| 代数構造 |
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数学では、様々な種類の代数構造が研究されます。抽象代数学は、主に特定の代数構造とその性質を研究する学問です。代数構造は様々な観点から捉えられますが、代数学の教科書で共通して扱われる出発点は、代数的対象が一つ以上の集合と、一つ以上の二項演算または一項演算を含み、それらが公理の集合を満たすという点です。
普遍代数として知られる数学のもう一つの分野は、代数構造全般を研究する。普遍代数の観点から見ると、ほとんどの構造は、用いられる公理に応じて多様体と準多様体に分類できる。多様体でも準多様体でもない公理的 形式体系（非多様体と呼ばれる）は、伝統的に代数構造に含まれることがある。
各構造の具体的な例は、記載されている記事に記載されています。
代数構造は今日非常に多く存在するため、この記事は必然的に不完全なものとなります。さらに、同じ構造に複数の名前が付けられることもあれば、異なる著者によって異なる公理によって同じ名前が定義されている場合もあります。このページに掲載されている構造のほとんどは、ほとんどの著者が同意する一般的な構造です。代数構造のウェブリストとしては、JipsenやPlanetMathなどが挙げられます（ほぼアルファベット順に整理されています）。Wayback Machineに2007年11月13日にアーカイブされています。これらのリストには、以下に含まれていない多くの構造が記載されており、一部の構造については、ここで提示されているよりも多くの情報が提供されている可能性があります。
代数構造の研究
代数構造は数学のほとんどの分野に現れ、さまざまな方法でそれに遭遇することがあります。
代数構造の種類
一般的に、代数構造は定義において任意の数の集合と任意の数の公理を使用できます。しかし、最も一般的に研究される構造は、通常、1つまたは2つの集合と1つまたは2つの二項演算のみを含みます。以下の構造は、含まれる集合の数と使用される二項演算の数によって整理されています。インデントが深いほど、より特殊な構造であることを示しており、インデントが最も少ないレベルは最も基本的な構造です。
二項演算のない1つのセット
- 集合: 演算を持たない退化した代数構造S。
- 尖端集合: Sには 1 つ以上の区別された要素 (多くの場合、0、1、またはその両方) があります。
- 単項システム: SとSに対する単一の単項演算。
- 尖端単項システム: Sが尖端集合である単項システム
1つのセットに対する1つのバイナリ演算
| 合計 | 連想 | 身元 | 分割可能 | |
|---|---|---|---|---|
| 部分的なマグマ | 不要 | 不要 | 不要 | 不要 |
| 半群体 | 不要 | 必須 | 不要 | 不要 |
| 小規模カテゴリ | 不要 | 必須 | 必須 | 不要 |
| 群体 | 不要 | 必須 | 必須 | 必須 |
| マグマ | 必須 | 不要 | 不要 | 不要 |
| 準群 | 必須 | 不要 | 不要 | 必須 |
| ユニタルマグマ | 必須 | 不要 | 必須 | 不要 |
| ループ | 必須 | 不要 | 必須 | 必須 |
| セミグループ | 必須 | 必須 | 不要 | 不要 |
| 結合準群 | 必須 | 必須 | 不要 | 必須 |
| モノイド | 必須 | 必須 | 必須 | 不要 |
| グループ | 必須 | 必須 | 必須 | 必須 |
以下の群のような構造は、集合と二項演算から構成されます。二項演算は任意の記号で表すことも、記号を使わずに表すこともできます（並置）。最も一般的な構造は群の構造です。他の構造では、群の公理を弱めたり強めたりし、単項演算も使用する場合があります。
- マグマまたは群素: SとS上の単一の二項演算。
- 半群:結合マグマ。
- モノイド:単位元を持つ半群。
- グループ: 単項演算 (逆) を持つモノイドで、逆元を生成します。
- 準群：ラテン方陣の性質に従うマグマ。準群は3つの二項演算を用いて表すこともできる。[1]
- ループ:単位元を持つ準群。
- 半格子：その演算が冪等かつ可換である半群。二項演算はmeetまたはjoin と呼ばれる。これは基本的に格子構造の「半分」に相当する（下記参照）。
1つのセットに対する2つの二項演算
