非線形偏微分方程式の一覧

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A～F

名前 寸法 方程式 応用
ベイトマン・バーガーズ方程式 1+1 u t + u u x ＝ ν u x x {\displaystyle \displaystyle u_{t}+uu_{x}=\nu u_{xx}} 流体力学
ベンジャミン・ボナ・マホニー 1+1 u t + u x + u u x − u x x t ＝ 0 {\displaystyle \displaystyle u_{t}+u_{x}+uu_{x}-u_{xxt}=0} 流体力学
ベンジャミン・オノ 1+1 u t + H u x x + u u x ＝ 0 {\displaystyle \displaystyle u_{t}+Hu_{xx}+uu_{x}=0} 深海の内部波
ブーメロン 1+1 u t ＝ b ⋅ v x 、 v x t ＝ u x x b + a × v x − 2 v × （ v × b ） {\displaystyle \displaystyle u_{t}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} _{x},\quad \displaystyle \mathbf {v} _{xt}=u_{xx}\mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {v} _{x}-2\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {b} )} ソリトン
ボルツマン方程式 1+6 ∂ f i ∂ t + p i m i ⋅ ∇ f i + F ⋅ ∂ f i ∂ p i ＝ （ ∂ f i ∂ t ） c o l l 、 {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} },}

（ ∂ f i ∂ t ） c o l l ＝ ∑ j ＝ 1 n ∬ g i j 私 i j （ g i j 、 Ω ） [ f i ′ f j ′ − f i f j ] d Ω d 3 p ′ {\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} }

