論理アルファベット（X-stem Logic Alphabet、XLAとも呼ばれる）は、論理における16個の可能な二項真理関数を体系的に表す象徴的な記号集合である。論理アルファベットはShea Zellwegerによって開発された。[1]彼の象徴的な「論理アルファベット」の主な目的は、論理のためのより認知的かつ人間工学的な表記法を提供することである。Zellwegerの視覚的に象徴的なシステムは、ブール代数における16個の二項接続詞の根底にある対称関係と幾何学的特性を、初心者にも熟練者にもより容易に理解できるようにする。[2]
真理関数
真理値関数は、真理値の列から真理値への関数です。例えば、単項真理値関数は、単一の真理値を別の真理値にマッピングします。同様に、二項真理値関数は、真理値の順序付きペアを真理値にマッピングし、三項真理値関数は、真理値の順序付きトリプルを真理値にマッピングします。
単項の場合、入力としてTとF の2つが考えられ、したがって単項真理関数は4つあります。1つはTをTに、FをFにマッピングするもの、1つはTをFに、FをFにマッピングするもの、1つはTをTに、 FをTにマッピングするもの、そして最後にTをFに、FをTにマッピングするもので、この最後の関数は論理否定というよく知られた演算に対応します。表形式では、4つの単項真理関数は次のように表すことができます。
| p | p | F | T | ~ p |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | F |
| F | F | F | T | T |
二項の場合、入力は( T , T )、( T , F )、( F , T )、( F , F )の4つが考えられ、16個の二項真理関数が考えられます。一般に、各自然数nに対してn項真理関数が存在します。16個の二項真理関数は、以下の表に示されています。
| p | q | T | ナンド | → | pではない | ← | いいえ | ↔ | または | または | 排他的論理和 | q | いいえ ← | p | いいえ→ | そして | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F |
| T | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F |
| F | T | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T | T | T | T | T | F | F | F | F | F | F | F | F |
コンテンツ
ゼルウィガーの論理アルファベットは、16 個の 2 値真理関数をそれぞれ視覚的に体系的に表す方法を提供します。論理アルファベットの背後にある考え方は、まず 16 個の 2 値真理関数を、上の表で見られるようなより馴染みのある表形式ではなく、正方行列の形で表し、次にこれらの行列のそれぞれに文字の形状を割り当てるというものです。文字の形状は、行列内のTの分布から決まります。論理記号を描くときは、 F値が割り当てられた各マス目を通過しながら、 T値が割り当てられたマス目で停止します。極端な例では、トートロジーの記号は X (4 つのマス目すべてで停止) であり、矛盾の記号は O (停止せずにすべてのマス目を通過する) です。各 2 値真理関数に対応する正方行列と、それに対応する文字の形状を、下の表に示します。
| 慣習的なシンボル | マトリックス | ロジックアルファベットの形 |
|---|---|---|
| T |  |
|
| ナンド |  |
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| → |  |
|
| pではない |  |
|
| ← |  |
|
| いいえ |  |
|
| ↔ |  |
|
| または |  |
|
| または |  |
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| 排他的論理和 |  |
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| q |  |
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| いいえ ← |  |
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| p |  |
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| いいえ→ |  |
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| そして |  |
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| F |  |
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意義
論理アルファベットの面白さは、その美しさ、対称性、および幾何学的性質にあります。これらの性質を組み合わせることで、真理値表全体の関係を、より簡単に、素早く、視覚的に操作できるようになります。幾何学的性質を持つ 2 次元論理アルファベット接続子に対して論理演算を実行すると、対称変換が生成されます。対称変換が発生すると、各入力シンボルは、それ以上考えなくても、正しい出力シンボルに即座に変換されます。たとえば、NANDのシンボル (つまり 'h') を垂直軸全体で反転すると ← のシンボルが生成され、水平軸全体で反転すると→のシンボルが生成され、水平軸と垂直軸の両方全体で反転すると∨のシンボルが生成されます。同様の対称変換は、他のシンボルに対して演算することによっても得られます。
事実上、X-stem ロジックアルファベットは、(1) 数学、(2) 論理学、(3) 記号論という 3 つの分野が積み重ねられ、組み合わされて生まれたものです。これは、数学的記号論に合わせて、接続詞が対応する四角い枠の真理値表の象徴的なレプリカとして機能する幾何学的な文字の形でカスタムデザインされているためです。論理だけではこれを行うことはできません。論理は数学と記号論の間に挟まれています。実際、ゼルウィガーはこれらの対称性に基づいて、論理アルファベットの記号を含む興味深い構造を構築しました ([1] [2])。論理アルファベットのかなりの美的魅力により、ゼルウィガーの作品はロサンゼルスのジュラシックテクノロジー博物館など、さまざまな場所で展示されています。
論理アルファベットの価値は、従来の論理記法よりも視覚的にシンプルな教育ツールとして使用できる点にあります。論理アルファベットは、特に認知発達のより早い段階にある子供たちにとって、論理の基礎への導入を容易にします。現在使用されている論理記法はコンピュータ文化に深く根付いているため、現時点で論理学分野自体が「論理アルファベット」を採用し、その価値を認めるかどうかは疑問です。さらに、例えば自然演繹の体系では、一般的に各接続詞に対して導入規則と除去規則が必要となるため、16個の二項接続詞すべてを使用すると、非常に複雑な証明体系になってしまいます。16個の二項接続詞の様々なサブセット（例：{∨,&,→,~}, {∨,~}, {&, ~}, {→,~}）は、それ自体が機能的に完全であり、残りの接続詞を定義するのに十分です。実際、NANDとNORはどちらも単独で十分な演算子であるため、残りの接続詞はすべてどちらか一方のみで定義できます。とはいえ、論理アルファベットの2次元幾何学的文字形状と群対称性は、16個の2項接続詞すべての相互関係と演算に慣れることで、子供から大人まで、学習曲線を緩和するのに役立ちます。子供や学生にこの利点を与えることは、決定的なメリットです。
参照
参考文献
- ^ ルイス・カウフマン(2001). 「チャールズ・サンダース・パースの数学」(PDF) .サイバネティクスと人間の知. * ( 1– 2): V.
- ^ ゼルウィガー、クリスティン・ワートハイム、シェイ。「クリスタル・クリア：シェイ・ゼルウィガーへのインタビュー｜クリスティン・ワートハイムとシェイ・ゼルウィガー」cabinetmagazine.org 。 2024年4月11日閲覧。
外部リンク
- ゼルウィガーの論理アルファベット専用のページ
- 小さな美術館での展覧会：Flickrの写真ページ、ティルマン・ピースクとおそらくシェー・ゼルウィガーの対談も掲載