1つの集合に2つの二項演算を持つ構造の主な種類は、リング状（リングオイド）と格子状（ラティス）です。リングオイドとラティスは、どちらも2つの定義的な二項演算を持つにもかかわらず、明確に区別できます。リングオイドの場合、2つの演算は分配法則によって結び付けられ、ラティスの場合、吸収法則によって結び付けられます。また、リングオイドは数値モデルを持つ傾向があり、ラティスは集合論的モデルを持つ傾向があります。
リング状構造またはリングイドでは、2 つの二項演算は加算と乗算と呼ばれることが多く、乗算は分配法則によって加算に関連付けられています。
- 半環： Sが各演算においてモノイドとなるような環体。加法は一般的に可換かつ結合的であると仮定され、モノイド積は両辺において加法上で分配されると仮定され、加法恒等式 0 は、すべてのxに対して 0 x = 0となる意味で 吸収元となる。
- 近環: 加法モノイドが（必ずしも可換群ではない）群である半環。
- 環: 加法モノイドがアーベル群である半環。
- 非結合的環: 環に似ていますが、乗算演算は結合的である必要はありません。
- リー環: 加法モノイドがアーベル群であるが、乗法演算が結合性ではなくヤコビ恒等式を満たす環体。
- ジョルダン環：ジョルダン恒等式を尊重する可換非結合環
- ブール環: べき等乗算演算を備えた可換環。
- クリーネ代数: 冪等な加算と単項演算を備えた半環、クリーネ スター。追加の特性も満たします。
- *-代数または*-環:反転と呼ばれる追加の単項演算 (*) を持つ環で、追加のプロパティを満たします。
- 算術：無限集合上の加算と乗算。追加の単項構造を持つ。単項演算は単射 後続であり、要素 0 を持つ。
- ロビンソン算術。加算と乗算は、後続項によって再帰的に定義されます。0は加算の単位元であり、乗算を消滅させます。ロビンソン算術は多様体ですが、ペアノ算術に近いため、ここに記載されています。
- ペアノ算術。帰納法の公理図式を用いたロビンソン算術。加法と乗法の性質に関係する環と体の公理のほとんどは、ペアノ算術またはその適切な拡張の定理である。
格子状の構造には、meet と join と呼ばれる 2 つのバイナリ演算があり、吸収法則によって接続されています。
- Latticoid: 会って通勤しますが、関連付ける必要はありません。
- 斜め格子: 会って仲間になるが、通勤する必要はない。
- ラティス: 仲間と出会い、参加し、通勤する。
- 完全格子: 任意の接合部が存在する格子。
- 有界格子:最大要素と最小要素を持つ格子。
- 補集合格子：単項演算である補集合（接尾辞 ⊥で表されます）を持つ有界格子。ある元とその補集合の結合が最大元となり、2つの元が交わる部分が最小元となります。
- モジュラー格子: 要素が追加のモジュラー単位元を満たす格子。
- 分配格子：meetとjoinのそれぞれが他方に分配される格子。分配格子はモジュラーであるが、逆は成り立たない。
- ブール代数：相補分配格子。meet と join のいずれかが、他方と相補性によって定義できる。これは、上記の同名の環構造と同値であることが示される。
- ハイティング代数: 付加的な二項演算である相対擬似補集合を持つ有界分配格子。これは挿入演算子→で表され、以下の公理によって規定される。
- x → x = 1
- x ( x → y ) = x y
- y ( x → y ) = y
- x → ( y z ) = ( x → y ) ( x → z )
2つのセット上のモジュールのような構造
以下のモジュールのような構造は、2つの集合AとB を持つという共通の特徴を持ち、 A × AからAへの二項演算とA × BからAへの別の演算が存在します。モジュールは、環演算を含めて、少なくとも3つの二項演算を持ちます。
- 演算子を持つグループ:集合 Ω と特定の 公理を満たす二項演算 Ω × G → Gを持つグループG。
- 加群: アーベル群Mと環RがM上の作用素として作用する。通常、Mは「 R上」と定義される。 Rの元はスカラーと呼ばれることもあり、スカラー乗算の二項演算は関数R × M → Mであり、これはいくつかの公理を満たす。
2つの集合上の代数のような構造
これらの構造は、環Rと、乗算と呼ばれる演算を備えたR加群Mの2つの集合上に定義されます。これは、R上の演算が2つ、 M上の演算が2つ、そしてRとMの両方を含む演算が1つ、計5つの二項演算を持つシステムと見ることができます。これらの構造の多くは、前述の構造のハイブリッド構造です。
- 環上の代数（R代数とも呼ばれる）：可換環 R上の加群であり、加群構造と整合する乗法演算も持つ。これには、加法上の分配性と、Rの元による乗法に関する線型性が含まれる。