統計力学
ボルン・インフェルト 1+1 （ 1 − u t 2 ） u x x + 2 u x u t u x t − （ 1 + u x 2 ） u t t ＝ 0 {\displaystyle \displaystyle (1-u_{t}^{2})u_{xx}+2u_{x}u_{t}u_{xt}-(1+u_{x}^{2})u_{tt}=0} 電気力学
ブシネスク 1+1 u t t − u x x − u x x x x − 3 （ u 2 ） x x ＝ 0 {\displaystyle \displaystyle u_{tt}-u_{xx}-u_{xxxx}-3(u^{2})_{xx}=0} 流体力学
ブシネスク型方程式 1+1 u t t − u x x − 2 α （ u u x ） x − β u x x t t ＝ 0 {\displaystyle \displaystyle u_{tt}-u_{xx}-2\alpha (uu_{x})_{x}-\beta u_{xxtt}=0} 流体力学
バックマスター 1+1 u t ＝ （ u 4 ） x x + （ u 3 ） x {\displaystyle \displaystyle u_{t}=(u^{4})_{xx}+(u^{3})_{x}} 薄い粘性流体シート流
カーン・ヒリアード方程式 任意の c t ＝ D ∇ 2 （ c 3 − c − γ ∇ 2 c ） {\displaystyle \displaystyle c_{t}=D\nabla^{2}\left(c^{3}-c-\gamma\nabla^{2}c\right)} 相分離
カラビ流 任意の ∂ g i j ∂ t ＝ （ Δ R ） g i j {\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}=(\Delta R)g_{ij}} カラビ・ヤウ多様体
カマッサ・ホルム 1+1 u t + 2 κ u x − u x x t + 3 u u x ＝ 2 u x u x x + u u x x x {\displaystyle u_{t}+2\kappa u_{x}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}\,} ピーコン
カールマン 1+1 u t + u x ＝ v 2 − u 2 ＝ v x − v t {\displaystyle u_{t}+u_{x}=v^{2}-u^{2}=v_{x}-v_{t}}
コーシー運動量 任意の ρ （ ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v ） ＝ ∇ ⋅ σ + ρ f {\displaystyle \displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot \sigma +\rho \mathbf {f} } 運動量輸送
チェイフィー・インファンテ方程式 u t − u x x + λ （ u 3 − u ） ＝ 0 {\displaystyle u_{t}-u_{xx}+\lambda (u^{3}-u)=0}
クレロー方程式 任意の x ⋅ D u + f （ D u ） ＝ u {\displaystyle x\cdot Du+f(Du)=u} 微分幾何学
クラーク方程式 1+1 （ θ t − γ δ e θ ） t t ＝ ∇ 2 （ θ t − δ e θ ） {\displaystyle (\theta_{t}-\gamma\deltae^{\theta})_{tt}=\nabla^{2}(\theta_{t}-\deltae^{\theta})} 燃焼
複素モンジュ・アンペール 任意の det （ ∂ i j ¯ φ ） ＝ {\displaystyle \displaystyle \det(\partial _{i{\bar {j}}}\varphi )=} 低次の項 カラビ予想
定常非点収差 1+1 z y y + （ 1 z ） x x + 2 ＝ 0 {\displaystyle z_{yy}+\left({\frac {1}{z}}\right)_{xx}+2=0} 微分幾何学
デイビー・スチュワートソン 1+2 i u t + c 0 u x x + u y y ＝ c 1 | u | 2 u + c 2 u φ x 、 φ x x + c 3 φ y y ＝ （ | u | 2 ） x {\displaystyle \displaystyle iu_{t}+c_{0}u_{xx}+u_{yy}=c_{1}|u|^{2}u+c_{2}u\varphi_{x},\quad \displaystyle \varphi_{xx}+c_{3}\varphi_{yy}=(|u|^{2})_{x}} 有限深度波
デガスペリス・プロセス 1+1 u t − u x x t + 4 u u x ＝ 3 u x u x x + u u x x x {\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}} ピーコン
分散長波 1+1 u t ＝ （ u 2 − u x + 2 w ） x {\displaystyle \displaystyle u_{t}=(u^{2}-u_{x}+2w)_{x}} 、 w t ＝ （ 2 u w + w x ） x {\displaystyle w_{t}=(2uw+w_{x})_{x}}
ドリンフェルト・ソコロフ・ウィルソン 1+1 u t ＝ 3 w w x 、 w t ＝ 2 w x x x + 2 u w x + u x w {\displaystyle \displaystyle u_{t}=3ww_{x},\quad \displaystyle w_{t}=2w_{xxx}+2uw_{x}+u_{x}w}
ダイム方程式 1+1 u t ＝ u 3 u x x x 。 {\displaystyle \displaystyle u_{t}=u^{3}u_{xxx}.\,} ソリトン
エックハウス方程式 1+1 i u t + u x x + 2 | u | x 2 u + | u | 4 u ＝ 0 {\displaystyle iu_{t}+u_{xx}+2|u|_{x}^{2}u+|u|^{4}u=0} 可積分系
アイコナール方程式 任意の | ∇ u （ x ） | ＝ F （ x ） 、   x ∈ Ω {\displaystyle \displaystyle |\nabla u(x)|=F(x),\ x\in \Omega } 光学
アインシュタインの場の方程式 任意の R μ ν − 1 2 R g μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle \displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }} 一般相対性理論
エルドアン・チャトウィン方程式 1+1 φ t = ( φ x + a φ x 3 ) x {\displaystyle \varphi _{t}=(\varphi _{x}+a\varphi _{x}^{3})_{x}} 流体力学
エルンスト方程式 2 ℜ ( u ) ( u r r + u r / r + u z z ) = ( u r ) 2 + ( u z ) 2 {\displaystyle \displaystyle \Re (u)(u_{rr}+u_{r}/r+u_{zz})=(u_{r})^{2}+(u_{z})^{2}}
エステベス・マンスフィールド・クラークソン方程式 U t y y y + β U y U y t + β U y y U t + U t t = 0  in which  U = u ( x , y , t ) {\displaystyle U_{tyyy}+\beta U_{y}U_{yt}+\beta U_{yy}U_{t}+U_{tt}=0{\text{ in which }}U=u(x,y,t)}
オイラー方程式 1+3 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 , ρ ( ∂ u ∂ t + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ p + ρ f , ∂ s ∂ t + v ⋅ ∇ s = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0,\quad \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\rho \mathbf {f} ,\quad {\frac {\partial s}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla s=0} 非粘性流体
フィッシャー方程式 1+1 u t = u ( 1 − u ) + u x x {\displaystyle \displaystyle u_{t}=u(1-u)+u_{xx}} 遺伝子伝播
フィッツヒュー・ナグモモデル 1+1 u t = u x x + u ( u − a ) ( 1 − u ) + w , w t = ε u {\displaystyle \displaystyle u_{t}=u_{xx}+u(u-a)(1-u)+w,\quad \displaystyle w_{t}=\varepsilon u} 生物学的ニューロンモデル
フェップル・フォン・カルマン方程式 E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) ∇ 4 w − h ∂ ∂ x β ( σ α β ∂ w ∂ x α ) = P , ∂ σ α β ∂ x β = 0 {\displaystyle {\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\nabla ^{4}w-h{\frac {\partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P,\quad {\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0} 固体力学
藤田・ストーム方程式 u t = a ( u − 2 u x ) x {\displaystyle u_{t}=a(u^{-2}u_{x})_{x}}

