれかのポケットに落ち着くまで動きます。ランダム変数が、1つの数字に1ドル賭けた場合（「ストレートアップ」ベット）の（金銭的な）結果を表すとします。賭けが勝った場合（確率は⁠${\displaystyle X}$ 1/38アメリカンルーレットでは、配当は35ドルです。そうでない場合は、プレイヤーは賭け金を失います。このような賭けからの期待利益は、つまり、1ドルの賭けから得られる期待値は−$ ⁠$${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.}$$ 1/19したがって、190回の賭けでは、純損失はおそらく約10ドルになるでしょう。

可算無限に多くの結果をもたらす確率変数

非公式には、可算無限個の可能な結果 集合を持つ確率変数の期待値は、すべての可能な結果の加重平均として同様に定義され、重みは各値が実現される確率によって与えられます。つまり、 は確率変数の可能な結果であり、はそれらに対応する確率です。多くの非数学教科書では、この文脈における期待値の完全な定義としてこれが提示されています。^[13]$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$

しかし、無限和には微妙な点がいくつかあるため、上記の式は数学的な定義としては適切ではありません。特に、数学解析学におけるリーマン級数定理は、正と負の被加数を含む特定の無限和の値は、被加数の与え方に依存することを示しています。確率変数の結果には自然に与えられた順序がないため、期待値を正確に定義することは困難です。

このため、多くの数学の教科書では、上記の無限和が絶対収束する場合のみを取り上げており、これは無限和が被加数の順序に依存しない有限数であることを意味する。^[14]無限和が絶対収束しない場合は、確率変数は有限の期待値を持たないと言われる。^[14]

例

とすると、確率の合計が1になるようなスケーリング係数は、の 対数級数 で表されます。次に、 の等比級数 により、${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle p_{i}={\tfrac {c}{i\,\cdot \,2^{i}}}}$ ${\displaystyle i=1,2,3,\ldots ,}$ ${\displaystyle c={\tfrac {1}{\ln 2}}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {c}{i\cdot 2^{i}}}=c\,\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\!\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}=c\!\ \ln 2=1}$$ ${\displaystyle \ln \left(1-{\tfrac {1}{2}}\right)=-\ln 2.}$ $${\displaystyle \mathrm {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }i\cdot {\frac {c}{i\cdot 2^{i}}}=c\,\sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}=c\cdot 1={\frac {1}{\ln 2}}}$$ ${\displaystyle 1{\big /}{\big (}1-{\tfrac {1}{2}}{\big )}.}$

密度を持つランダム変数

ここで、実数直線上の関数によって与えられる確率密度関数を持つランダム変数を考えてみましょう。これは、与えられた開区間で任意の値を取る確率が、その区間でのfの積分によって与えられることを意味します。すると、 の期待値は積分によって与えられます。 ^[15] この定義の一般的かつ数学的に正確な定式化には測度論とルベーグ積分が使用され、絶対連続ランダム変数の対応する理論については次のセクションで説明します。多くの一般的な分布の密度関数は区分的に連続であり、そのため理論はしばしばこの制限された設定で展開されます。^{[16]このような関数については、標準的な}リーマン積分のみを考えれば十分です。連続ランダム変数は、この特別なクラスの密度に対応するものとして定義されることもありますが、この用語はさまざまな著者によって異なって使用されています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.}$$

上記の可算無限の場合と同様に、この式には無限積分領域に起因する微妙な点があります。このような微妙な点は、 の分布がコーシー分布Cauchy(0, π)で与えられ、 となる場合に具体的に確認できます。この場合 、となることは容易に計算できます。 および となる この式の極限は存在しません。 となる極限をとると極限は0になりますが、 となる制約をとると極限は になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+\pi ^{2})^{-1}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.}$$ ${\displaystyle a\to -\infty }$ ${\displaystyle b\to +\infty }$ ${\displaystyle a=-b}$ ${\displaystyle 2a=-b}$ ${\displaystyle \ln(2)}$

このような曖昧さを避けるために、数学の教科書では、与えられた積分が絶対収束し、そうでない場合は未定義のままであることが求められるのが一般的です。^[17]しかし、以下に示す測度論的概念は、より一般的な確率変数に対する体系的な定義を与えるために使用できます。 ${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle X}$