- 体上の代数：これは体上のベクトル空間でもある環です。乗法は通常、結合的であると仮定されます。理論は特によく発達しています。
- 結合的代数: 乗算が結合的であるような環上の代数。
- 非結合的代数：可換環上の加群で、必ずしも結合的ではない環乗法を持つもの。結合性は、交替性、ヤコビ恒等式、ジョルダン恒等式など、異なる恒等式に置き換えられることが多い。
- 余代数: 結合代数と双対的に定義された「余乗法」を持つベクトル空間。
- リー余代数: リー代数と双対的に定義された「余乗法」を持つベクトル空間。
- 次数付き代数：次数と互換性のある代数構造を持つ次数付きベクトル空間。その考え方は、2つの元aとbの次数が分かればabの次数も分かるため、分解における積abの位置が決まるというものである。
- 内積空間:定常双線型形式V × V → Fを持つFベクトル空間V。
- 双代数: 互換性のある余代数構造を持つ結合代数。
- リー代数: 互換性のある双代数構造を持つリー代数。
- ホップ代数: 接続公理 (対掌体) を持つ双代数。
- クリフォード代数：外積を付加した結合的次数代数。外積から複数の内積を導くことができる。外積代数と幾何代数は、この構成の特殊なケースである。
非代数的構造を付加した代数的構造
代数構造と非代数構造が並存する数学的構造の例は数多くあります。
- 位相ベクトル空間は、互換性のある位相を持つベクトル空間です。
- リー群: これらは、互換性のある群構造も持つ位相多様体です。
- 順序群、順序環、順序体は、集合上の順序と互換性のある代数構造を持ちます。
- フォン ノイマン代数: これらは、弱演算子位相を備えたヒルベルト空間上の *-代数です。
さまざまな分野における代数構造
いくつかの代数構造は、抽象代数学以外の分野でも応用されています。以下は、他の分野における具体的な応用例を示すことを目的としています。
物理学では：
数理論理学では：
コンピュータサイエンスでは：
参照
参考文献
- ^ ジョナサン・DH・スミス（2006年11月15日）『準群とその表現入門』チャップマン＆ホール、ISBN 9781420010633. 2012年8月2日閲覧。
- ギャレット・バーコフ、1967年。「格子理論」第3版、AMSコロキウム出版第25巻。アメリカ数学会。
- ———およびSaunders MacLane , 1999 (1967). Algebra , 2nd ed. New York: Chelsea.
- George BoolosとRichard Jeffrey、1980年。「計算可能性と論理」第2版、ケンブリッジ大学出版局。
- Dummit, David S.、Foote, Richard M.、2004年、「抽象代数」、第3版、John Wiley and Sons。
- Grätzer, George, 1978. Universal Algebra、第2版、Springer。
- David K. Lewis、1991年。『Classes』の一部。Blackwell。
- ミシェル、アンソニー・N.、ハーゲット、チャールズ・J.、1993 (1981). 『応用代数学と関数解析』ドーバー。
- ポッター、マイケル、2004年、「集合論とその哲学」第2版、オックスフォード大学出版局。
- スモリンスキー、クレイグ、1991年、「論理数論I」、シュプリンガー出版社。
無料でオンラインで入手可能なモノグラフ:
- Burris, Stanley N., HP Sankappanavar, HP, 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2。
外部リンク
- ジプセン：
- 代数構造のアルファベット順リスト。ここに記載されていないものも多数含まれています。
- オンライン書籍と講義ノート。
- この地図には約50の構造物が含まれていますが、そのうちのいくつかは上記には記載されていません。同様に、上記の構造物のほとんどはこの地図には記載されていません。
- PlanetMath は、Wayback Machine のトピック インデックスに 2007-11-13 でアーカイブされています。
- Hazewinkel、Michiel (2001)数学百科事典。スプリンガー・フェルラーク。
- 抽象代数に関する Mathworld のページ。
- スタンフォード哲学百科事典：代数学、ヴォーン・プラット著。