G-K

名前 寸法 方程式 応用
G方程式 1+3 G t + v ⋅ ∇ G = S L ( G ) | ∇ G | {\displaystyle G_{t}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=S_{L}(G)|\nabla G|} 乱流 燃焼
一般的なスカラー輸送 1+3 φ t + ∇ ⋅ f ( t , x , φ , ∇ φ ) = g ( t , x , φ ) {\displaystyle \displaystyle \varphi _{t}+\nabla \cdot f(t,x,\varphi ,\nabla \varphi )=g(t,x,\varphi )} 輸送
ギンツブルグ・ランダウ 1+3 α ψ + β | ψ | 2 ψ + 1 2 m ( − i ℏ ∇ − 2 e A ) 2 ψ = 0 {\displaystyle \displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\tfrac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0} 超伝導
グロス・ピタエフスキー 1 + n i ∂ t ψ = ( − 1 2 ∇ 2 + V ( x ) + g | ψ | 2 ) ψ {\displaystyle \displaystyle i\partial _{t}\psi =\left(-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+V(x)+g|\psi |^{2}\right)\psi } ボーズ・アインシュタイン凝縮
ジャイロ運動論の方程式 1 + 5 ∂ h s ∂ t + ( v | | b ^ + V → d s + ⟨ V → ϕ ⟩ φ ) ⋅ ∇ → R → h s − ∑ s ′ ⟨ C [ h s , h s ′ ] ⟩ φ = Z s e f s 0 T s ∂ ⟨ ϕ ⟩ φ ∂ t − ∂ f s 0 ∂ ψ ⟨ V → ϕ ⟩ φ ⋅ ∇ → ψ {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial h_{s}}{\partial t}}+\left(v_{||}{\hat {b}}+{\vec {V}}_{ds}+\left\langle {\vec {V}}_{\phi }\right\rangle _{\varphi }\right)\cdot {\vec {\nabla }}_{\vec {R}}h_{s}-\sum _{s'}\left\langle C\left[h_{s},h_{s'}\right]\right\rangle _{\varphi }={\frac {Z_{s}ef_{s0}}{T_{s}}}{\frac {\partial \left\langle \phi \right\rangle _{\varphi }}{\partial t}}-{\frac {\partial f_{s0}}{\partial \psi }}\left\langle {\vec {V}}_{\phi }\right\rangle _{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\psi }} プラズマ中の微小乱流
グスマン 1 + n J t + g J x + 1 / 2 σ 2 J x x − λ σ 2 ( J x ) 2 + f = 0 {\displaystyle \displaystyle J_{t}+gJ_{x}+1/2\sigma ^{2}J_{xx}-\lambda \sigma ^{2}(J_{x})^{2}+f=0} リスク回避に関する ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式
ハートリー方程式 任意の i ∂ t u + Δ u = ( ± | x | − n | u | 2 ) u {\displaystyle \displaystyle i\partial _{t}u+\Delta u=\left(\pm |x|^{-n}|u|^{2}\right)u}
長谷川・美馬 1+3 0 = ∂ ∂ t ( ∇ 2 φ − φ ) − [ ( ∇ φ × z ^ ) ⋅ ∇ ] [ ∇ 2 φ − ln ⁡ ( n 0 ω c i ) ] {\displaystyle \displaystyle 0={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\varphi -\varphi \right)-\left[\left(\nabla \varphi \times {\hat {\mathbf {z} }}\right)\cdot \nabla \right]\left[\nabla ^{2}\varphi -\ln \left({\frac {n_{0}}{\omega _{ci}}}\right)\right]} プラズマ中の乱流
ハイゼンベルクの強磁性体 1+1 S t = S ∧ S x x . {\displaystyle \displaystyle \mathbf {S} _{t}=\mathbf {S} \wedge \mathbf {S} _{xx}.} 磁性
ヒックス 1+1 ψ r r − ψ r / r + ψ z z = r 2 d H / d ψ − Γ d Γ / d ψ {\displaystyle \psi _{rr}-\psi _{r}/r+\psi _{zz}=r^{2}\mathrm {d} H/\mathrm {d} \psi -\Gamma \mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} \psi } 流体力学