任意の実数値確率変数

期待値のすべての定義は、測度論の言語で表現できます。一般に、 が確率空間上で定義された実数値ランダム変数である場合、 の期待値 (と表記) は、ルベーグ積分^[18]として定義されます。 新しい抽象的な状況にもかかわらず、この定義は、特定の加重平均としての上記で最も単純な期待値の定義と本質的に非常によく似ています。これは、測度論では、 のルベーグ積分の値が、有限個の値を取るの近似値の加重平均で定義されるためです。 ^[19]さらに、有限個または可算個の可能な値を持つランダム変数が与えられた場合、ルベーグの期待値理論は上記の合計式と同一です。ただし、ルベーグ理論は、確率密度関数の理論の範囲を明確にします。ランダム変数は、次の条件のいずれかが満たされる場合、 絶対連続であるということになります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E[X]}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} .}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• 実数直線上には、任意のボレル集合に対して となる非負の測定可能な関数 が存在し、その積分はルベーグである。${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle A}$
• の累積分布関数は絶対連続です。${\displaystyle A}$
• ルベーグ測度がゼロである実数のボレル集合に対して、その値がゼロである確率もゼロである。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$
• 任意の正の数に対して、となる正の数が存在する。 が未満のルベーグ測度を持つボレル集合である場合、で評価される確率は未満である。${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

これらの条件はすべて同値であるが、これを立証するのは容易ではない。^[20]この定義において、は（ルベーグ測度に対する）の確率密度関数と呼ばれる。ルベーグ積分の変数変換公式^[21]と無意識の統計学者の法則^[22]を組み合わせると、 任意の絶対連続確率変数に対してが成り立つことが分かる 。したがって、上記の連続確率変数に関する議論は、すべての区分連続関数が測定可能であるという事実により、一般ルベーグ理論の特殊なケースとなる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx}$$ ${\displaystyle X}$

期待値μと中央値𝑚

実数値確率変数の期待値は、その累積分布関数のグラフ上で、面積のほぼ等しい値によって定義することもできます。実際、実数の場合、それぞれで表された -平面上の2つの面が 同じ有限面積を持つ場合、すなわち であり、 両方の不定リーマン積分が収束する場合に限ります。最終的に、これは次の表現と等しくなります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle x\leq \mu ,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad {\text{or}}\quad x\geq \mu ,\;\,F(x)\leq y\leq 1}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,dx=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,dx}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}1-F(x){\bigr )}\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$ 収束積分についても同様に言える。^[23]

例

ある地点における日降水量（単位： ）を、以下の式が成り立つ 実数値確率変数として単純にモデル化するとしよう。2 つの正の定数と である。の累積分布関数は次のように得られる 。 唯一の不連続 点はジャンプの高さである。したがって、この確率変数は離散的でも密度を持つわけでもない。を2つの不定リーマン積分の差として表現すると、次のようになる。 例えば、おおよその値とから期待値が得られる^[23]。${\displaystyle \textstyle \mathrm {L} /\mathrm {m} ^{2}=\mathrm {mm} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mathrm {P} (X\!<\!0)=0,\qquad \mathrm {P} (X\!>\!x)=\alpha \!\ \mathrm {e} ^{-\lambda x}\;{\text{ if }}x\geq 0}$$ ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle F\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0,\\1-\alpha \!\ \mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{for }}x\geq 0.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle 1-\alpha <1.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {E} [X]}$ $${\displaystyle \mathrm {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\alpha \!\ \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {\alpha }{\lambda }}\,\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{0}^{b}={\frac {\alpha }{\lambda }}\,.}$$ ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{4\!\ \mathrm {mm} }}}$ ${\displaystyle \mathrm {E} [X]=2\,\mathrm {mm} .}$

無限の期待値

上記で定義された期待値は、自動的に有限数となります。しかし、多くの場合、 の期待値 を考慮できることが不可欠です。これは、例えば、サンクトペテルブルクのパラドックスの場合のように、すべての正の整数にわたるの確率 を伴う、可能な結果 を伴う確率変数を考える場合に直感的に理解できます。可算な数の結果を伴う確率変数の場合の和の公式によれば、 となります。 期待値は に等しいと言うのが自然です。 ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle x_{i}=2^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}=2^{-i}}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .}$$ ${\displaystyle +\infty }$

