局所ゼータ関数

数学では、局所ゼータ関数 Z ( V ,  s )（合同ゼータ関数またはハッセ・ヴェイユゼータ関数と呼ばれることもある）は次のように定義される。

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

ここで、_Vはq個の元を持つ体Fq上の非特異 n次元射影代数多様体であり、Nk_はFqの有限体拡大Fqk上で定義された^_Vの_点の数である。^[1]

変数変換t  =  q ^{− s}を行う と、

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

変数 における正式な冪級数として。 ${\displaystyle t}$

同様に、局所ゼータ関数は次のように定義されることもあります。

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .}$

言い換えれば、有限体F _qに係数を持つ局所ゼータ関数Z ( V ,  t )は、その対数微分によって、 k次拡大F _{q ^k}でVを定義する方程式の解の数がN _kになる関数として定義されます。

処方

有限体Fが与えられたとき、同型を_除いて 、

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$ 、

k = 1, 2, ...に対して、 F がq個の元を持つ唯一の体であるとき、F _{k は}q 個の元を持つ唯一の体である。F上に定義された多項式方程式の集合、あるいは代数多様体Vが与えられれば 、${\displaystyle q^{k}}$

${\displaystyle N_{k}\,}$

F _kの解を生成関数を作成する

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$ 。

Z ( t )の正しい定義は、 log Z をGと等しくすることであるので、

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

そして、G (0 ) = 0であり、Z ( t )は事前に形式的な冪級数であるため、 Z (0) = 1である。

対数微分

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

生成関数に等しい

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$ 。

例

例えば、すべてのN _{k が}1であると仮定します。これは例えば、X = 0のような方程式から始めると起こり、幾何学的にはVを点とみなします。すると

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

は対数の展開である（| t | < 1）。この場合、

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

もっと興味深い例として、V をF上の射影直線とします。Fがq個の元を持つ場合、V にはq + 1 個の点があり、その中には無限遠点も含まれます。したがって、

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

そして

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

| t | は十分に小さいので、

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

これらの関数の最初の研究は、1923年のエミール・アルティンの博士論文において行われた。彼は超楕円曲線の場合の結果を得て、曲線に適用される理論のさらなる主要な点について予想を立てた。この理論はその後、FKシュミットとヘルムート・ハッセによって発展させられた。^[2]局所ゼータ関数の最も初期の非自明な例は、カール・フリードリヒ・ガウスの『算術論』第358条に暗黙的に示されていた。そこでは、複素乗法を持つ有限体上の楕円曲線の特定の例について、円分法によって点が数えられている。^[3]

定義といくつかの例については、^{[4]も参照してください。}

動機

GとZの定義の関係は、いくつかの方法で説明できます。(例えば、以下のZの無限積の公式を参照してください。) 実際には、Z はtの有理関数となり、これは有限体上の 楕円曲線Vの場合でも興味深いことです。

局所Zゼータ関数を掛け合わせると、グローバルゼータ関数が得られる。 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

これらは通常、異なる有限体 (たとえば、p がすべての素数にわたって実行される場合のZ / p Zの体族全体) を伴います。

これらの体では、変数tはp ^−sに置き換えられます。ここで、sはディリクレ級数で伝統的に使用される複素変数です。（詳細については、ハッセ・ヴェーユゼータ関数を参照してください。）

したがって、前のセクションで例として使用した 2 つのケースのZのグローバル積は、 とすると となり、になります。 ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$ ${\displaystyle q=p}$

有限体上の曲線に対するリーマン予想

特異でないF上の射影曲線Cについては、

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

ここでP ( t )は2次gの多項式であり、gはCの種数である。

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

有限体上の曲線に対するリーマン予想は、

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

例えば、楕円曲線の場合、2つの根があり、それらの根の絶対値がq ^1/2であることは簡単に示せます。ハッセの定理は、それらの根の絶対値が同じであるというもので、これは点の数に直接的な影響を与えます。

アンドレ・ヴェイユは1940年頃（コント・ランデュス誌、1940年4月号の注記）、一般の場合についてこれを証明した。その後数年間、彼は関連する代数幾何学の著述に多くの時間を費やした。これが彼を一般ヴェイユ予想へと導いた。アレクサンダー・グロタンディークは、これらを解決するためにスキーム理論を発展させた。一世代後、ピエール・ドリーニュが証明を完成させた。（一般理論の基本公式については エタール・コホモロジーを参照。）

ゼータ関数の一般式

フロベニウス写像に対するレフシェッツのトレース公式から、

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

これは有限体F上の有限型の分離スキームであり、 は のコンパクト台を持つ -進エタールコホモロジーに作用する幾何学的フロベニウスであり、を体Fの代数的閉包に持ち上げたもので_ある。これはゼータ関数が の有理関数であることを示す。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$

の無限積の式 は ${\displaystyle Z(X,t)}$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

ここで、積はXのすべての閉点xにわたって値域を持ち、deg( x )はxの次数である。局所ゼータ関数Z(X,t)は、変数変換q ^−sを介して複素変数sの関数として見られる。

Xが上述の多様体Vである場合、閉点は上の点Pの同値類x=[P]である。ここで、2つの点はF上で共役であれば同値である。xの次数は、 P の座標によって生成されるFの体拡大の次数である。無限積Z(X, t)の対数微分は、上述の生成関数、すなわち ${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$ 。

参照

• ゼータ関数の一覧
• ヴェイユ予想
• 楕円曲線

参考文献

1. Silverman, Joseph H. (1992)「楕円曲線の算術」第V.2節、Graduate Texts in Mathematics、第106巻、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-96203-0、MR  1329092
2. ダニエル・バンプ、「代数幾何学」（1998年）、195ページ。
3. Barry Mazur、「フロベニウスの固有値」、p. 244 in Algebraic Geometry、Arcata 1974：Proceedings American Mathematical Society (1974)。
4. ロビン・ハーツホーン著『代数幾何学』 449ページ、シュプリンガー、1977年、付録C「ヴェイユ予想」