リウヴィル場理論

物理学において、リウヴィル場理論（または単にリウヴィル理論）は、その古典的な運動方程式がリウヴィル方程式の一般化である2 次元共形場理論です。

リウヴィル理論は、そのヴィラソロ対称代数の中心電荷のすべての複素値に対して定義されるが、ユニタリーとなるのは次の場合のみである。 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c\in (1,+\infty ),}$

そしてその古典的限界は

${\displaystyle c\to +\infty .}$

リウヴィル理論は連続スペクトルを持つ相互作用理論であるにもかかわらず、既に解かれており、特に球面上の3点関数は解析的に決定されている。

導入

リウヴィル理論は、2次元空間上に定義されるリウヴィル場と呼ばれる場の力学を記述する。この場は指数ポテンシャルが存在するため 自由場ではない。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V(\varphi )=e^{2b\varphi }\ ,}$

ここで、パラメータは結合定数と呼ばれます。自由場理論では、エネルギー固有ベクトルは線形独立であり、相互作用において運動量は保存されます。一方、リウヴィル理論では、運動量は保存されません。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$ ${\displaystyle \alpha }$

リウヴィル理論の指数ポテンシャルからの運動量を持つエネルギー固有ベクトルの反射${\displaystyle \alpha }$

さらに、ポテンシャルはエネルギー固有ベクトルが到達する前にそれを反映しており、2つの固有ベクトルは、それらの運動量が反射によって関係付けられる場合、線形従属である。${\displaystyle \varphi =+\infty }$

${\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}$

背景料金は

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}$

指数関数的ポテンシャルは運動量保存則を破るが、共形対称性は破らない。リウヴィル理論は中心電荷を持つ共形場理論である。

${\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}$

共形変換の下では、運動量を持つエネルギー固有ベクトルは共形次元を持つ一次場として変換される。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}$

中心電荷と共形次元は双対性の下で不変である

${\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}$

リウヴィル理論の相関関数は、この双対性、および運動量の反射の下で共変である。しかしながら、リウヴィル理論のこれらの量子対称性はラグランジアン定式化には現れず、特に指数ポテンシャルは双対性の下で不変ではない。

スペクトルと相関関数

スペクトラム

リウヴィル理論のスペクトルは、 ヴィラソロ代数のヴェルマ加群の対角結合である。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

ここで、とは同じVerma加群を表し、それぞれ左向きと右向きのVirasoro代数の表現として捉えられる。運動量に関しては、 ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$ ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

対応する

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}.}$

反射関係により、運動量は自由理論の全直線ではなく半直線上の値を取ることになります。

リウヴィル理論がユニタリとなるのは、 の場合のみである。リウヴィル理論のスペクトルには真空状態 は含まれない。真空状態は定義できるが、作用素積展開には寄与しない。 ${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$

場と反射関係

リウヴィル理論では、一次場は通常、共形次元ではなく運動量によってパラメータ化され、 と表記される。場とはどちらも表現の一次状態に対応し、反射関係によって関連付けられる。 ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}$

ここで反射係数は^{[1]である。}

${\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}$

(符号はifとotherwise であり、正規化パラメータは任意です。) ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda }$

相関関数とDOZZ式

の場合、3点構造定数はDOZZ式（Dorn–Otto ^[2]およびZamolodchikov–Zamolodchikov ^[3]の場合）で与えられる。 ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$

${\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

ここで特殊関数は多重ガンマ関数の一種です。 ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

の場合、3点構造定数は^{[1]である。}${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

どこ

${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}$

${\displaystyle N}$ 球面上の -点関数は、3点構造定数と共形ブロックで表現できます。-点関数は複数の異なる表現を持つ場合があります。これらの表現が一致することは、4点関数の交差対称性と等価であり、これは数値的に検証され^{[3] [4]}、解析的に証明されています。^{[5] [6]}${\displaystyle N}$

リウヴィル理論は球面上だけでなく、種数 の任意のリーマン面上にも存在する。技術的には、これはトーラス一点関数のモジュラー不変性と同値である。共形ブロックと構造定数の顕著な恒等式により、このモジュラー不変性は球面四点関数の交差対称性から導出される。^{[7] [4]}${\displaystyle g\geq 1}$

