古典力学の方程式一覧

古典力学は、巨視的な物体の運動を記述する物理学の一分野です。[1]物理学の理論の中で最もよく知られています。質量、加速度、力といった概念は、広く用いられ、よく知られています。[2]この分野は、参照系と呼ばれる固定軸を持つ三次元ユークリッド空間に基づいています。三軸が一致する点は、その空間の原点として知られています。[3]

古典力学は、様々な物理量を相互に関連付ける多くの方程式やその他の数学的概念を用いています。これらには、微分方程式、多様体、リー群、エルゴード理論などが含まれます。[4]本稿では、これらの中で最も重要なものを要約します。

この記事ではニュートン力学の方程式を列挙します。より一般的な古典力学（ラグランジアン力学とハミルトン力学を含む）の定式化については解析力学を参照してください。

古典力学

質量と慣性

数量（一般名） （共通）シンボル 定義式 SI単位 寸法
線密度、表面密度、体積密度 線形の場合はλまたはμ (特に音響学では以下を参照)、表面積の場合はσ、体積の場合はρ。 m = ∫ λ d ℓ {\displaystyle m=\int \lambda \,\mathrm {d} \ell }

m = ∬ σ d S {\displaystyle m=\iint \sigma \,\mathrm {d} S}

m = ∭ ρ d V {\displaystyle m=\iiint \rho \,\mathrm {d} V}

kg m − n , n = 1, 2, 3 ML − n
質量モーメント[5] m（共通記号なし） 点質点:

m = r m {\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {r} m}

軸の周りの離散質量: x i {\displaystyle x_{i}} m = ∑ i = 1 N r i m i {\displaystyle \mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}m_{i}}

軸の周りの質量連続体： x i {\displaystyle x_{i}} m = ∫ ρ ( r ) x i d r {\displaystyle \mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r} }

kg m ML
重心 r com

（記号は異なります）

質量のi番目のモーメント m i = r i m i {\displaystyle \mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}}

離散質量: r c o m = 1 M ∑ i r i m i = 1 M ∑ i m i {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}}

質量連続体: r c o m = 1 M ∫ d m = 1 M ∫ r d m = 1 M ∫ r ρ d V {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\int \mathrm {d} \mathbf {m} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho \,\mathrm {d} V}

メートル L
2体縮減質量 m 12、μ質量のペア = m 1とm 2 μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} kg M
慣性モーメント（MOI） 私 離散質量:

I = ∑ i m i ⋅ r i = ∑ i | r i | 2 m {\displaystyle I=\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\left|\mathbf {r} _{i}\right|^{2}m}

質量連続体: I = ∫ | r | 2 d m = ∫ r ⋅ d m = ∫ | r | 2 ρ d V {\displaystyle I=\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\rho \,\mathrm {d} V}

kg m 2 ML2​

導出された運動量

古典粒子の運動量: 質量m、位置r、速度v、加速度a。
数量（一般名） （共通）シンボル 定義式 SI単位 寸法
速度 v v = d r d t {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}} ミリ秒−1 LT −1
加速度 1つの a = d v d t = d 2 r d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}} ミリ秒−2 LT −2
ジャーク j j = d a d t = d 3 r d t 3 {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}} ミリ秒−3 LT −3
ジャンプ s s = d j d t = d 4 r d t 4 {\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}} ミリ秒−4 LT −4
角速度 ω ω = n ^ d θ d t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}} ラジアン秒−1 T −1
角加速度 α α = d ω d t = n ^ d 2 θ d t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}} ラジアン秒−2 T −2
角度ジャーク ζ ζ = d α d t = n ^ d 3 θ d t 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}} ラジアン秒−3 T −3

導出された動的量

古典的物体の角運動量。

左：固有「スピン」角運動量Sは、実際には物体のあらゆる点における軌道角運動量である。

右：軸周りの外在軌道角運動量L。

上：慣性モーメントテンソル Iと角速度ω（Lは必ずしもωと平行ではない）[6]。

下：運動量pと軸からの半径位置r

。全角運動量（スピン＋軌道）はJである。
数量（一般名） （共通）シンボル 定義式 SI単位 寸法
勢い p p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } kg ms −1 MLT −1
力 F F = d p / d t {\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t} N = kg ms −2 MLT −2
インパルス J、 Δ p、I J = Δ p = ∫ t 1 t 2 F d t {\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t} kg ms −1 MLT −1
位置点r 0の周りの角運動量、 L、J、S L = ( r − r 0 ) × p {\displaystyle \mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p} }

