最大値と最小値
cos(3π x )/ x , 0.1≤ x ≤1.1の局所的および全体的な最大値と最小値

数学的解析において、関数の最大値と最小値[ a ]は、それぞれ関数が取る最大の値と最小値です。一般的に極値[ b ]と呼ばれ、関数の特定の範囲内（局所的または相対的極値）または定義域全体（大域的または絶対的極値）で定義されます。 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]ピエール・ド・フェルマーは、関数の最大値と最小値を求めるための 一般的な手法である等式を最初に提案した数学者の一人です。

集合論の定義によれば、集合の最大値と最小値は、それぞれ集合内の最大の要素と最小の要素です。実数集合のような無限集合には、最小値も最大値もありません。

統計学では、対応する概念はサンプルの最大値と最小値です。

意味

領域X上で定義された実数値関数fは、大域的（または絶対的）最大点を持つ。x ∗において、X内のすべてのxに対してf ( x ∗ ) ≥ f ( x )が成り立つ場合。同様に、関数は大域的（または絶対的）最小点を持つ。x ∗において、Xの任意のxに対してf ( x ∗ ) ≤ f ( x )が成り立つとき、関数の最大値は関数の最大値は と表記され、最小値における関数の値は と呼ばれる。最大（f（×））{\displaystyle \max(f(x))}関数の最小値（分かりやすくするために表記）。記号的に書くと、次のように表すことができます。 分（f（×））{\displaystyle \min(f(x))}

×0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}関数のグローバル最大点となるのは、f:X→R、{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}（た×∈X）f（×0）≥f（×）。{\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}

グローバル最小点の定義も同様に進みます。

領域Xが距離空間である場合、fは局所的（または相対的）最大点を持つと言われる。点x ∗において、 x ∗から距離ε以内にあるXのすべてのxに対してf ( x ∗ ) ≥ f ( x )となるようなε > 0が存在するとき、関数は局所最小値を持つ。同様に、関数は局所最小値を持つ。x ∗において、 x ∗ から距離 ε 以内にある X 内のすべての x に対して f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) が成り立つとき。Xが位相空間である場合にも、同様の定義を用いることができる。これは、先ほど与えた定義を近傍を用いて言い換えることができるためである。数学的には、与えられた定義は以下のように書ける。

を計量空間とし、関数をとする。関数の極大点が（X、dX）{\displaystyle (X,d_{X})}f:X→R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }×0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}f{\displaystyle f}（∃ε>0）{\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}（た×∈X）dX（×、×0）<ε⟹f（×0）≥f（×）。{\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}

局所最小点の定義も同様に進めることができます。

グローバルな場合もローカルな場合も、厳密な極値を定義することができる。例えば、x∗は厳密な全体的最大点とは、 X ≠ x ∗の任意xに対してf ( x ∗ ) > f ( x )が成り立ち、x∗が厳密な極大点とは、 X内のxに対し、x∗から距離ε以内でx ≠ x ∗で、 f ( x ∗ ) > f ( x )が成り立つような、 ε > 0が存在場合をいう。点が厳密な大域的極大点となるのは、それが唯一の大域的極大点である場合のみであり、最小点についても同様である。

コンパクトな定義域を持つ連続実数値関数は、必ず最大点と最小点を持ちます。重要な例として、定義域が実数の閉区間かつ有界区間である関数が挙げられます（上のグラフを参照）。

数学的最適化の目的は、大域的最大値と最小値を見つけることです。関数が閉区間上で連続している場合、極値定理により、大域的最大値と最小値が存在することが分かります。さらに、大域的最大値（または最小値）は、領域の内部における局所的最大値（または最小値）であるか、領域の境界上にある必要があります。したがって、大域的最大値（または最小値）を見つける方法は、内部のすべての局所的最大値（または最小値）と、境界上の点の最大値（または最小値）を調べ、最も大きい値（または最小値）を求めることです。

微分可能関数の場合、フェルマーの定理によれば、領域の内部における局所的極値は、必ず臨界点（または導関数がゼロとなる点）で発生する。[ 4 ]しかし、すべての臨界点が極値となるわけではない。十分な微分可能性があれば、一次微分検定、二次微分検定、あるいは高階微分検定を用いることで、臨界点が極大値、極小値、あるいはそのどちらでもないかを判別できることが多い。[ 5 ]

区分的に定義された関数の場合、各部分の最大値 (または最小値) を個別に求めて、どれが最大 (または最小) であるかを調べることによって、最大値 (または最小値) を求めます。