リウヴィル理論の独自性

共形ブートストラップアプローチを用いると、リウヴィル理論は^[1]のように唯一の共形場理論であることが示される。

• スペクトルは連続体であり、1を超える多重度はない。
• 相関関数は解析的に、および運動量に依存する。${\displaystyle b}$
• 縮退したフィールドが存在します。

ラグランジアン定式化

作用と運動方程式

リウヴィル理論は局所作用によって定義される

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

ここで、は理論が定式化される2次元空間の計量、はその空間のリッチスカラー、はリウヴィル場である。パラメータは宇宙定数とも呼ばれ、相関関数に現れる パラメータ と次の関係がある。${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

この動作に関連する運動方程式は

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

ここではラプラス・ベルトラミ演算子である。がユークリッド計量である場合、この式は次のように簡約される。 ${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

これはリウヴィルの方程式と同等である。

リウヴィル場の理論は円筒上にコンパクト化されると、世界線理論として等価的に定式化することができる。^[8]

共形対称性

複素座標系 とユークリッド距離を用いる${\displaystyle z}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

エネルギー運動量テンソルの成分は

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

消えない成分は

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

これら2つの成分のそれぞれは、中心電荷を持つ ヴィラソロ代数を生成する。

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

これら両方のヴィラソロ代数において、体は共形次元を持つ一次体である。 ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

理論が共形不変性を持つためには、作用に現れる場は周辺的、すなわち共形次元を持つ 必要がある。${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

この関係は

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

背景電荷と結合定数の間には、この関係が成り立つ。この関係が成り立つ場合、は実際には厳密に限界であり、理論は共形不変である。 ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

経路積分

一次場の点相関関数 の経路積分表現は${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

この経路積分を定義し計算することは困難であった。経路積分表現では、リウヴィル理論が正確な共形不変性を持つことは明らかではなく、相関関数が反射関係の下で不変であり従うことも明白ではない。しかし、経路積分表現は、クーロン気体形式におけるドットセンコ・ファティーフ積分として相関関数のいくつかの極における留数を計算するために使用でき、これが1990年代にDOZZ公式が初めて推測された方法である。経路積分の厳密な確率的構成が発見され、DOZZ公式^[9]と共形ブートストラップ[ 6]の証明につながったのは2010年代になってからである。 [ ^{10 ]}${\displaystyle b\to b^{-1}}$

他の共形場理論との関係

リウヴィル理論のいくつかの限界

中心電荷と共形次元を適切な離散値に送ると、リウヴィル理論の相関関数は対角（Aシリーズ）ヴィラソロ極小モデルの相関関数に簡約される。^[1]

一方、中心電荷が 1 に送られ、共形次元が連続である場合、リウヴィル理論は、3 点関数が運動量の関数として解析的ではない連続スペクトルを持つ非自明な共形場理論 (CFT) であるルンケル-ワッツ理論に近づきます。^[11]ルンケル-ワッツ理論の一般化は、リウヴィル理論から 型の極限を取ることで得られます。^[4]そのため、 に対して、同じスペクトルを持つ 2 つの異なる CFT が知られています。1 つは 3 点関数が解析的であるリウヴィル理論で、もう 1 つは非解析的な 3 点関数を持つ別の CFT です。 ${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$ ${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$

WZWモデル

リウヴィル理論は、ウェス・ズミノ・ウィッテン模型から量子ドリンフェルト・ソコロフ還元によって得られる。さらに、この模型（WZW模型のユークリッド版）の相関関数は、リウヴィル理論の相関関数で表現できる。^{[12] [13]}これは、2次元ブラックホール剰余類模型の相関関数にも当てはまる。^[12]さらに、リウヴィル理論とこの模型の間を連続的に補間する理論も存在する。^[14]${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$