ほとんどの場合、粒子が共通点で交差する軸の周りを周回している場合は、 r 0 = 0に設定できます。

 kg m 2 s −1 ML 2 T −1
位置点r 0の周りの力のモーメント、

トルク

τ , M τ = ( r − r 0 ) × F = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}} N·m = kg·m· 2 ·s -2 ML 2 T −2
角度インパルス Δ L (共通記号なし) Δ L = ∫ t 1 t 2 τ d t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\,\mathrm {d} t} kg m 2 s −1 ML 2 T −1

一般的なエネルギーの定義

数量（一般名） （共通）シンボル 定義式 SI単位 寸法
合力による 機械的仕事 W W = ∫ C F ⋅ d r {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} } J = N·m = kg·m 2 s −2 ML 2 T −2
機械システム上で行われた仕事、機械システムによって行われた仕事 西オン、西バイ Δ W O N = − Δ W B Y {\displaystyle \Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }} J = N·m = kg·m 2 s −2 ML 2 T −2
位置エネルギー φ、 Φ 、U、V、E p Δ W = − Δ V {\displaystyle \Delta W=-\Delta V} J = N·m = kg·m 2 s −2 ML 2 T −2
機械力 P P = d E d t {\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}} W = J s −1 ML 2 T −3

あらゆる保存力は位置エネルギーを持ちます。2つの原理に従うことで、 Uに相対的でない値を一貫して割り当てることができます。

  • 力がゼロである場所では、その位置エネルギーもゼロであると定義されます。
  • 力が働くたびに、位置エネルギーは失われます。

一般化力学

数量（一般名） （共通）シンボル 定義式 SI単位 寸法
一般化座標 q、Q 選択によって変わる 選択によって変わる
一般化された速度 q ˙ , Q ˙ {\displaystyle {\dot {q}},{\dot {Q}}} q ˙ ≡ d q / d t {\displaystyle {\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t} 選択によって変わる 選択によって変わる
一般化された運動量 p、P p = ∂ L / ∂ q ˙ {\displaystyle p=\partial L/\partial {\dot {q}}} 選択によって変わる 選択によって変わる
ラグランジアン L L ( q , q ˙ , t ) = T ( q ˙ ) − V ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}

ここで、p = p ( t )は、時間の関数としての一般化された座標と運動量のベクトルである。 q = q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (t)}

J ML 2 T −2
ハミルトニアン H H ( p , q , t ) = p ⋅ q ˙ − L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)} J ML 2 T −2
アクション、ハミルトンの主要な機能 S、 S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} S = ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t} J s ML 2 T −1

運動学

以下の回転定義において、角度は指定された回転軸を中心とした任意の角度とすることができる。慣例的にはθが用いられるが、極座標系で使用される極角である必要はない。単位軸ベクトル

n ^ = e ^ r × e ^ θ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}

回転軸を定義します。 = r方向の単位ベクトル、= 角度の接線方向の単位ベクトル。 e ^ r {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}} e ^ θ {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}

翻訳 回転
速度 平均：

v a v e r a g e = Δ r Δ t {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}} 瞬間:

v = d r d t {\displaystyle \mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}}

角速度回転剛体： ω = n ^ d θ d t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}} v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }
加速度 平均：

a a v e r a g e = Δ v Δ t {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}

瞬間:

a = d v d t = d 2 r d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}

角加速度

α = d ω d t = n ^ d 2 θ d t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}

回転する剛体:

a = α × r + ω × v {\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

ジャーク 平均：

j a v e r a g e = Δ a Δ t {\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}}

瞬間:

j = d a d t = d 2 v d t 2 = d 3 r d t 3 {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}

角度ジャーク

ζ = d α d t = n ^ d 2 ω d t 2 = n ^ d 3 θ d t 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}}

回転する剛体:

j = ζ × r + α × a {\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a} }

ダイナミクス

翻訳 回転
勢い 運動量は「翻訳量」である

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

回転する剛体の場合:

p = ω × m {\displaystyle \mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m} }