ハンター・サクストン 1+1 ( u t + u u x ) x = 1 2 u x 2 {\displaystyle \displaystyle \left(u_{t}+uu_{x}\right)_{x}={\tfrac {1}{2}}u_{x}^{2}} 液晶
石森の式 1+2 S t = S ∧ ( S x x + S y y ) + u x S y + u y S x , u x x − α 2 u y y = − 2 α 2 S ⋅ ( S x ∧ S y ) {\displaystyle \displaystyle \mathbf {S} _{t}=\mathbf {S} \wedge \left(\mathbf {S} _{xx}+\mathbf {S} _{yy}\right)+u_{x}\mathbf {S} _{y}+u_{y}\mathbf {S} _{x},\quad \displaystyle u_{xx}-\alpha ^{2}u_{yy}=-2\alpha ^{2}\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {S} _{x}\wedge \mathbf {S} _{y}\right)} 可積分系
カドムツェフ・ペトヴィアシビリ 1+2 ∂ x ( ∂ t u + u ∂ x u + ε 2 ∂ x x x u ) + λ ∂ y y u = 0 {\displaystyle \displaystyle \partial _{x}\left(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\varepsilon ^{2}\partial _{xxx}u\right)+\lambda \partial _{yy}u=0} 浅水波
カルダー・パリシ・チャン方程式 1+3 h t = ν ∇ 2 h + λ ( ∇ h ) 2 / 2 + η {\displaystyle \displaystyle h_{t}=\nu \nabla ^{2}h+\lambda (\nabla h)^{2}/2+\eta } ストキャスティックス
フォン・カルマン 2 ∇ 4 u = E ( w x y 2 − w x x w y y ) , ∇ 4 w = a + b ( u y y w x x + u x x w y y − 2 u x y w x y ) {\displaystyle \displaystyle \nabla ^{4}u=E\left(w_{xy}^{2}-w_{xx}w_{yy}\right),\quad \nabla ^{4}w=a+b\left(u_{yy}w_{xx}+u_{xx}w_{yy}-2u_{xy}w_{xy}\right)}
カウプ 1+1 f x = 2 f g c ( x − t ) = g t {\displaystyle \displaystyle f_{x}=2fgc(x-t)=g_{t}}
カウプ・クーパーシュミット 1+1 u t = u x x x x x + 10 u x x x u + 25 u x x u x + 20 u 2 u x {\displaystyle \displaystyle u_{t}=u_{xxxxx}+10u_{xxx}u+25u_{xx}u_{x}+20u^{2}u_{x}} 可積分系
クライン・ゴードン・マクスウェル 任意の ∇ 2 s = ( | a | 2 + 1 ) s , ∇ 2 a = ∇ ( ∇ ⋅ a ) + s 2 a {\displaystyle \displaystyle \nabla ^{2}s=\left(|\mathbf {a} |^{2}+1\right)s,\quad \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )+s^{2}\mathbf {a} }
クライン・ゴードン（非線形） 任意の ∇ 2 u + λ u p = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}u+\lambda u^{p}=0} 相対論的量子力学
ホフロフ・ザボロツカヤ 1+2 u x t − ( u u x ) x = u y y {\displaystyle \displaystyle u_{xt}-(uu_{x})_{x}=u_{yy}}
コンパネーツ 1+1 n t = x − 2 [ x 4 ( n x + n 2 + n ) ] x {\displaystyle \displaystyle n_{t}=x^{-2}[x^{4}(n_{x}+n^{2}+n)]_{x}} 物理的運動学
コルテヴェク・デ・フリース（KdV） 1+1 u t + u x x x − 6 u u x = 0 {\displaystyle \displaystyle u_{t}+u_{xxx}-6uu_{x}=0} 浅い波、積分可能なシステム
KdV（スーパー） 1+1 u t = 6 u u x − u x x x + 3 w w x x , w t = 3 u x w + 6 u w x − 4 w x x x {\displaystyle \displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}+3ww_{xx},\quad w_{t}=3u_{x}w+6uw_{x}-4w_{xxx}}
KdV方程式の記事には、 さまざまなバリエーションが記載されています
倉本・シヴァシンスキー方程式 1 + n u t + ∇ 4 u + ∇ 2 u + 1 2 | ∇ u | 2 = 0 {\displaystyle \displaystyle u_{t}+\nabla ^{4}u+\nabla ^{2}u+{\tfrac {1}{2}}|\nabla u|^{2}=0} 燃焼

