局所コンパクト体

代数学において、局所コンパクト体とは、位相が局所コンパクトハウスドルフ空間を形成する位相体である。[1]この種の体は、p進数の体が上のノルムから構成される局所コンパクト位相空間であることから、もともとp進解析において導入された。位相（および距離空間構造）は、p進の文脈において 代数的数体の類似体を構築できるようにするため、重要である。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

構造

有限次元ベクトル空間

局所コンパクト体上のベクトル空間の有用な構造定理の一つは、有限次元ベクトル空間にはノルムの同値類が一つだけ存在するということである。すなわち、 sup ノルムである。[2] 58-59ページ

有限体拡張

局所コンパクト体上の有限体拡大 が与えられたとき、体ノルムを拡張する上では最大で1つの体ノルムが存在する。つまり、 K / F {\displaystyle K/F} F {\displaystyle F} | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} K {\displaystyle K} | ⋅ | F {\displaystyle |\cdot |_{F}}

| f | K = | f | F {\displaystyle |f|_{K}=|f|_{F}}

の像に一致するすべてのものについて成り立つ。これは前の定理と次のトリックから導かれる。すなわち、2つの同値なノルムが、 f ∈ K {\displaystyle f\in K} F ↪ K {\displaystyle F\hookrightarrow K} ‖ ⋅ ‖ 1 , ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \|\cdot \|_{1},\|\cdot \|_{2}}

‖ x ‖ 1 < ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \|x\|_{1}<\|x\|_{2}}

すると、固定された定数に対して、 c 1 {\displaystyle c_{1}} N 0 ∈ N {\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} }

( ‖ x ‖ 1 ‖ x ‖ 2 ) N < 1 c 1 {\displaystyle \left({\frac {\|x\|_{1}}{\|x\|_{2}}}\right)^{N}<{\frac {1}{c_{1}}}}

すべてに対して、のべき乗から生成された数列はに収束するので、 となります。 N ≥ N 0 {\displaystyle N\geq N_{0}} N {\displaystyle N} 0 {\displaystyle 0}

有限ガロア拡大

拡大が次数でガロア拡大である場合（したがって、任意の の最小多項式のすべての解、または共役元も に含まれる）、体ノルム[2] pg. 61を用いて一意の体ノルムを構成することができる。これは次のように定義される。 n = [ K : F ] {\displaystyle n=[K:F]} K / F {\displaystyle K/F} a ∈ K {\displaystyle a\in K} K {\displaystyle K} | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}}

| a | K = | N K / F ( a ) | 1 / n {\displaystyle |a|_{K}=|N_{K/F}(a)|^{1/n}}

1を拡張した明確に定義された体ノルムを持つためにはn乗根が必要であることに注意されたい。なぜなら、そのノルムの像の任意のものが与えられるからである。 F {\displaystyle F} f ∈ K {\displaystyle f\in K} F ↪ K {\displaystyle F\hookrightarrow K}

N K / F ( f ) = det m f = f n {\displaystyle N_{K/F}(f)=\det m_{f}=f^{n}}

これは-ベクトル空間上のスカラー乗算として作用するからである。 F {\displaystyle F} K {\displaystyle K}

例

有限体

すべての有限体は、離散位相を備えることができるため、局所コンパクトである。特に、離散位相を持つ任意の体は、すべての点が自身の近傍であり、かつ近傍の閉包でもあるため、局所コンパクトである。したがって、コンパクトである。

ローカルフィールド

局所コンパクト体の主な例としては、p進有理数と有限拡大が挙げられる。これらはいずれも局所体の例である。代数閉包とその完備化は、標準的な位相を持つ 局所コンパクト体ではないことに注意すること[2] 72ページ。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} K / Q p {\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}} Q ¯ p {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}} C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}}

Qの体拡張p

体の拡大はヘンゼルの補題を用いて求めることができる。例えば はには解を持たない。 K / Q p {\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}} f ( x ) = x 2 − 7 = x 2 − ( 2 + 1 ⋅ 5 ) {\displaystyle f(x)=x^{2}-7=x^{2}-(2+1\cdot 5)} Q 5 {\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}

d d x ( x 2 − 5 ) = 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x}

は の場合にのみ を法としてゼロに等しくなりますが、を法として解は存在しません。したがって、は二次体拡大です。 p {\displaystyle p} x ≡ 0   ( p ) {\displaystyle x\equiv 0{\text{ }}(p)} x 2 − 7 {\displaystyle x^{2}-7} 5 {\displaystyle 5} Q 5 ( 7 ) / Q 5 {\displaystyle \mathbb {Q} _{5}({\sqrt {7}})/\mathbb {Q} _{5}}

参照

参考文献

  1. ^ ナリシ、ローレンス（1971）、機能分析と評価理論、CRCプレス、  pp.21-22、ISBN 9780824714840。
  2. ^ abc コブリッツ、ニール。p進数、p進解析、ゼータ関数。pp.57–74  。
  • 不等式のトリック https://math.stackexchange.com/a/2252625
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