角運動量

角運動量とは「回転量」のことです。

L = r × p = I ⋅ ω {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}

そして、外積は擬似ベクトルです。つまり、rとp の方向が逆 (負) であっても、L は逆ではありません。

一般に、Iは2次のテンソルです。その成分については上記を参照してください。点· はテンソル縮約を表します。

力とニュートンの第二法則 合力は質量の中心でシステムに作用し、運動量の変化率に等しくなります。

F = d p d t = d ( m v ) d t = m a + v d m d t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}}

多数の粒子に対して、一つの粒子iの運動方程式は次のようになる: [7]

d p i d t = F E + ∑ i ≠ j F i j {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}

ここで、p iは粒子iの運動量、F ijは粒子jから粒子iに及ぼす力、F Eは結果として生じる外力（系に関与しない任意のエージェントによる）。粒子i は自身に力を及ぼさない。

トルク

トルクτは力の回転方向の類似物であるため、力のモーメントとも呼ばれる。[8]

τ = d L d t = r × F = d ( I ⋅ ω ) d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}}

剛体の場合、回転に関するニュートンの第2法則は並進の場合と同じ形になります。

τ = d L d t = d ( I ⋅ ω ) d t = d I d t ⋅ ω + I ⋅ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}}

同様に、多数の粒子の場合、1つの粒子iの運動方程式は次のようになる。[9]

d L i d t = τ E + ∑ i ≠ j τ i j {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}}

ヤンク ヤンクは力の変化率です。

Y = d F d t = d 2 p d t 2 = d 2 ( m v ) d t 2 = m j + 2 a d m d t + v d 2 m d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}}

質量が一定の場合は次のようになります。 Y = m j {\displaystyle \mathbf {Y} =m\mathbf {j} }

ロタタム

Rotatum Ρは、ヤンクの回転アナログであるため、ヤンクのモーメントとも呼ばれます。

P = d τ d t = r × Y = d ( I ⋅ α ) d t {\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\tau }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}}

インパルス インパルスとは運動量の変化です。

Δ p = ∫ F d t {\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} \,dt}

一定の力Fの場合：

Δ p = F Δ t {\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t}

回転/角衝撃は角運動量の変化です。

Δ L = ∫ τ d t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}\,dt}

一定のトルクτの場合：

Δ L = τ Δ t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t}

歳差運動

回転するコマの歳差角速度は次のように表されます。

Ω = w r I ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}

ここで、wは回転するフライホイールの重量です。

エネルギー

外部エージェントがシステムに対して行う機械的仕事は、システムの運動エネルギーの変化に等しい。

一般的な仕事-エネルギー定理（移動と回転）

曲線経路Cに沿って物体に力F ( rで) とトルクτを及ぼす外部エージェントによって行われる仕事W は次のようになります。

W = Δ T = ∫ C ( F ⋅ d r + τ ⋅ n d θ ) {\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}

ここで、θ は単位ベクトル nによって定義される軸の周りの回転角度です。

運動エネルギー

物体が最初に速度で移動し、その後速度が下がる場合の運動エネルギーの変化は次のようになります。 v 0 {\displaystyle v_{0}} v {\displaystyle v} Δ E k = W = 1 2 m ( v 2 − v 0 2 ) {\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}

弾性位置エネルギー

フックの法則に従い、一端が固定された引き伸ばされたバネの場合、弾性位置エネルギーは

Δ E p = 1 2 k ( r 2 − r 1 ) 2 {\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}

ここで、r 2とr 1は、伸長/圧縮方向におけるバネの自由端の共線座標であり、k はバネ定数です。

剛体力学に関するオイラー方程式

オイラーもまた、ニュートンの運動法則に類似した運動法則を導き出しました。オイラーの運動法則を参照してください。これはニュートンの法則の適用範囲を剛体にまで拡張したものですが、本質的には上記と同じです。オイラーが定式化した新しい方程式は以下のとおりです。[10]

I ⋅ α + ω × ( I ⋅ ω ) = τ {\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}

ここで、Iは慣性モーメント テンソルです。

一般的な平面運動

ここでも、平面運動に関する前述の方程式を用いることができる。運動量、角運動量などの系は、上記の定義を適用することで直ちに導かれる。平面上の任意の軌道を運動する任意の物体について、

r = r ( t ) = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}}

粒子には以下の一般的な結果が適用されます。

運動学 ダイナミクス
位置

r = r ( r , θ , t ) = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}}

速度

v = r ^ d r d t + r ω θ ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}

勢い

p = m ( r ^ d r d t + r ω θ ^ ) {\displaystyle \mathbf {p} =m\left({\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}\right)}