このような考え方の根底には厳密な数学理論があり、ルベーグ積分の定義の一部としてよく取り入れられています。^[19]最初の基本的な観察は、上記の定義のどちらに従ったとしても、非負のランダム変数にはどのようなものであっても明確な期待値を与えることができるということです。絶対収束が失敗する場合はいつでも、期待値は と定義できます。2 番目の基本的な観察は、任意のランダム変数は 2 つの非負のランダム変数の差として表すことができます。ランダム変数 が与えられたとき、正の部分と負の部分を と で定義します。これらは非負のランダム変数であり、 であることが直接確認できます。と は両方とも非負数または+∞として定義されるため、次のように定義するのが自然です。 ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}=\max(X,0)}$ ${\displaystyle X^{-}=\max(-X,0)}$ ${\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}$ ${\displaystyle E[X^{+}]}$ ${\displaystyle E[X^{-}]}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\+\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\-\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty ;\\{\text{undefined}}&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}}$$

この定義によれば、が存在し、 が有限であるためには、とが両方とも有限である必要があります。式 により、これはが有限であるためには、 が有限であるためには、かつ が有限であるためには、上記の定義における絶対収束条件と同値です。したがって、本考察は、これまで考慮されていなかったケースにおいて、有限の期待値を定義するものではなく、無限の期待値に対してのみ有用です。 ${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle E[X^{+}]}$ ${\displaystyle E[X^{-}]}$ ${\displaystyle \left|X\right|=X^{+}+X^{-}}$ ${\displaystyle E[\left|X\right|]}$

• サンクトペテルブルクのパラドックスの場合、望みどおりになります。${\displaystyle X^{-}=0}$ ${\displaystyle E[X]=+\infty }$
• 確率変数がそれぞれの確率で値を取ると仮定します。すると、正の整数ごとに 確率で値を取り、残りの確率で値を取ることが分かります。同様に、正の整数ごとに確率で値を取り、残りの確率で値を取ることが分かります。非負確率変数の定義を用いると、と の両方が成り立つことが分かります（調和級数 を参照）。したがって、この場合の の期待値は未定義です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1,-2,3,-4,...}$ ${\displaystyle 6\pi ^{-2},6(2\pi )^{-2},6(3\pi )^{-2},6(4\pi )^{-2},...}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle 2k-1}$ ${\displaystyle 6((2k-1)\pi )^{-2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X^{-}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 6(2k\pi )^{-2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E[X^{+}]=\infty }$ ${\displaystyle E[X^{-}]=\infty }$ ${\displaystyle X}$
• 同様に、上で説明したように、コーシー分布には定義されていない期待値があります。

テールサム式

非負の整数値のランダム変数の場合、期待値は裾の確率（裾和の式と呼ばれることもあります） で表すこともできます。${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{k=0}^{\infty }\Pr(X>k).}$

より一般的なバージョンは、任意の非負のランダム変数（離散または連続）に当てはまります。

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\Pr(X>t)\,dt,}$

ここで、積分関数は の生存関数です。 ${\displaystyle X}$

一般的な分布の期待値

以下の表は、一般的によく見られる確率分布の期待値を示しています。3列目は、定義から直接得られる形と、そこから計算によって得られる簡略化された形の両方で期待値を示しています。これらの計算の詳細は必ずしも単純ではありませんが、示されている参考文献を参照してください。

分布	表記	平均E(X)
ベルヌーイ[24]	${\displaystyle X\sim ~b(1,p)}$	${\displaystyle 0\cdot (1-p)+1\cdot p=p}$
二項式[25]	${\displaystyle X\sim B(n,p)}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=np}$
ポアソン[26]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Po} (\lambda )}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {ie^{-\lambda }\lambda ^{i}}{i!}}=\lambda }$
幾何学的[27]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Geometric} (p)}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }ip(1-p)^{i-1}={\frac {1}{p}}}$
制服[28]	${\displaystyle X\sim U(a,b)}$	${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}}$
指数関数的[29]	${\displaystyle X\sim \exp(\lambda )}$	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}}$
正常[30]	${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }x\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,dx=\mu }$
標準正常[31]	${\displaystyle X\sim N(0,1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}/2}\,dx=0}$
パレート[32]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Par} (\alpha ,k)}$	${\displaystyle \int _{k}^{\infty }\alpha k^{\alpha }x^{-\alpha }\,dx={\begin{cases}{\frac {\alpha k}{\alpha -1}}&{\text{if }}\alpha >1\\\infty &{\text{if }}0<\alpha \leq 1\end{cases}}}$
コーシー[33]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma x}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx}$ 未定義