L-Q

名前 寸法 方程式 応用
ランダウ・リフシッツ模型 1+ n ∂ S ∂ t = S ∧ ∑ i ∂ 2 S ∂ x i 2 + S ∧ J S {\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} } 固体中の磁場
リン・ツィエン方程式 1+2 2 u t x + u x u x x − u y y = 0 {\displaystyle \displaystyle 2u_{tx}+u_{x}u_{xx}-u_{yy}=0}
リウヴィル方程式 任意の ∇ 2 u + e λ u = 0 {\displaystyle \displaystyle \nabla ^{2}u+e^{\lambda u}=0}
リウヴィル・ブラトゥ・ゲルファンド方程式 任意の ∇ 2 ψ + λ e ψ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0} 燃焼、天体物理学
対数シュレーディンガー方程式 任意の i ∂ ψ ∂ t + Δ ψ + ψ ln ⁡ | ψ | 2 = 0. {\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\Delta \psi +\psi \ln |\psi |^{2}=0.} 超流動、量子重力
極小曲面 3 div ⁡ ( D u / 1 + | D u | 2 ) = 0 {\displaystyle \displaystyle \operatorname {div} (Du/{\sqrt {1+|Du|^{2}}})=0} 極小曲面
モンジュ＝アンペール 任意の det ( ∂ i j φ ) = {\displaystyle \displaystyle \det(\partial _{ij}\varphi )=} 低次の項
ナビエ・ストークス
（およびその導出） 		1+3 ρ ( ∂ v i ∂ t + v j ∂ v i ∂ x j ) = − ∂ p ∂ x i + ∂ ∂ x j [ μ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) + λ ∂ v k ∂ x k ] + ρ f i {\displaystyle \displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\lambda {\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}\right]+\rho f_{i}}

+ 質量保存: + pとρを関連付ける状態方程式(例:非圧縮性の流れの場合): ∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ v i ) ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho \,v_{i}\right)}{\partial x_{i}}}=0}
∂ v i ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=0}

流体の流れ、ガスの流れ
非線形シュレーディンガー（立方） 1+1 i ∂ t ψ = − 1 2 ∂ x 2 ψ + κ | ψ | 2 ψ {\displaystyle \displaystyle i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\kappa |\psi |^{2}\psi } 光学、水波
非線形シュレーディンガー（微分） 1+1 i ∂ t ψ = − 1 2 ∂ x 2 ψ + ∂ x ( i κ | ψ | 2 ψ ) {\displaystyle \displaystyle i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{x}(i\kappa |\psi |^{2}\psi )} 光学、水波
オメガ方程式 1+3 ∇ 2 ω + f 2 σ ∂ 2 ω ∂ p 2 {\displaystyle \displaystyle \nabla ^{2}\omega +{\frac {f^{2}}{\sigma }}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial p^{2}}}} = f σ ∂ ∂ p V g ⋅ ∇ p ( ζ g + f ) + R σ p ∇ p 2 ( V g ⋅ ∇ p T ) {\displaystyle \displaystyle ={\frac {f}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial p}}\mathbf {V} _{g}\cdot \nabla _{p}(\zeta _{g}+f)+{\frac {R}{\sigma p}}\nabla _{p}^{2}(\mathbf {V} _{g}\cdot \nabla _{p}T)} 大気物理学
高原 2 ( 1 + u y 2 ) u x x − 2 u x u y u x y + ( 1 + u x 2 ) u y y = 0 {\displaystyle \displaystyle (1+u_{y}^{2})u_{xx}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{x}^{2})u_{yy}=0} 極小曲面
ポールマイヤー・ルンド・レッゲ 2 u x x − u y y ± sin ⁡ u cos ⁡ u + cos ⁡ u sin 3 ⁡ u ( v x 2 − v y 2 ) = 0 , ( v x cot 2 ⁡ u ) x = ( v y cot 2 ⁡ u ) y {\displaystyle \displaystyle u_{xx}-u_{yy}\pm \sin u\cos u+{\frac {\cos u}{\sin ^{3}u}}(v_{x}^{2}-v_{y}^{2})=0,\quad \displaystyle (v_{x}\cot ^{2}u)_{x}=(v_{y}\cot ^{2}u)_{y}}
多孔質媒体 1+ n u t = Δ ( u γ ) {\displaystyle \displaystyle u_{t}=\Delta (u^{\gamma })} 拡散
プラントル 1+2 u t + u u x + v u y = U t + U U x + μ ρ u y y {\displaystyle \displaystyle u_{t}+uu_{x}+vu_{y}=U_{t}+UU_{x}+{\frac {\mu }{\rho }}u_{yy}} 、 u x + v y = 0 {\displaystyle \displaystyle u_{x}+v_{y}=0} 境界層

