ログ構造

代数幾何学において、対数構造は半安定スキーム、特に対数微分形式の概念と関連するホッジ理論的概念を研究するための抽象的な文脈を提供する。この概念は、モジュライ空間理論、変形理論、フォンテーヌのp進ホッジ理論など、様々な分野に応用されている。

モチベーション

そのアイデアは、滑らかだが必ずしも真ではない代数多様体（またはスキーム）U を真であるXに埋め込み、 X上の特定の層を調べることです。問題は、Uへの制限が可逆な関数からなるの部分層は環の層ではない（2つのゼロでない関数を加えるとゼロになる関数が得られるため）ため、乗法的にの部分モノイドの層しか得られないことです。 X上のこの追加の構造を覚えておくことは、包含 を覚えていることに対応し、この追加の構造を持つXは境界を持つ多様体（ に対応）に似ています。[1] お X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} お X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} j : あなた → X {\displaystyle j\colon U\to X} D ＝ X − あなた {\displaystyle D=XU}

意味

X をスキームとする。X上の前対数構造は、X上の（可換）モノイドの層とモノイドの準同型から構成される。ここで、は関数の乗法に関してモノイドとみなされる。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} α : M → お X {\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}} お X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}

さらに同型性を誘導する場合、前対数構造は対数構造になります。 （ M 、 α ） {\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )} α {\displaystyle \alpha} α : α − 1 （ お X × ） → お X × {\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}

(前)対数構造の射影は、 に関連付けられた準同型と可換なモノイドの層の準同型で構成されます。 お X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}

ログ スキームとは、簡単に言えば、ログ構造を備えたスキームです。

例

  • 任意のスキームXに対して、とを包含としてとることで、 X上の自明な対数構造を定義できます。 M ＝ お X × {\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }} α {\displaystyle \alpha}
  • 対数構造の定義の動機となる例は、半安定スキームから得られる。Xをスキーム、すなわちXの開部分スキームの包含とし、補集合を の正規交差を持つ因子とする。すると、この状況に関連する対数構造 が存在する。これは であり、への包含射は単にである。これは、 Dに関連するX上の標準（または標準）対数構造と呼ばれる。 j : あなた → X {\displaystyle j\colon U\to X} D ＝ X − あなた {\displaystyle D=XU} M ＝ お X ∩ j ∗ お あなた × {\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }} α {\displaystyle \alpha} お X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
  • R を離散値環とし、剰余体kと分数体Kとする。すると、上の標準対数構造は（ ではなく！）を に包含することで構成される。これは実際には前述の構成例であるが、 を としている。 S p e c （ R ） {\displaystyle \mathrm {Spec} (R)} R ∖ { 0 } {\displaystyle R\setminus \{0\}} R × {\displaystyle R^{\times}} R {\displaystyle R} j : S p e c （ K ） → S p e c （ R ） {\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}
  • 上記のRでは、以前と同じモノイドの層を取り、代わりにRの最大イデアルを 0 に送ることで、上の中空対数構造を定義することもできます。 S p e c （ R ） {\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}

アプリケーション

対数構造の応用の一つは、任意の対数スキーム上で対数形式（対数極を持つ微分形式とも呼ばれる）を定義できることである。これにより、例えば対数平滑性や対数エタール性を定義し、滑らかな射影やエタール射影の概念を一般化することができる。これにより、変形理論の研究が可能となる。

さらに、対数構造は、境界が正規交差因子Dであるコンパクト化を取り、対応する対数ド・ラーム複素数を書き下すことによって、任意の滑らかな複素多様体X上の混合ホッジ構造を定義するのに役立ちます。[2]

対数オブジェクトは、モジュライ空間の境界にあるオブジェクトとして、つまり退化から自然に現れます。

対数幾何学は、対数結晶コホモロジーの定義も可能にする。これは結晶コホモロジーの類似であり、必ずしも滑らかではなく、対数的に滑らかな多様体に対してのみ良好な挙動を示す。これはガロア表現、特に半安定ガロア表現 の理論に応用できる。

参照

  • ログジオメトリ
  • 半安定スキーム
  • 対数結晶コホモロジー

参考文献

  1. ^ アーサー・オーガス(2011). 対数代数幾何学講義.
  2. ^ Chris AM Peters; Joseph HM Steenbrink (2008). 混合ホッジ構造. Springer. ISBN 978-3-540-77015-2
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