プロパティ

以下の基本的な性質（太字で表記）は、ルベーグ積分のそれとほぼ一致するか、あるいはそのまま従う。「as」という文字は「ほぼ確実に」を表しており、これはルベーグ積分の中心的な性質である。つまり、確率測度が相補事象の質量をゼロとみなす場合、 のような不等式はほぼ確実に成り立つと言える。${\displaystyle X\geq 0}$ ${\displaystyle \left\{X<0\right\}.}$

• 非負性：もし（as）ならば、${\displaystyle X\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\geq 0.}$
• 期待値の線形性: ^[34]期待値演算子 (または期待値演算子)と定数右辺が明確に定義されている場合はという意味で線形です。帰納法により、これは、任意の有限個のランダム変数の合計の期待値が、個々のランダム変数の期待値の合計であり、期待値は乗法定数で線形にスケールすることを意味します。 記号的に、ランダム変数と定数が成り立ちます。 有限の期待値を持つランダム変数の集合がベクトル空間を形成すると考えるとこのベクトル空間上の線形形式であることを意味します${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle a,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}(1\leq i\leq N),}$ ${\textstyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\operatorname {E} [X_{i}].}$
• 単調性: (として)、およびが存在する場合、${\displaystyle X\leq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y].}$
  証明は(as)の線形性と非負性から得られます。${\displaystyle Z=Y-X,}$ ${\displaystyle Z\geq 0}$
• 非退化: If then (as)。${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]=0,}$ ${\displaystyle X=0}$
• (as)の場合、つまり、X と Y が確率 0 で異なる値を取るランダム変数である場合、X の期待値は Y の期待値と等しくなります。${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [Y].}$
• ある実数cについて(as)が成り立つ場合、特に、明確に定義された期待値を持つ確率変数については、が成り立つ。明確に定義された期待値とは、期待値を定義する一つの数値、あるいは一つの定数が存在することを意味する。したがって、この定数の期待値は、元の期待値そのものとなる。${\displaystyle X=c}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=c.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X].}$
• 上で議論した式| X | = X ⁺ + X ⁻の帰結として、三角不等式と合わせて、よく定義された期待値を持つ任意の確率変数に対して、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|.}$
• 事象Aの指示関数を1 _Aとすると、E [ 1 _A ]はAの確率で与えられます。これは、上記の表で計算されたベルヌーイ確率変数の期待値を別の方法で表したものに他なりません。
• CDFに関する公式： が確率変数Xの累積分布関数である場合、両辺の値が同時に明確に定義されるか明確に定義されないかのいずれかであり、積分はルベーグ・スティルチェスの意味で取られる。E [ X ]のこの表現に適用された部分積分の結果として、積分をルベーグの意味で取った場合、次の式が成り立つことが証明できる。 ^[35]特別な場合として、非負整数{0, 1, 2, 3, ...}をとる任意の確率変数Xに対して、次の式が成り立つ。ここでPは基礎となる確率測度を表す。${\displaystyle F(x)}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,dF(x),}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{n=0}^{\infty }\Pr(X>n),}$$
• 非乗法的性: 一般に、期待値は乗法的ではありません。つまり、 は必ずしもと等しくなりません。とが独立している場合、 であることが示されます。ランダム変数が従属している場合、 は一般に となりますが、従属関係の特殊なケースでは が等式として保持されることがあります。${\displaystyle \operatorname {E} [XY]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]\neq \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y],}$
• 無意識の統計学者の法則：確率密度関数を持つ測定可能な関数の期待値は、との内積で与えられる：^[34]この式は、 が複数の確率変数の関数であり、 がそれらの結合密度である多次元の場合にも成り立つ。^{[34] [36]}${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)\,dx.}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

不平等

集中不等式は、確率変数が大きな値を取る可能性を制御する。マルコフの不等式は最もよく知られており、証明も最も簡単な不等式の一つである。非負確率変数Xと任意の正数aに対して、マルコフの不等式は[ ^37] $${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$$

