リウヴィル＝アーノルドの定理

リウヴィル＝アーノルドの定理は、古典力学における帰結であり、大まかに言えば、一見複雑な系も、特定の条件を満たす場合、単純な系の組み合わせとして記述できるというものです。この定理は、エネルギーの概念に重点を置いた力学のアプローチであるハミルトン力学の言語で表現されています。この定理は、ジョセフ・リウヴィルとウラジミール・アーノルドにちなんで名付けられました。

背景と概要

力学で最も単純な系の一つに、n 個の独立した理想バネがある。この系はハミルトニアンと呼ばれる力学系の一種に属し、つまりその力学は全エネルギーから完全に推測でき、全エネルギーは（各バネの）位置と運動量のみに依存する。バネの独立性は、ポアソン代数と呼ばれる代数構成を用いて数学的に表現される。ポアソン代数は位置と運動量に関するすべての（滑らかな）関数の代数であり、ハミルトン方程式はこれを用いて定式化される。鍵となる要素は2 つの関数fとgのポアソン括弧で、これによって で表される別の関数が生じる。この括弧はベクトル解析のおなじみの外積のように反対称であり、つまり引数の順序を入れ替えると結果の符号が変わる：。2 つの関数がポアソン可換であるとは、次の場合である。バネ系の独立性は、正式にはn 個のバネのそれぞれのハミルトニアン（エネルギー）がポアソン交換するという主張です。各ハミルトニアンは運動の第一積分として知られており、これはシステム全体を支配する全エネルギーとポアソン交換することを意味します。 i番目のバネのハミルトニアンは（運動エネルギー + 位置エネルギー）です。ここではバネ定数、は質量、は運動量、 は質量の平衡からの変位です。システム全体のハミルトニアンはバネのハミルトニアンの合計です。、独立条件は です。位相空間において、座標、定数の等エネルギー の（同時）レベル表面はトーラスです。特に、それらは閉じていて有界、つまりコンパクト です。 ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle H_{i}={\frac {1}{2}}(p_{i}^{2}/m_{i}+k_{i}x_{i}^{2})}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}H_{i}}$ ${\displaystyle \{H_{i},H_{j}\}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle H_{i}=E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

リウヴィル＝アーノルドの定理は、n自由度のハミルトニアン系（基本例の n個のバネなど）において、 n個の独立したポアソン可換な第一積分が存在し、第一積分の（n次元）同時準位集合がコンパクトである場合、力学系はn個の独立した系（バネの例のn個の独立した調和振動子など）の系に完全に分解されることを述べている。より正確には、作用角座標への標準変換が存在し、変換されたハミルトニアンは作用座標のみに依存し、角度座標は時間に対して線形に変化する。したがって、準位同時集合条件を分離できる場合、系の運動方程式は求積法で解くことができる。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] : 270–272}

歴史

この定理は、1853年にリウヴィルによって、正準シンプレクティック構造を持つ 上の関数に対して元の形で証明されました。この定理はアーノルドによってシンプレクティック多様体の設定に一般化され、1974年に出版された教科書『古典力学の数学的手法』の中で証明されています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

声明

予備的な定義

をシンプレクティック構造を持つ -次元シンプレクティック多様体とします。 ${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega }$

上の可積分系と は、 とラベル付けされ、 を満たす 上 の関数の集合である。${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle F=(F_{1},\cdots,F_{n})}$

• （一般的な）線形独立性：稠密集合上${\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}$
• 相互にポアソン可換:任意の値のペアに対してポアソン括弧は 消えます。${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}}$ ${\displaystyle i,j}$

ポアソン括弧は、 2つの関数 に対応するハミルトンベクトル場のベクトル場のリー括弧を生成する負のハミルトン関数ですが、ベクトル場 上の標準2形式を評価することでより簡単に定義できます。つまり、が滑らかな関数 に対応するハミルトンベクトル場である場合、2つの滑らかな関数 に対して、ポアソン括弧は となるような 括弧です。のとき、 A点は正則点です。 ${\displaystyle \{F,G\}}$ ${\displaystyle [X_{F},X_{G}]}$ ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X_{F},X_{G}}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,G}$ $${\displaystyle \{F,G\}:=\omega (X_{F},X_{G})}$$ $${\displaystyle X_{\{F,G\}}=-[X_{F},X_{G}].}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}(p)\neq 0}$

積分可能系は関数 を定義する。関数 の準位集合、 あるいはで表される。 ${\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle F_{i}}$ $${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},}$$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )}$

ここで、 に特別な関数 の追加構造が与えられている場合、が積分系に完成できる場合、つまり積分系 が存在する場合、ハミルトン系は積分可能です。 ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}$

定理

が積分可能なハミルトン系であり、が正則点である場合、定理は正則点の像の準位集合を特徴付ける。 ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle c=F(p)}$

• ${\displaystyle L_{c}}$ は、によって誘導されるハミルトン流れに対して不変である滑らかな多様体である（したがって、積分可能なシステムの任意の要素によって誘導されるハミルトン流れに対しても不変である）。${\displaystyle H=F_{1}}$
• さらに、がコンパクトかつ連結である場合、それはN トーラスに微分同相である。${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$
• 上の（局所）座標が存在し、 がのときに水準集合上で一定となる。これらの座標は作用角座標と呼ばれる。${\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta}}_{i}:=\{\theta _{i},H\}=\omega _{i}}$

リウヴィル可積分系の例

積分可能なハミルトン系は、「リウヴィルの意味で積分可能」または「リウヴィル積分可能」と呼ばれます。このセクションでは、有名な例を示します。

文献ではいくつかの表記法が標準的に用いられています。対象とするシンプレクティック多様体が である場合、その座標は と表記されることが多く、標準的なシンプレクティック形式は と表記されます。特に断りのない限り、このセクションではこれらを前提とします。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}$

• 調和振動子：を定義すると、積分可能な系は となる。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}$ ${\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}$ ${\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}$

• 中心力系：とを持つ。角運動量を と定義すると、積分可能な系は となる。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }$ ${\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}$

• 積分可能なトップ:ラグランジュ、オイラー、コヴァレフスカヤのトップは、リウヴィルの意味で積分可能です。

参照

• フロベニウスの積分可能性: 積分可能性のより一般的な概念。
• 積分可能なシステム

参考文献

1. J. Liouville、« Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique、présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853 »、 JMPA、1855 年、p. 137-138、 PDF
2. Fabio Benatti (2009).量子システムにおけるダイナミクス、情報、複雑性. Springer Science & Business Media . p. 16. ISBN 978-1-4020-9306-7。
3. P. Tempesta、P. Winternitz、J. Harnad、W. Miller Jr、G. Pogosyan、M. Rodriguez編 (2004). 『古典系と量子系における超積分性』アメリカ数学会48頁. ISBN 978-0-8218-7032-7。
4. Christopher KRT Jones、Alexander I. Khibnik編 (2012). 『Multiple-Time-Scale Dynamical Systems』Springer Science & Business Media 1ページISBN 978-1-4613-0117-2。
5. アーノルド、VI（1989年）『古典力学の数学的手法』シュプリンガー、ISBN 9780387968902。