共形戸田理論

リウヴィル理論は、カルタン行列に関連する戸田場の理論の最も単純な例である。より一般的な共形戸田理論は、リウヴィル理論の一般化と見なすことができ、そのラグランジアンは1つのボソンではなく複数のボソンを含み、対称代数はヴィラソロ代数ではなく W代数である。${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$

超対称リウヴィル理論

リウヴィル理論には、超対称リウヴィル理論と超対称リウヴィル理論と呼ばれる2つの異なる超対称拡張が認められる。^[15]${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

積分可能モデルとの関係

シン・ゴードンモデル

平坦空間では、シン・ゴードンモデルは局所作用によって定義されます。

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

対応する古典的な運動方程式はsinh-Gordon方程式である。このモデルはリウヴィル理論の摂動として見ることができる。このモデルの正確なS行列は弱結合領域で知られており、 の下で形式的に不変である。しかし、モデル自体は不変ではないという議論もある。^[16]${\displaystyle 0<b<1}$ ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

アプリケーション

リウヴィル重力

二次元では、リウヴィル理論はリウヴィル重力と呼ばれる量子重力理論を構築するために用いられる。 ^{[17] [18]} CGHSモデルやジャッキーウ・タイテルボイム重力と混同してはならない。

2次元では、アインシュタイン-ヒルベルト作用は位相的である、すなわちオイラー特性に比例する。しかしながら、量子化後、一般相対論はワイル異常のために位相的ではなくなる。計量 の再スケーリングの下で​​は、作用は不変であるが、関数積分測度は不変ではなく、 に対するリウヴィル作用に比例する項が生じる。このことから、3つのCFT、すなわち重力セクターに対するリウヴィル理論、ワイル不変性に対するファデーエフ-ポポフゴースト（ゲージ対称性として見られる）、および物質を記述する任意のCFTの積として、リウヴィル重力が構成される。これらのCFT の中心電荷は、ワイル異常を打ち消し、量子理論が位相的であることを保証するために、合計がゼロになる必要がある。^[15]${\displaystyle g\mapsto e^{\phi }g}$ ${\displaystyle \phi }$

リウヴィル重力の観測量は相関数、すなわちCFT積の相関関数をモジュライ上で積分したものである。相関数は、ヴィラソロ極小弦など、いくつかの例において明示的に計算することができる。^{[19]固定オイラー標数における相関数は、}重力定数のべき乗で展開された量子重力相関関数の係数である。

弦理論

リウヴィル理論は、弦理論の文脈において、経路積分定式化において非臨界的な理論を定式化しようとするときに登場する。^{[20]この理論は、線形}ディラトンとタキオン背景を持つ2次元時空におけるボソン弦理論の記述としても現れる。線形ディラトン背景におけるタキオン場の運動方程式は、指数関数的な解を求める。この背景におけるポリアコフ作用は、線形ディラトンが背景電荷項を担い、タキオンが指数関数的ポテンシャルに寄与する点で、リウヴィル場の理論と同一となる。^[21]

ランダムエネルギーモデル

を伴うリウヴィル理論と、特定の対数相関ランダムエネルギーモデルとの間には、正確なマッピングが存在する。^[22]これらのモデルは、対数相関のあるランダムポテンシャル内の熱粒子を記述する。2次元では、このようなポテンシャルはガウス自由場と一致する。その場合、リウヴィル理論における主要な場の間の特定の相関関数は、粒子のギブス測度の相関関数にマッピングされる。これは、2次元ガウス自由場の極値統計に応用でき、（2次元およびそれ以上の次元における）対数相関ランダムエネルギーモデルの特定の普遍的な特性を予測することができる。 ${\displaystyle c\geq 25}$

その他のアプリケーション

リウヴィル理論は、負曲面空間における3次元一般相対論、リーマン面の均一化問題、その他の共形写像の問題など、物理学および数学の他の分野と関連している。また、 AGT対応によって、特定の4次元超共形ゲージ理論におけるインスタントン分配関数とも関連している。

