線形重力

一般相対性理論において、線形化重力とは、時空の幾何学を記述する計量テンソルへの摂動論の適用である。結果として、線形化重力は、重力場が弱い場合の重力の影響をモデル化する効果的な方法である。線形化重力の利用は、重力波や弱場重力レンズ効果の研究に不可欠である。

弱場近似

計量シグネチャ（−+++）を含むMTW符号規約を用いて時空の幾何学を記述するアインシュタイン場方程式（EFE）は、

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

ここで、 はリッチテンソル、はリッチスカラー、はエネルギー運動量テンソル、はアインシュタインの重力定数、 は方程式の解を表す 時空計量テンソルです。${\displaystyle R_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

アインシュタイン記法を用いて記述すると簡潔であるものの、リッチテンソルとリッチスカラーには計量テンソルに対する非常に非線形な依存性が潜んでおり、ほとんどの系において厳密な解を求めることは現実的ではない。しかし、時空の曲率が小さい系（つまり、EFEの2次項が運動方程式に大きく寄与しない系）を記述する場合、場の方程式の解をミンコフスキー計量^{[注 1 ]}に小さな摂動項を加えたものとしてモデル化することができる。言い換えれば、 ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.}$

この領域では、この摂動近似を一般計量に置き換えると、リッチテンソルの簡略化された表現が得られます。 ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),}$

ここで、 は摂動の軌跡、は時空座標に関する偏微分、はダランベール演算子です。 ${\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \partial_{\mu}}$ ${\displaystyle x^{\mu}}$ ${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$

リッチスカラーと合わせて、

${\displaystyle R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,}$

場の方程式の左辺は次のように簡約される。

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h)。$

したがって、EFE はに関する線形 2次偏微分方程式に簡約されます。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

ゲージ不変性

一般時空をミンコフスキー計量と摂動項に分解する過程は一意ではない。これは、座標の選択によって の形式が変化する可能性があるためである。この現象を捉えるために、ゲージ対称性の概念が導入される。 ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

ゲージ対称性は、基礎となる座標系が微小量だけ「シフト」されても変化しない系を記述するための数学的手法である。したがって、摂動計量は異なる座標系間で一貫して定義されていないものの、それが記述する系全体はである。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

これを形式的に捉えるために、摂動の非一意性は、十分に小さいままとなる時空上の微分同相写像の多様な集合の結果として表現される。したがって、を微分同相写像の一般集合で定義し、弱場近似に必要な小さなスケールを保存するこれらの部分集合を選択する必要がある。したがって、平坦なミンコフスキー時空を計量 で表されるより一般的な時空に写す任意の微分同相写像を表すために を定義することができる。これにより、摂動計量はの引き戻しとミンコフスキー計量 の差として定義できる。${\displaystyle h_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

したがって、微分同相写像はとなるように選択することができる。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |h_{\mu \nu }|\ll 1}$

平坦な背景時空上に定義されたベクトル場が与えられた場合、 によって生成されによってパラメータ化された微分同相写像の族が新たに定義される。これらの新しい微分同相写像は、上で述べた「無限小シフト」に対する座標変換を表すために使用される。 と共に、摂動の族は次のように与えられる。 ${\displaystyle \xi^{\mu}}$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$ ${\displaystyle \xi^{\mu}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\イプシロン}^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

したがって、極限では、 ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

ここで、 はベクトル場 に沿ったリー微分です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi}}$ ${\displaystyle \xi _{\mu}}$

リー微分は摂動計量の最終的なゲージ変換を与える。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

これらは、同一の物理系を記述する摂動計量の集合を正確に定義する。言い換えれば、線形化された場の方程式のゲージ対称性を特徴付ける。

ゲージの選択

ゲージ不変性を利用すると、適切なベクトル場を選択することで摂動計量の特定の特性を確実に保証できます。 ${\displaystyle \xi^{\mu}}$

横方向ゲージ

摂動が長さの測定値をどのように歪めるかを調べるには、次の空間テンソルを定義すると便利です。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

${\displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}}$

（添え字は空間成分のみを張ることに注意してください：）。したがって、 を使うと、摂動の空間成分は次のように分解できます。 ${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}}$

どこ。 ${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}}$

テンソルは構造上、トレースレスであり、摂動が空間の測定値を伸縮させる量を表すため、歪みと呼ばれます。重力放射の研究において、歪みは横方向ゲージと併用すると特に有用です。このゲージは、次の関係を満たすよう に の空間成分を選択することにより定義されます。${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \xi^{\mu}}$

${\displaystyle \nabla^{2}\xi^{j}+{\frac{1}{3}}\partial_{j}\partial_{i}\xi^{i}=-\partial_{i}s^{ij},}$

次に、満足する 時間コンポーネントを選択する${\displaystyle \xi^{0}}$

${\displaystyle \nabla^{2}\xi^{0}=\partial_{i}h_{0i}+\partial_{0}\partial_{i}\xi^{i}.}$

前のセクションの式を使用してゲージ変換を実行すると、歪みは空間的に横方向になります。

${\displaystyle \partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,}$

追加のプロパティ:

${\displaystyle \partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.}$

同期ゲージ

同期ゲージは、摂動計量が時間の測定を歪めないことを要求することで、摂動計量を単純化する。より正確には、同期ゲージは、の非空間成分がゼロとなるように選択される。すなわち、 ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}}$

${\displaystyle h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.}$

これは、時間コンポーネントが ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}}$

空間コンポーネントが満たす必要がある

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.}$

ハーモニックゲージ

調和ゲージ（ローレンツゲージとも呼ばれる^{[注2 ]}）は、線形化された場の方程式を可能な限り簡約する必要がある場合に選択される。これは、以下の条件が満たされる場合に可能である。

${\displaystyle \partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h}$

は真である。これを達成するには、次の関係を満たす必要がある。 ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

${\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.}$

その結果、調和ゲージを用いることで、アインシュタインテンソルは 次のように減少する。 ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).}$

したがって、これを「トレース反転」計量で表すと、線形化された場の方程式は次のように簡約される。 ${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle \square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.}$

これを正確に解くと、重力放射を定義する波動解が生成されます。

参照

• 対応原理
• 重力電磁気学
• ランチョステンソル
• パラメータ化されたポストニュートン形式論
• ポストニュートン膨張
• 準正規モード

注記

1. これは背景時空が平坦であると仮定している。既に曲がっている時空に適用される摂動論は、この項を曲がった背景を表す計量に置き換えても同様に機能する。
2. ローレンツと混同しないでください。

さらに読む

• キャロル、ショーン・M. (2003). 『時空と幾何学：一般相対性理論入門』アディソン・ウェスレー社. ISBN 978-0-805-38732-2。

外部リンク

• 線形重力に関する引用（Wikiquote）