R–Z、α–ω

名前 寸法 方程式 応用
レイリー 1+1 u t t − u x x = ε ( u t − u t 3 ) {\displaystyle \displaystyle u_{tt}-u_{xx}=\varepsilon (u_{t}-u_{t}^{3})}
リッチフロー 任意の ∂ t g i j = − 2 R i j {\displaystyle \displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}} ポアンカレ予想
リチャーズ方程式 1+3 θ t = [ K ( θ ) ( ψ z + 1 ) ] z {\displaystyle \displaystyle \theta _{t}=\left[K(\theta )\left(\psi _{z}+1\right)\right]_{z}} 多孔質媒体における可変飽和流
ローゼナウ・ハイマン 1+1 u t + a ( u n ) x + ( u n ) x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+a\left(u^{n}\right)_{x}+\left(u^{n}\right)_{xxx}=0} コンパクトソリューション
沢田・小寺 1+1 u t + 45 u 2 u x + 15 u x u x x + 15 u u x x x + u x x x x x = 0 {\displaystyle \displaystyle u_{t}+45u^{2}u_{x}+15u_{x}u_{xx}+15uu_{xxx}+u_{xxxxx}=0}
サック・シャメル方程式 1+1 V ¨ + ∂ η [ 1 1 − V ¨ ∂ η ( 1 − V ¨ V ) ] = 0 {\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }\left[{\frac {1}{1-{\ddot {V}}}}\partial _{\eta }\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)\right]=0} プラズマ
シャメル方程式 1+1 ϕ t + ( 1 + b ϕ ) ϕ x + ϕ x x x = 0 {\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0} プラズマ、ソリトン、光学
シュレジンジャー 任意の ∂ A i ∂ t j [ A i ,   A j ] t i − t j , i ≠ j , ∂ A i ∂ t i = − ∑ j = 1 j ≠ i n [ A i ,   A j ] t i − t j , 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle \displaystyle {\partial A_{i} \over \partial t_{j}}{\left[A_{i},\ A_{j}\right] \over t_{i}-t_{j}},\quad i\neq j,\quad {\partial A_{i} \over \partial t_{i}}=-\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\left[A_{i},\ A_{j}\right] \over t_{i}-t_{j}},\quad 1\leq i,j\leq n} 等モノドロミック変形
ザイバーグ・ウィッテン 1+3 D A φ = 0 , F A + = σ ( φ ) {\displaystyle \displaystyle D^{A}\varphi =0,\qquad F_{A}^{+}=\sigma (\varphi )} ザイバーグ・ウィッテン不変量、場の理論
浅水 1+2 η t + ( η u ) x + ( η v ) y = 0 ,   ( η u ) t + ( η u 2 + 1 2 g η 2 ) x + ( η u v ) y = 0 ,   ( η v ) t + ( η u v ) x + ( η v 2 + 1 2 g η 2 ) y = 0 {\displaystyle \displaystyle \eta _{t}+(\eta u)_{x}+(\eta v)_{y}=0,\ (\eta u)_{t}+\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)_{x}+(\eta uv)_{y}=0,\ (\eta v)_{t}+(\eta uv)_{x}+\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)_{y}=0} 浅水波
サイン・ゴードン 1+1 φ t t − φ x x + sin ⁡ φ = 0 {\displaystyle \displaystyle \,\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0} ソリトン、場の理論
シン・ゴードン 1+1 u x t = sinh ⁡ u {\displaystyle \displaystyle u_{xt}=\sinh u} ソリトン、場の理論
シン・ポアソン 1+ n ∇ 2 u + sinh ⁡ u = 0 {\displaystyle \displaystyle \nabla ^{2}u+\sinh u=0} 流体力学