角運動量 L = m r × ( r ^ d r d t + r ω θ ^ ) {\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left({\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}\right)}

加速度

a = ( d 2 r d t 2 − r ω 2 ) r ^ + ( r α + 2 ω d r d t ) θ ^ {\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right){\hat {\mathbf {\theta } }}}

求心力は ​

F ⊥ = − m ω 2 R r ^ = − ω 2 m {\displaystyle \mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {r} }}=-\omega ^{2}\mathbf {m} }

ここでもmは質量モーメントであり、コリオリの力は

F c = 2 ω m d r d t θ ^ = 2 ω m v θ ^ {\displaystyle \mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}{\hat {\mathbf {\theta } }}=2\omega mv{\hat {\mathbf {\theta } }}}

コリオリの加速度と力は次のようにも表すことができます。

F c = m a c = − 2 m ω × v {\displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}}

中心力運動

2 つの物体の質量中心間の半径方向の距離のみに依存する別の物体による中心ポテンシャル内を移動する質量体の運動方程式は次のようになります。

d 2 d θ 2 ( 1 r ) + 1 r = − μ r 2 l 2 F ( r ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}

運動方程式（一定加速度）

これらの方程式は加速度が一定の場合にのみ使用できます。加速度が一定でない場合は、位置、速度、加速度の定義を積分して得られる上記の一般的な微積分方程式を使用する必要があります（上記参照）。

直線運動 角運動
v − v 0 = a t {\displaystyle \mathbf {v-v_{0}} =\mathbf {a} t} ω − ω 0 = α t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega -\omega _{0}}}={\boldsymbol {\alpha }}t}
x − x 0 = 1 2 ( v 0 + v ) t {\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v_{0}+v} )t} θ − θ 0 = 1 2 ( ω 0 + ω ) t {\displaystyle {\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {\omega _{0}+\omega }})t}
x − x 0 = v 0 t + 1 2 a t 2 {\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}} θ − θ 0 = ω 0 t + 1 2 α t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\boldsymbol {\omega }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}}
x − x 0 = v t − 1 2 a t 2 {\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}} θ − θ 0 = ω t − 1 2 α t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\boldsymbol {\omega }}t-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}}
x n t h = v 0 + a ( n − 1 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{n^{th}}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} (n-{\tfrac {1}{2}})} θ n t h = ω 0 + α ( n − 1 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{n^{th}}={\boldsymbol {\omega }}_{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(n-{\tfrac {1}{2}})}
v 2 − v 0 2 = 2 a ( x − x 0 ) {\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2\mathbf {a(x-x_{0})} } ω 2 − ω 0 2 = 2 α ( θ − θ 0 ) {\displaystyle \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2{\boldsymbol {\alpha (\theta -\theta _{0})}}}

ガリレオフレーム変換

古典力学（ガリレオ・ニュートン力学）では、ある慣性フレームまたは加速フレーム（回転を含む一定速度で移動する参照フレーム - ゼロを含む）から別の慣性フレームへの変換法則はガリレイ変換です。

プライム記号のない量は、ある座標系Fにおける位置、速度、加速度を表します。プライム記号のある量は、別の座標系F'における位置、速度、加速度を表します。F'は、Fに対して並進速度Vまたは角速度Ωで移動します。逆に、FはF'に対して速度（—Vまたは—Ω）で移動します。相対加速度についても同様です。

実体の動き 慣性系 フレームの加速
翻訳

V = 2つの慣性系FとF'間の一定の相対速度。A
= 2つの加速系FとF'間の（可変の）相対加速度。

 相対位置

r ′ = r + V t {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t}

相対速度 v ′ = v + V {\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V} }

等価加速度 a ′ = a {\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} }

相対加速度

a ′ = a + A {\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A} }

見かけの力/架空の力 F ′ = F − F a p p {\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }}

回転

Ω = 2つのフレーム F と F' 間の一定の相対角速度。Λ
= 2つの加速フレーム F と F' 間の（可変の）相対角加速度。

相対角度位置

θ ′ = θ + Ω t {\displaystyle \theta '=\theta +\Omega t} 相対速度 ω ′ = ω + Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}}