X が有限の期待値を持つ任意のランダム変数である場合、マルコフの不等式をランダム変数| X −E[ X ]| ²に適用してチェビシェフの不等式 を得ることができます。 ここでVarは分散です。 ^[37]これらの不等式は、条件付きの仮定がほぼ完全に欠如している点で重要です。たとえば、有限の期待値を持つ任意のランダム変数の場合、チェビシェフの不等式は、結果が期待値の 2 つの標準偏差以内になる確率が少なくとも 75% あることを意味します。ただし、特殊なケースでは、マルコフの不等式とチェビシェフの不等式は、他の方法で入手できる情報よりもはるかに弱い情報を与えることがよくあります。たとえば、重み付けされていないサイコロの場合、チェビシェフの不等式によれば、1 から 6 の間を振る確率は少なくとも 53% ですが、実際にはもちろん確率は 100% です。^[38]コルモゴロフの不等式はチェビシェフの不等式を確率変数の和の文脈に拡張したものである。^[39]$${\displaystyle \operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},}$$

次の 3 つの不等式は、数学的分析の分野と確率論への応用において根本的に重要です。

• イェンセンの不等式: f : R → R を凸関数とし、X を有限の期待値を持つ確率変数とします。すると^[40] 主張の一部は、f ( X )の負の部分は有限の期待値を持つため、右辺は明確に定義される（おそらく無限）ということです。fの凸性とは、 2 つの入力の加重平均の出力が、2 つの出力の同じ加重平均を過小評価する、と表現できます。イェンセンの不等式は、これを、期待値で表される完全に一般的な加重平均の設定に拡張します。正の数s < tに対してf ( x ) = | x | ^{t / s}となる特別なケースでは、リャプノフの不等式が得られます^[41]これはヘルダーの不等式によっても証明できます。^{[40]測度論では、}確率空間の特殊な場合において、Lp空間のLs⊂Ltの^包含を^証明した^ことで特に注目される。$${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$$ $${\displaystyle \left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$$
• ホルダーの不等式：p > 1かつq > 1がp ⁻¹ + q ⁻¹ = 1を満たす数であるとき、任意の確率変数XとYに対して、p = q = 2の特別な場合はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれ、特によく知られています。^{[40 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$$
• ミンコフスキー不等式：任意の数p ≥ 1が与えられたとき、任意の確率変数XとYに対して、 E| X | ^pとE| Y | ^pが有限であれば、E| X + Y | ^pも有限となり、^[42] $${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$$

ヘルダー不等式とミンコフスキー不等式は一般測度空間に拡張することができ、その文脈でしばしば与えられる。対照的に、ジェンセン不等式は確率空間の場合に特有のものである。

確率変数の収束に関する期待値

一般に、点ごとに であっても、は成り立ちません。したがって、確率変数に関する追加条件なしに、極限と期待値を交換することはできません。これを確認するには、 が一様分布する確率変数であるとします。に対して、 が事象の指示関数 である確率変数の列を定義します。 すると、点ごとに が成り立ちます。しかし、各 に対して、したがって、${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ $${\displaystyle X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbf {1} \{A\}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X_{n}\to 0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \Pr \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].}$

同様に、一般的な確率変数の列に対しては期待値演算子は加法性を持たない。つまり、 ${\displaystyle \{Y_{n}:n\geq 0\},}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].}$$

例は、前の例と同様に 、 とを設定することで簡単に得られます。${\displaystyle Y_{0}=X_{1}}$ ${\displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle X_{n}}$

いくつかの収束結果では、以下に示すように、制限と期待値を交換できる正確な条件が指定されています。

• 単調収束定理： を確率変数の列とし、各変数に対して (として)とする。さらに、各点について とする。このとき、単調収束定理は次のように述べる。${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$ ${\displaystyle 0\leq X_{n}\leq X_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 0.}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].}$
  単調収束定理を用いると、非負確率変数に対して期待値が可算加法性を満たすことが示せる。特に、非負確率変数を仮定する。単調収束定理から、${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$$
• ファトゥの補題：非負確率変数の列とする。ファトゥの補題によれば、${\displaystyle \{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].}$$
  系。すべての場合において、 (as)であれば、${\displaystyle X_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\leq C}$ ${\displaystyle n\geq 0.}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq C.}$
  証明は、(as) を観察し、ファトゥの補題を適用することによって行われます。${\textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$
• 支配収束定理：確率変数の列とする。各点について(として)、(として)、そして支配収束定理によれば、 ${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle |X_{n}|\leq Y\leq +\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty .}$
  • ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$ ;
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]}$
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
• 一様積分可能性: 場合によっては、シーケンスが一様積分可能であるときに等式が成立します。${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]}$ ${\displaystyle \{X_{n}\}}$