命名混乱c≤1​

リウヴィル理論は、時間依存弦理論のモデルとして、時間的リウヴィル理論という名前で初めて登場しました。^{[23]これは}一般化極小モデル とも呼ばれています。^[24]これが実際に存在し、時間的ではなく空間的であることが判明したときに、初めてリウヴィル理論と呼ばれるようになりました。 [ ^4] 2022年現在、これら3つの名前のいずれも広く受け入れられていません。 ${\displaystyle c\leq 1}$

参考文献

1. Ribault, Sylvain (2014). 「平面上の共形場理論」arXiv : 1406.4290 [hep-th].
2. Dorn, H.; Otto, H.-J. (1994). 「リウヴィル理論における2点および3点関数」. Nucl. Phys. B. 429 ( 2): 375– 388. arXiv : hep-th/9403141 . Bibcode :1994NuPhB......375D. doi :10.1016/0550-3213(94)00352-1. S2CID  15413971.
3. Zamolodchikov, A.; Zamolodchikov, Al. (1996). 「リウヴィル場の理論における共形ブートストラップ」. Nuclear Physics B. 477 ( 2): 577– 605. arXiv : hep-th/9506136 . Bibcode :1996NuPhB.477..577Z. doi :10.1016/0550-3213(96)00351-3. S2CID  204929527.
4. Ribault, Sylvain; Santachiara, Raoul (2015). 「中心電荷が1未満のリウヴィル理論」. Journal of High Energy Physics . 2015 (8): 109. arXiv : 1503.02067 . Bibcode :2015JHEP...08..109R. doi :10.1007/JHEP08(2015)109. S2CID  54193340.
5. Teschner, J (2003). 「リウヴィル頂点演算子に関する講義」. International Journal of Modern Physics A. 19 ( 2): 436– 458. arXiv : hep-th/0303150 . Bibcode :2004IJMPA..19S.436T. doi :10.1142/S0217751X04020567. S2CID  14792780.
6. Guillarmou, C; Kupiainen, A; Rhodes, R; V, Vargas (2020). 「リウヴィル理論における共形ブートストラップ」arXiv : 2005.11530 [math.PR].
7. Hadasz, Leszek; Jaskolski, Zbigniew; Suchanek, Paulina (2010). 「リウヴィル場の理論におけるモジュラーブートストラップ」. Physics Letters B. 685 ( 1): 79– 85. arXiv : 0911.4296 . Bibcode :2010PhLB..685...79H. doi :10.1016/j.physletb.2010.01.036. S2CID  118625083.
8. Andrei Ioan, Dogaru; Campos Delgado, Ruben (2022). 「小さな結合における円筒量子場理論」J. High Energy Phys . 2022 (10): 110. arXiv : 2205.07363 . doi : 10.1007/JHEP10(2022)110 .
9. クピアイネン、アンティ;ロードス、レミ。ヴァルガス、ヴィンセント (2017)。 「リウヴィル理論の積分可能性: DOZZ 公式の証明」。arXiv : 1707.08785 [数学.PR]。
10. コリン、ギヤルムー;クピアイネン、アンティ。ロードス、レミ。バルガス、ヴィンセント（2021-12-29）。 「シーガルの公理とリウヴィル理論のブートストラップ」。arXiv : 2112.14859v1 [数学.PR]。
11. ショメルス、フォルカー (2003)。 「リウヴィル理論からのローリングタキオン」。高エネルギー物理学のジャーナル。2003 (11): 043.arXiv : hep -th/0306026。Bibcode :2003JHEP...11..043S。土井：10.1088/1126-6708/2003/11/043。S2CID  15608105。
12. Ribault, Sylvain; Teschner, Joerg (2005). 「リウヴィル理論によるH(3)+相関子」. Journal of High Energy Physics . 2005 (6): 014. arXiv : hep-th/0502048 . Bibcode :2005JHEP...06..014R. doi :10.1088/1126-6708/2005/06/014. S2CID  119441269.
13. 引田 康明; スコーメルス フォルカー (2007). 「リウヴィル場理論によるH^+_3 WZNWモデル」. J​​ournal of High Energy Physics . 2007 (10): 064. arXiv : 0706.1030 . Bibcode :2007JHEP...10..064H. doi :10.1088/1126-6708/2007/10/064. S2CID  1807250.
