ログ5

Log5 は、より多くのチームに対するチーム A とチーム B の推定勝利確率間の オッズ比に基づいて、チーム A がチーム B との試合に勝つ確率を推定する方法です。

をチームAとチームBの平均勝利確率とし、をチームAがチームBに勝つ確率とすると、次のオッズ比の式が得られます。 ${\displaystyle p_{A}}$ ${\displaystyle p_{B}}$ ${\displaystyle p_{A,B}}$

${\displaystyle {\frac {p_{A,B}}{1-p_{A,B}}}={\frac {p_{A}}{1-p_{A}}}\times {\frac {1-p_{B}}{p_{B}}}.}$

すると、

${\displaystyle p_{A,B}={\frac {p_{A}-p_{A}\times p_{B}}{p_{A}+p_{B}-2\times p_{A}\times p_{B}}}.}$

Log5という名称はビル・ジェームズ[ ^1]に由来しますが、このようにオッズ比を用いる手法ははるか昔から存在しています。これは実質的にロジスティック評価モデルであり、一対比較に用いられるブラッドリー・テリーモデル、チェスで用いられるイロレーティングシステム、そしてカテゴリカルデータの分析に用いられるラッシュモデルと同等です^{[2] 。}

次のような注目すべき特性があります。

• の場合、Log5 では A が 100% 勝つ可能性が高くなります。${\displaystyle p_{A}=1}$
• の場合、Log5 では A の勝利の確率は 0% になります。${\displaystyle p_{A}=0}$
• の場合、Log5 では各チームの勝利の確率が 50% になります。${\displaystyle p_{A}=p_{B}}$
• の場合、Log5 は A の勝利の確率を示します。${\displaystyle p_{A}=1/2}$ ${\displaystyle 1-p_{B}}$
• であれば、Log5 により A に勝利のチャンスが生まれます。${\displaystyle p_{A}+p_{B}=1}$ ${\displaystyle (p_{A})^{2}/((p_{A})^{2}+(p_{B})^{2})}$

追加のアプリケーション

対戦勝利確率に加えて、野球の打率などの結果の対戦確率を計算するために一般的な公式を適用することができます。 ^[3]

打率の例に当てはめると、打者の打率（ヒットを打つ確率）、投手の被打率（ヒットを打たれる確率）を とします。リーグ全体の打率（誰かがヒットを打つ確率）、打者Bが投手Pに対してヒットを打つ確率を とします。 ${\displaystyle p_{B}}$ ${\displaystyle p_{P}}$ ${\displaystyle p_{L}}$ ${\displaystyle p_{B,P}}$

${\displaystyle p_{B,P}={\frac {\frac {p_{B}\times p_{P}}{p_{L}}}{{\frac {p_{B}\times p_{P}}{p_{L}}}+(1-p_{B})\times {\frac {1-p_{P}}{1-p_{L}}}}}.}$

あるいは簡略化して

${\displaystyle p_{B,P}={\frac {p_{B}\times p_{P}\times (1-p_{L})}{(p_{B}\times p_{P})-(p_{L}\times p_{B})-(p_{L}\times p_{P})+p_{L}}}.}$

参考文献

1. “Chancesis: The Origins of Log5”. 2012年4月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年3月7日閲覧。
2. 「野球、チェス、心理学、心理測定学：誰もが同じ評価システムを使っている」 。 2013年12月29日閲覧。
3. 「Log5への短い余談」The Hardball Times . 2005年11月23日. 2023年2月25日閲覧。