特性関数との関係

スカラーランダム変数の確率密度関数は、その特性関数と反転式によって 関連付けられます。${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{X}}$ $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$

（ボレル関数）の期待値については、この逆関数の公式を使って次のように求めることができる。 ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt\right]dx.}$$

が有限である場合、積分の順序を変えると、フビニ・トネリの定理に従って、 （ は の フーリエ変換）が得られます。の式は、プランシュレルの定理から直接導かれます。 ${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,dt,}$$ $${\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,dx}$$ ${\displaystyle g(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$

用途と応用

ランダム変数の期待値は、さまざまな状況で重要な役割を果たします。

統計学 において、標本から得られた利用可能なデータに基づいて未知のパラメータの推定値を求める場合、標本平均値は期待値の推定値として機能し、それ自体が確率変数である。このような状況では、標本平均値は「良い」推定値として望ましい基準である「偏りがない」基準を満たしていると考えられる。つまり、推定値の期待値は、基礎となるパラメータの真の値と等しい。

別の例として、意思決定理論では、不完全な情報の中で最適な選択を行うエージェントは、その効用関数の期待値を最大化すると想定されることが多い。

ある事象が発生したら1、発生しなかったら0となる指標関数の期待値を用いることで、事象の確率に等しい期待値を構築することができます。この関係は、期待値の性質を確率の性質に変換するために利用できます。例えば、大数の法則を用いて、頻度による確率の推定を正当化することができます。

Xのべき乗の期待値はXのモーメントと呼ばれます。Xの平均に関するモーメントは、 X − E[ X ]のべき乗の期待値です。いくつかの確率変数のモーメントは、モーメント生成関数を介して、その分布を特定するために使用できます。

確率変数の期待値を経験的に推定するには、その変数の観測値を繰り返し測定し、その結果の算術平均を計算します。期待値が存在する場合、この手順は真の期待値を偏りなく推定し、残差の二乗和（観測値と推定値の差の二乗和）を最小化するという特性を持ちます。大数の法則は（比較的穏やかな条件下では）、標本サイズが大きくなるにつれて、この推定値の 分散が小さくなることを示しています。

この特性は、統計的推定や機械学習の一般的な問題を含む、モンテカルロ法による（確率的な）関心量の推定に広く利用されている。なぜなら、関心量のほとんどが期待値で表すことができるからである。例えば、集合の指示関数は${\displaystyle \operatorname {P} ({X\in {\mathcal {A}}})=\operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}],}$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

確率分布の質量は期待値でバランスが取れており、ここでは期待値が α/(α+β) の Beta(α,β) 分布です。

古典力学において、重心は期待値に類似した概念です。例えば、X がx _iという値とそれに対応する確率p _iを持つ離散確率変数であるとします。次に、重さのない棒を考えます。棒のx _iの位置には、それぞれ質量p _i（その和は1）の重りが置かれています。棒が釣り合う点は E[ X ] です。

期待値は分散の計算式を用いて分散を計算するためにも使用できる。 $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.}$$

期待値の非常に重要な応用は量子力学の分野です。量子状態ベクトルに作用する量子力学的演算子の期待値は 次のように表されます。における不確実性は、次の式で計算できます。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle (\Delta A)^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}}$

参照

• 算術平均
• 中心傾向
• 条件付き期待値
• 期待（認識論的）
• 期待値– 四分位数が中央値と関係しているのと同様に期待値と関係している
• 総期待値の法則- Yが与えられた場合のXの条件付き期待値の期待値は、Xの期待値と同じである
• 中央値–上の図で示されている${\displaystyle m}$
• 非線形期待値– 期待値の一般化
• 人口平均
• 予測値
• ワルドの方程式– ランダムな数のランダム変数の期待値を計算する方程式

参考文献

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