14. リボー、シルヴァン (2008). 「解ける非有理共形場理論のファミリー」. Journal of High Energy Physics . 2008 (5): 073. arXiv : 0803.2099 . Bibcode :2008JHEP...05..073R. doi :10.1088/1126-6708/2008/05/073. S2CID  2591498.
15. Nakayama, Yu (2004). 「リウヴィル場の理論：革命から10年後」. International Journal of Modern Physics A. 19 ( 17n18): 2771– 2930. arXiv : hep-th/0402009 . Bibcode :2004IJMPA..19.2771N. CiteSeerX 10.1.1.266.6964 . doi :10.1142/S0217751X04019500. S2CID  119519820. 
16. Bernard, Denis; LeClair, André (2021-12-10). 「自己双対点を超えたsinh-Gordon模型と無秩序系における凍結遷移」. Journal of High Energy Physics . 2022 (5): 22. arXiv : 2112.05490v1 . Bibcode :2022JHEP...05..022B. doi :10.1007/JHEP05(2022)022. S2CID  245117303.
17. Grumiller, Daniel; Kummer, Wolfgang; Vassilevich, Dmitri (2002年10月). 「二次元におけるディラトン重力」. Physics Reports (投稿原稿). 369 (4): 327– 430. arXiv : hep-th/0204253 . Bibcode :2002PhR...369..327G. doi :10.1016/S0370-1573(02)00267-3. S2CID  119497628.
18. Grumiller, Daniel; Meyer, Rene (2006). "Ramifications of Lineland". Turkish Journal of Physics . 30 (5): 349– 378. arXiv : hep-th/0604049 . Bibcode :2006TJPh...30..349G. 2011年8月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。
19. Collier, Scott; Eberhardt, Lorenz; Mühlmann, Beatrix; Rodriguez, Victor A. (2024-02-26). 「Virasoro極小弦」. SciPost Physics . 16 (2) 057. Stichting SciPost. arXiv : 2309.10846 . doi : 10.21468/scipostphys.16.2.057 . ISSN  2542-4653.
20. Polyakov, AM (1981). 「ボゾン弦の量子幾何学」. Physics Letters B. 103 ( 3): 207– 210. Bibcode :1981PhLB..103..207P. doi :10.1016/0370-2693(81)90743-7.
21. Polchinski, J. (1998). "9".弦理論 第1巻：ボソン弦入門. ケンブリッジ大学出版局. pp.  323– 325. ISBN 978-0-14-311379-9。
22. Cao, Xiangyu; Doussal, Pierre Le; Rosso, Alberto; Santachiara, Raoul (2018-01-30). 「Liouville場の理論における演算子積展開と対数相関ランダムエネルギーモデルにおけるSeiberg型遷移」. Physical Review E. 97 ( 4) 042111. arXiv : 1801.09991v1 . Bibcode :2018PhRvE..97d2111C. doi :10.1103/PhysRevE.97.042111. PMID:  29758633. S2CID  : 206258354.
23. Strominger, Andrew; Takayanagi, Tadashi (2003). 「時間的バルク・リウヴィル理論における相関子」. Adv. Theor. Math. Phys . 7 (2): 369– 379. arXiv : hep-th/0303221 . Bibcode :2003hep.th....3221S. doi :10.4310/atmp.2003.v7.n2.a6. MR  2015169. S2CID  15080926.
24. Zamolodchikov, Al (2005). 「極小リウヴィル重力における三点関数について」.理論数理物理学. 142 (2): 183– 196. arXiv : hep-th/0505063 . Bibcode :2005TMP...142..183Z. doi :10.1007/s11232-005-0048-3. S2CID  55961140.

外部リンク

• 数学者が量子重力の2Dバージョンが実際に機能することを証明、Quanta Magazineの記事、チャーリー・ウッド、2021年6月。
• リウヴィル理論入門、アンティ・クピアイネンによる高等研究所での講演、2018 年 5 月。