等価加速度 α ′ = α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}}

相対加速度

α ′ = α + Λ {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}}

見かけのトルク/架空のトルク τ ′ = τ − τ a p p {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }}

任意のベクトルTの回転フレームへの 変換

d T ′ d t = d T d t − Ω × T {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T} }

機械振動子

SHM、DHM、SHO、DHO はそれぞれ単振動、減衰振動、単振動、減衰振動子を指します。

運動方程式
物理的な状況 命名法 並進方程式 角度方程式
SHM
  • x = 横方向の変位
  • θ = 角度変位
  • A = 横方向の振幅
  • Θ = 角振幅
 d 2 x d t 2 = − ω 2 x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x}

解決： x = A sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)}

d 2 θ d t 2 = − ω 2 θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta }

解決： θ = Θ sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle \theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)}

強制されないDHM
  • b = 減衰定数
  • κ = ねじり定数
 d 2 x d t 2 + b d x d t + ω 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0}

解答（ω'については下記を参照）： x = A e − b t / 2 m cos ⁡ ( ω ′ ) {\displaystyle x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)}

共振周波数: ω r e s = ω 2 − ( b 4 m ) 2 {\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}}

減衰率: γ = b / m {\displaystyle \gamma =b/m}

励起の予想寿命: τ = 1 / γ {\displaystyle \tau =1/\gamma }

d 2 θ d t 2 + b d θ d t + ω 2 θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0}

解決： θ = Θ e − κ t / 2 m cos ⁡ ( ω ) {\displaystyle \theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)}

共振周波数: ω r e s = ω 2 − ( κ 4 m ) 2 {\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}}

減衰率: γ = κ / m {\displaystyle \gamma =\kappa /m}

励起の予想寿命: τ = 1 / γ {\displaystyle \tau =1/\gamma }

角周波数
物理的な状況 命名法 方程式
線形非減衰非強制SHO
  • k = バネ定数
  • m = 振動錘の質量
 ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
線形非強制DHO
  • k = バネ定数
  • b = 減衰係数
 ω ′ = k m − ( b 2 m ) 2 {\displaystyle \omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-\left({\frac {b}{2m}}\right)^{2}}}}
低振幅角SHO
  • I = 振動軸周りの慣性モーメント
  • κ = ねじり定数
 ω = κ I {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}}
低振幅単振り子
  • L = 振り子の長さ
  • g = 重力加速度
  • Θ = 角振幅
 おおよその値

ω = g L {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}}

正確な値は次のように示されます。 ω = g L [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ∏ n = 1 k ( 2 n − 1 ) ∏ n = 1 m ( 2 n ) sin 2 n ⁡ Θ ] {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]}

機械振動のエネルギー
物理的な状況 命名法 方程式
SHMエネルギー
  • T = 運動エネルギー
  • U = 位置エネルギー
  • E = 総エネルギー
 位置エネルギー

U = m 2 ( x ) 2 = m ( ω A ) 2 2 cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle U={\frac {m}{2}}\left(x\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\cos ^{2}(\omega t+\phi )} x = A における最大値: U m a x = m 2 ( ω A ) 2 {\displaystyle U_{\mathrm {max} }={\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}}

運動エネルギー T = ω 2 m 2 ( d x d t ) 2 = m ( ω A ) 2 2 sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle T={\frac {\omega ^{2}m}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\sin ^{2}\left(\omega t+\phi \right)}

総エネルギー E = T + U {\displaystyle E=T+U}

DHMエネルギー E = m ( ω A ) 2 2 e − b t / m {\displaystyle E={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}e^{-bt/m}}

参照

注記

  1. ^ マイヤー、サスマン＆ウィズダム 2001、p. xiii
  2. ^ バークシャー＆キブル 2004年、1ページ
  3. ^ バークシャー＆キブル 2004年、2ページ
  4. ^ アーノルド 1989、p. v
  5. ^ 「セクション：モーメントと質量中心」。
  6. ^ RPファインマン、RBレイトン、M.サンズ (1964).ファインマン物理学講義（第2巻） . アディソン・ウェスレー. pp.  31–7 . ISBN 978-0-201-02117-2。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  7. ^ 「相対性理論、JRフォーショウ 2009」
  8. ^ 「力学、D.クレップナー 2010」
  9. ^ 「相対性理論、JRフォーショウ 2009」
  10. ^ 「相対性理論、JRフォーショウ 2009」

参考文献

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