位置パラメータ

統計学において、確率分布の位置パラメータは、分布の「位置」またはシフトを決定するスカラー値またはベクトル値のパラメータです。位置パラメータ推定の文献では、このようなパラメータを持つ確率分布は、以下のいずれかの方法で正式に定義されています。 ${\displaystyle x_{0}}$

• 確率密度関数または確率質量関数 を持つものとして^[1]または${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• 累積分布関数 を持つ; ^[2]または${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• はランダム変数変換の結果として定義され、ここで はある特定の、おそらくは未知の分布を持つランダム変数である。^[3] § 加法ノイズも参照。${\displaystyle x_{0}+X}$ ${\displaystyle X}$

位置パラメータの直接的な例としては、正規分布のパラメータが挙げられます。これを理解するには、正規分布の確率密度関数からパラメータを因数分解して次のように表すことができることに注目してください。 これにより、上記の定義の最初の条件が満たされます。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle g(x'=x-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x'}{\sigma }}\right)^{2}\right)}$$

上記の定義は、1 次元の場合、が増加すると、確率密度または質量関数が正確な形状を維持しながら右に厳密にシフトすることを示しています。 ${\displaystyle x_{0}}$

位置パラメータは、位置尺度族のような複数のパラメータを持つ族にも存在します。この場合、確率密度関数または確率質量関数は、より一般的な形式の特殊なケースとなります 。 ここで、 は位置パラメータ、θは追加パラメータ、 は追加パラメータに基づいてパラメータ化された関数です。 $${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{\theta }}$

意味

出典: ^[4]

を任意の確率密度関数とし、を任意の定数とします。すると、関数 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

確率密度関数です。

場所ファミリは次のように定義されます。

任意の確率密度関数をとします。このとき、確率密度関数の族は標準確率密度関数 を持つ位置族と呼ばれ、 はその族の位置パラメータと呼ばれます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$

加法ノイズ

位置族を別の視点から考える方法は、加法ノイズの概念を用いる方法です。が定数で、Wが確率密度を持つランダムノイズである場合、 は確率密度を持ち、したがってその分布は位置族の一部となります。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{W}(w),}$ ${\displaystyle X=x_{0}+W}$ ${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

証明

連続一変数の場合、確率密度関数 を考えます。ここで、はパラメータのベクトルです。位置パラメータは、次のように定義することで追加できます。 が pdf であることは、2つの条件^[5]と を満たすかどうかを検証することで 証明できます。は積分すると 1 になります。なぜなら、 変数を変更し、それに応じて積分区間を更新すると、次の式が得られます。 は仮説により pdf だからです。 はの同じ像を共有することから成り立ちます。は pdf なので、その値域は に含まれます。 ${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a+x_{0},b+x_{0}]}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a+x_{0}}^{b+x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a+x_{0}}^{b+x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$$ ${\displaystyle u=x-x_{0}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$$ ${\displaystyle f(x|\theta )}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

参照

• 中心傾向
• ロケーションテスト
• 不変推定量
• スケールパラメータ
• 2つの瞬間の意思決定モデル

参考文献

1. 竹内啓 (1971). 「位置パラメータの一様漸近的に効率的な推定量」アメリカ統計学会誌. 66 (334): 292– 301. doi :10.1080/01621459.1971.10482258. S2CID  120949417.
2. Huber, Peter J. (1992). 「位置パラメータのロバスト推定」.統計学のブレークスルー. Springer Series in Statistics. Springer. pp.  492– 518. doi :10.1007/978-1-4612-4380-9_35. ISBN 978-0-387-94039-7。
3. Stone, Charles J. (1975). 「位置パラメータの適応型最大尤度推定量」. The Annals of Statistics . 3 (2): 267– 284. doi : 10.1214/aos/1176343056 .
4. Casella, George; Berger, Roger (2001).統計的推論（第2版）. Thomson Learning. p. 116. ISBN 978-0534243128。
5. ロス、シェルドン (2010).確率モデル入門. アムステルダム・ボストン: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC  444116127。

一般的な参考文献

• 「1.3.6.4. 位置とスケールのパラメータ」。米国国立標準技術研究所。 2025年3月17日閲覧。