スウィフト・ホーエンベルク 任意の u t = r u − ( 1 + ∇ 2 ) 2 u + N ( u ) {\displaystyle \displaystyle u_{t}=ru-(1+\nabla ^{2})^{2}u+N(u)} パターン形成
トーマス 2 u x y + α u x + β u y + γ u x u y = 0 {\displaystyle \displaystyle u_{xy}+\alpha u_{x}+\beta u_{y}+\gamma u_{x}u_{y}=0}
サーリング 1+1 i u x + v + u | v | 2 = 0 {\displaystyle \displaystyle iu_{x}+v+u|v|^{2}=0} 、 i v t + u + v | u | 2 = 0 {\displaystyle \displaystyle iv_{t}+u+v|u|^{2}=0} ディラック場、場の理論
戸田格子 任意の ∇ 2 log ⁡ u n = u n + 1 − 2 u n + u n − 1 {\displaystyle \displaystyle \nabla ^{2}\log u_{n}=u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}}
ヴェセロフ・ノビコフ 1+2 ( ∂ t + ∂ z 3 + ∂ z ¯ 3 ) v + ∂ z ( u v ) + ∂ z ¯ ( u w ) = 0 {\displaystyle \displaystyle (\partial _{t}+\partial _{z}^{3}+\partial _{\bar {z}}^{3})v+\partial _{z}(uv)+\partial _{\bar {z}}(uw)=0} 、、 ∂ z ¯ u = 3 ∂ z v {\displaystyle \displaystyle \partial _{\bar {z}}u=3\partial _{z}v} ∂ z w = 3 ∂ z ¯ v {\displaystyle \displaystyle \partial _{z}w=3\partial _{\bar {z}}v} 浅水波
渦度方程式 ∂ ω ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ω = ( ω ⋅ ∇ ) u − ω ( ∇ ⋅ u ) + 1 ρ 2 ∇ ρ × ∇ p + ∇ × ( ∇ ⋅ τ ρ ) + ∇ × ( f ρ ) ,   ω = ∇ × u {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {f} }{\rho }}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} } 流体力学
和達・紺野・市川・清水 1+1 i u t + ( ( 1 + | u | 2 ) − 1 / 2 u ) x x = 0 {\displaystyle \displaystyle iu_{t}+((1+|u|^{2})^{-1/2}u)_{xx}=0}
WDVV方程式 任意の ∑ σ , τ = 1 n ( ∂ 3 F ∂ t α t β t σ η σ τ ∂ 3 F ∂ t μ t ν t τ ) {\displaystyle \displaystyle \sum _{\sigma ,\tau =1}^{n}\left({\partial ^{3}F \over \partial t^{\alpha }t^{\beta }t^{\sigma }}\eta ^{\sigma \tau }{\partial ^{3}F \over \partial t^{\mu }t^{\nu }t^{\tau }}\right)} = ∑ σ , τ = 1 n ( ∂ 3 F ∂ t α t ν t σ η σ τ ∂ 3 F ∂ t μ t β t τ ) {\displaystyle \displaystyle =\sum _{\sigma ,\tau =1}^{n}\left({\partial ^{3}F \over \partial t^{\alpha }t^{\nu }t^{\sigma }}\eta ^{\sigma \tau }{\partial ^{3}F \over \partial t^{\mu }t^{\beta }t^{\tau }}\right)} 位相的場の理論、場の理論
WZWモデル 1+1 S k ( γ ) = − k 8 π ∫ S 2 d 2 x K ( γ − 1 ∂ μ γ , γ − 1 ∂ μ γ ) + 2 π k S W Z ( γ ) {\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}

S W Z ( γ ) = − 1 48 π 2 ∫ B 3 d 3 y ε i j k K ( γ − 1 ∂ γ ∂ y i , [ γ − 1 ∂ γ ∂ y j , γ − 1 ∂ γ ∂ y k ] ) {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\varepsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)}