例

x √ xの最大値はx = eで発生します。
関数最大値と最小値
× 2x = 0 で唯一のグローバル最小値。
× 3大域的な最小値や最大値は存在しません。1次導関数 (3 x 2 ) はx = 0 で 0 になりますが、これは変曲点です。(2次導関数はその点で 0 になります。)
××{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}x = eにおける唯一の大域的最大値。（右図参照）（シュタイナーの微積分問題も参照）
x − xx = 1/ eにおける正の実数上の唯一のグローバル最大値。
x 3 /3 − x1次導関数x 2 − 1 と2次導関数2 xです。1次導関数を0としてxについて解くと、-1と+1に停留点があります。2次導関数の符号から、-1が極大値、+1が極小値であることがわかります。この関数には、大域的な最大値や最小値は存在しません。
|バツ|x = 0での大域的最小値は、導関数がx = 0 に存在しないため、導関数をとっても見つけることができません。
cos( x )0、±2 π、±4 πなどに無限に多くの大域的極大値があり、± π、±3 π、±5 πなどに無限に多くの大域的極小値があります。
2 cos( x ) − x局所的な最大値と最小値は無限にありますが、全体的な最大値や最小値はありません。
cos ( 3πx ) / x （ 0.1≤x≤1.1 ）x  = 0.1（境界）でグローバル最大値、 x = 0.3 付近でグローバル最小値、 x = 0.6 付近で極大値、 x = 1.0 付近で極小値 。（ページ上部の図を参照。）
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 は閉区間（線分）[−4,2]上で定義されるx  = −1− √ 15 /3で極大値、 x  = −1+ √ 15 /3で極小値、x = 2 で大域最大値、 x = −4 で大域最小値 。

実際の例として、[ 6 ]フィートのフェンスがあり、長方形の囲いの平方フィートを最大化しようとしている状況を想定します。ここでは、 は長さ、は幅、は面積です。 200{\displaystyle 200}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}xy{\displaystyle xy}

2x+2y=200{\displaystyle 2x+2y=200}
2y=200−2x{\displaystyle 2y=200-2x}
2y2=200−2x2{\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}
y=100−x{\displaystyle y=100-x}
xy=x(100−x){\displaystyle xy=x(100-x)}

についての導関数は次のようになります。 x{\displaystyle x}

ddxxy=ddxx(100−x)=ddx(100x−x2)=100−2x{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}

これを等しく設定すると0{\displaystyle 0}

0=100−2x{\displaystyle 0=100-2x}
2x=100{\displaystyle 2x=100}
x=50{\displaystyle x=50}

は唯一の臨界点であることがわかります。次に、が制限される区間を決定することで、端点を取得します。幅は正なので、 となり、 なので、が成り立ちます。臨界点、端点 、 を に代入すると、結果 はそれぞれととなります。 x=50{\displaystyle x=50}x{\displaystyle x}x>0{\displaystyle x>0}x=100−y{\displaystyle x=100-y}x<100{\displaystyle x<100}50{\displaystyle 50}0{\displaystyle 0}100{\displaystyle 100}xy=x(100−x){\displaystyle xy=x(100-x)}2500,0,{\displaystyle 2500,0,}0{\displaystyle 0}

したがって、長方形のフェンスで達成できる最大面積はフィート です。[ 6 ]200{\displaystyle 200}50×50=2500{\displaystyle 50\times 50=2500}

複数の変数を持つ関数

ペアノ面、19世紀の局所的最大値のいくつかの基準に対する反例
地球の最大値は頂点にある点である
反例: 赤い点は、大域的最小値ではない局所的最小値を示している。

複数の変数を持つ関数の場合も、同様の条件が適用されます。たとえば、右側の図 (拡大可能) では、極大値に必要な条件は、1つの変数のみを持つ関数の条件と似ています。z (最大化される変数) に関する最初の偏導関数は、最大値 (図の上部にある光る点) で 0 になります。2 番目の偏導関数は負です。これらは、鞍点 の可能性があるため、極大値にとって必要な条件であり、十分な条件ではありません。これらの条件を使用して最大値を解くには、関数zも全体にわたって微分可能でなければなりません。2番目の偏導関数テストは、点を相対的最大値または相対的最小値として分類するのに役立ちます。対照的に、1 つの変数の関数と複数の変数の関数の間には、グローバル極値の識別において大きな違いがあります。例えば、実数直線上の閉区間上で定義された有界微分可能関数fが、局所最小値である単一の臨界点を持つ場合、それは大域最小値でもある（中間値定理とロールの定理を用いて、これを背理法で証明する）。2次元以上の場合、この議論は成り立たない。これは、関数

f(x,y)=x2+y2(1−x)3,x,y∈R,{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}

唯一の臨界点は(0,0)であり、これはf (0,0) = 0となる局所最小値である。しかし、f (2,3) = −5であるため、これは大域的最小値にはなり得ない。

