線形化

数学において、線形化（英英：linearisation）とは、与えられた点における関数の線形近似を求めることです。関数の線形近似は、関心のある点の周りの一次テイラー展開です。力学系の研究において、線形化は非線形微分方程式系または離散力学系の平衡点の局所安定性を評価する手法です。^{[1]この手法は、}工学、物理学、経済学、生態学 などの分野で用いられています。

関数の線形化

関数の線形化とは、直線、つまり通常は計算に使用できる直線のことです。線形化は、 が（または）で微分可能であり、 がに近いことを前提として、における関数の値と傾きに基づいて、任意のにおける関数の出力を近似する効果的な方法です。つまり、線形化は の近傍における関数の出力を近似するのです。 ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [b,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x=a}$

たとえば、。しかし、 の良い近似値は何でしょうか? ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$

任意の関数 に対して、既知の微分可能点の近くにある場合、 は近似できます。最も基本的な条件は、ここで はにおけるの線形化です。方程式の点-傾き形式は、点と傾きが与えられた場合、直線 の方程式を形成します。この方程式の一般形は です。 ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$ ${\displaystyle L_{a}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle (H,K)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle yK=M(xH)}$

点 を用いると、は となります。微分可能関数は局所的に線形なので、 に代入する最適な傾きは、におけるの接線の傾きとなります。 ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle L_{a}(x)}$ ${\displaystyle y=f(a)+M(xa)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

局所線形性の概念は に任意に近い点に最もよく当てはまりますが、比較的近い点では線形近似に比較的よく適用されます。傾きは、最も正確には における接線の傾きとなるはずです。 ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x=a}$

f ( x ) = x ²の近似値( x , f ( x ))

図示の図は、におけるの接線を視覚的に表しています。 （ は任意の小さな正または負の値）における は、点における接線の値にほぼ相当します。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$

関数の線形化の最終方程式は次のようになります。 ${\displaystyle x=a}$ $${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(xa))}$$

の場合、の導関数は であり、におけるの傾きは です。 ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle f(a)=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$

例

を求めるには、 という事実を利用できます。におけるの線形化は です。これは、 関数がにおけるの傾きを定義しているからです。 を に代入すると、 4 における線形化は です。この場合なので、はおおよそ です。真の値は 2.00024998 に近いので、線形化近似の相対誤差は 100 万分の 1 パーセント未満です。 ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(xa)}$ ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a=4}$ ${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$ ${\displaystyle x=4.001}$ ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$

多変数関数の線形化

ある点における関数の線形化の式は次のとおりです。 ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle p(a,b)}$

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(xa)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(yb)}$

ある点における多変数関数の線形化の一般的な方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

ここでは変数のベクトル、は勾配、 は線形化の対象点である。^[2]${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\nabla f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

線形化の用途

線形化により、線形システムを研究するためのツールを用いて、与えられた点の近傍における非線形関数の挙動を解析することが可能になります。関数の線形化とは、対象とする点の周囲におけるテイラー展開の1次の項のことです。以下の式で定義されるシステムの場合、

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ 、

線形化されたシステムは次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

ここでは関心のある点であり、は で評価されたの-ヤコビアンです。 ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$

安定性分析

自律システムの安定性解析においては、双曲型平衡点におけるヤコビ行列の固有値を用いて、その平衡の性質を決定することができる。これが線形化定理の内容である。時間変動システムの場合、線形化には追加の正当化が必要となる。^[3]

ミクロ経済学

ミクロ経済学では、意思決定ルールは状態空間アプローチによる線形化によって近似されることがある。^[4]このアプローチでは、効用最大化問題のオイラー方程式は定常定常状態を中心に線形化される。^[4]結果として得られる動的方程式系の唯一の解が求められる。^[4]

最適化

数理最適化では、コスト関数とその中の非線形要素を線形化することで、シンプレックス法などの線形解法を適用することができます。最適化された結果は、より効率的に得られ、大域的最適解として決定論的です。

マルチフィジックス

マルチフィジックスシステム（相互作用する複数の物理場を含むシステム）では、各物理場に関して線形化が行われることがあります。この各場に関するシステムの線形化により、線形化されたモノリシック方程式系が得られ、ニュートン・ラプソン法などのモノリシック反復解法を用いて解くことができます。この例としては、電磁場、機械場、音響場からなるシステムとなるMRIスキャナーシステムが挙げられます。 ^[5]

参照

• 線形安定性
• 接線剛性マトリックス
• 安定性デリバティブ
• 線形化定理
• テイラー近似
• 関数方程式（L関数）
• 準線形化

参考文献

1. Scholarpediaの複素1次元力学系における線形化問題
2. 線形化。ジョンズ・ホプキンス大学電気・コンピュータ工学部。2010年6月7日アーカイブ、Wayback Machineにて。
3. Leonov, GA; Kuznetsov, NV (2007). 「時間変動線形化とペロン効果」. International Journal of Bifurcation and Chaos . 17 (4): 1079– 1107. Bibcode :2007IJBC...17.1079L. doi :10.1142/S0218127407017732.
4. Moffatt, Mike. (2008) About.com State-Space Approach Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
5. Bagwell, S.; Ledger, PD; Gil, AJ; Mallett, M.; Kruip, M. (2017). 「軸対称MRIスキャナにおける音響・磁気・機械結合のための線形化hp-有限要素フレームワーク」. International Journal for Numerical Methods in Engineering . 112 (10): 1323– 1352. Bibcode :2017IJNME.112.1323B. doi : 10.1002/nme.5559 .

外部リンク

線形化チュートリアル

• モデル解析と制御設計のための線形化 2011年8月28日アーカイブ at the Wayback Machine