QFT
ウィッサム方程式 1+1 η t + α η η x + ∫ − ∞ + ∞ K ( x − ξ ) η ξ ( ξ , t ) d ξ = 0 {\displaystyle \displaystyle \eta _{t}+\alpha \eta \eta _{x}+\int _{-\infty }^{+\infty }K(x-\xi )\,\eta _{\xi }(\xi ,t)\,{\text{d}}\xi =0} 水波
ウィリアムズスプレー方程式 ∂ f j ∂ t + ∇ x ⋅ ( v f j ) + ∇ v ⋅ ( F j f j ) = − ∂ ∂ r ( R j f j ) − ∂ ∂ T ( E j f j ) + Q j + Γ j ,   F j = v ˙ ,   R j = r ˙ ,   E j = T ˙ ,   j = 1 , 2 , . . . , M {\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial t}}+\nabla _{x}\cdot (\mathbf {v} f_{j})+\nabla _{v}\cdot (F_{j}f_{j})=-{\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})-{\frac {\partial }{\partial T}}(E_{j}f_{j})+Q_{j}+\Gamma _{j},\ F_{j}={\dot {\mathbf {v} }},\ R_{j}={\dot {r}},\ E_{j}={\dot {T}},\ j=1,2,...,M} 燃焼
山辺 n Δ φ + h ( x ) φ = λ f ( x ) φ ( n + 2 ) / ( n − 2 ) {\displaystyle \displaystyle \Delta \varphi +h(x)\varphi =\lambda f(x)\varphi ^{(n+2)/(n-2)}} 微分幾何学
ヤン＝ミルズ（ソースフリー） 任意の D μ F μ ν = 0 , F μ ν = A μ , ν − A ν , μ + [ A μ , A ν ] {\displaystyle \displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=0,\quad F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }+[A_{\mu },\,A_{\nu }]} ゲージ理論、場の理論
ヤン＝ミルズ（自己双対/反自己双対） 4 F α β = ± ε α β μ ν F μ ν , F μ ν = A μ , ν − A ν , μ + [ A μ , A ν ] {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\pm \varepsilon _{\alpha \beta \mu \nu }F^{\mu \nu },\quad F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }+[A_{\mu },\,A_{\nu }]} インスタントン、ドナルドソン理論、場の理論
湯川 1+ n i ∂ t u + Δ u = − A u , ◻ A = m 2 A + | u | 2 {\displaystyle \displaystyle i\partial _{t}^{}u+\Delta u=-Au,\quad \displaystyle \Box A=m_{}^{2}A+|u|^{2}} 中間子-核子相互作用、場の理論
ザハロフ系 1+3 i ∂ t u + Δ u = u n , ◻ n = − Δ ( | u | 2 ) {\displaystyle \displaystyle i\partial _{t}^{}u+\Delta u=un,\quad \displaystyle \Box n=-\Delta (|u|_{}^{2})} ラングミュア波
ザハロフ・シュルマン 1+3 i u t + L 1 u = φ u , L 2 φ = L 3 ( | u | 2 ) {\displaystyle \displaystyle iu_{t}+L_{1}u=\varphi u,\quad \displaystyle L_{2}\varphi =L_{3}(|u|^{2})} 音波
ゼルドビッチ・フランク・カメネツキー 1+3 u t = D ∇ 2 u + β 2 2 u ( 1 − u ) e − β ( 1 − u ) {\displaystyle \displaystyle u_{t}=D\nabla ^{2}u+{\frac {\beta ^{2}}{2}}u(1-u)e^{-\beta (1-u)}} 燃焼
ズーメロン 1+1 ( u x t / u ) t t − ( u x t / u ) x x + 2 ( u 2 ) x t = 0 {\displaystyle \displaystyle (u_{xt}/u)_{tt}-(u_{xt}/u)_{xx}+2(u^{2})_{xt}=0} ソリトン
φ4方程式 1+1 φ t t − φ x x − φ + φ 3 = 0 {\displaystyle \displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}-\varphi +\varphi ^{3}=0} QFT
σモデル 1+1 v x t + ( v x v t ) v = 0 {\displaystyle \displaystyle {\mathbf {v} }_{xt}+({\mathbf {v} }_{x}{\mathbf {v} }_{t}){\mathbf {v} }=0} 調和写像、可積分系、場の理論

参考文献

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