関数の最大値または最小値

極値を求める関数の定義域自体が関数で構成されている場合（つまり、極値を求める関数が である場合） 、変分法を使用して極値を求めます。

セットに関して

最大値と最小値は集合に対しても定義できます。一般に、順序付き集合Sが最大元mを持つ場合、mは集合の最大元であり、 とも表記されます。さらに、Sが順序付き集合Tのサブセットであり、m が（ Tによって誘導される順序に関して）Sの最大元である場合、 mはTにおけるSの最小上限です。最小元、最小元、最大下限についても同様の結果が得られます。集合の最大値と最小値関数はデータベースで使用され、集合の最大値（または最小値）はパーティションの最大値から計算できるため、迅速に計算できます。正式には、これらは自己分解可能な集約関数です。 max(S){\displaystyle \max(S)}

一般的な半順序の場合、最小元（つまり、他のすべての元よりも小さい元）を最小元（これより小さいものはない）と混同しないでください。同様に、半順序集合（poset）の最大元は、集合の上限であり、その集合内に含まれる元です。一方、 poset Aの最大元mは、 m ≤ b （ A内の任意のbについて）であればm = bとなるようなAの元です。poset の最小元または最大元は一意ですが、poset には複数の最小元または最大元を含めることができます。poset に複数の最大元がある場合、これらの元は互いに比較できません。

全順序集合、すなわち連鎖においては、すべての要素は互いに比較可能であるため、そのような集合は最大でも1つの最小要素と最大でも1つの最大要素を持つことができます。そして、相互比較可能性により、最小要素は最小の要素でもあり、最大要素は最大の要素でもあります。したがって、全順序集合では、単に最小と最大という用語を使用することができます。

連鎖が有限であれば、必ず最大値と最小値を持つ。連鎖が無限であれば、最大値や最小値を持つ必要はない。例えば、自然数の集合には最大値はないが、最小値は存在する。無限連鎖Sが有界である場合、その集合の閉包Cl ( S ) には時折、最小値と最大値が存在する。この場合、それらはそれぞれ集合Sの最大下限と最小上限と呼ばれる。

最大値の議論

例えば、上記の正規化されていないsinc関数と正規化されたsinc関数はどちらもx  = 0で最大値1に達するため、{0}となります。正規化されていないsinc関数（赤）のarg minは、 x = ±4.49で約-0.217の2つの最小値を持つため、おおよそ{-4.49, 4.49}と なります。一方、正規化されたsinc関数（青）のarg minは、 最小値が同じであるにもかかわらず、x = ±1.43で最小値を持つため、おおよそ{-1.43, 1.43}となります。 [ 7 ]argmax{\displaystyle \operatorname {argmax} }

数学において、最大値の引数（arg maxまたはargmaxと略される）と最小値の引数（arg minまたはargminと略される）は、関数の出力値がそれぞれ最大化および最小化される入力点である。[ 8 ]引数は関数の定義域で定義されるが、出力はその共域の一部である。

参照

注記

  1. ^ PL :最大値と最小値（または最大値と最小値）。
  2. ^ SG :極値。

参考文献

  1. ^スチュワート、ジェームズ(2008).微積分学：初期超越関数（第6版）.ブルックス/コール. ISBN 978-0-495-01166-8。
  2. ^ラーソン、ロン; エドワーズ、ブルース・H. (2009).微積分学（第9版）. Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2。
  3. ^トーマス、ジョージ・B. ; ウィアー、モーリス・D. ;ハス、ジョエル(2010). 『トーマス微積分学：初期超越論』（第12版）.アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-321-58876-0。
  4. ^ Weisstein, Eric W. 「Minimum」 . mathworld.wolfram.com . 2020年8月30日閲覧。
  5. ^ Weisstein, Eric W. 「Maximum」 . mathworld.wolfram.com . 2020年8月30日閲覧。
  6. ^ a bギャレット、ポール. 「最小化と最大化の復習」 .
  7. ^「正規化されていないSinc関数」 Wayback Machineで2017年2月15日にアーカイブ、シドニー大学
  8. ^わかりやすくするために、入力 ( x ) を点、出力 ( y ) を値と呼びます。臨界点と臨界値を比較してください。
ウィキメディア コモンズには、極値 (微積分)に関連するメディアがあります。
無料辞書の Wiktionary で、最大値、最小値、または極値を調べてください。
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