ループ編組グループ

三次元グループ構造

ループ編組群は、理論物理学のいくつかのモデルで、3 次元の空間と時間内でのループ状のトポロジを持つ粒子の交換をモデル化するのに使用される数学的な群構造です。

n個のループからなるループ組紐群を生成する基本的な操作は、隣接する2つのループの交換と、隣接するループを別のループに通過させることである。位相はこれらの生成子にいくつかの関係を満たすことを強制し、それによって群が決定される。

正確には、n個のループ上のループ組紐群は、3 次元円板に微分同相なコンパクトな 3 次元「箱」に埋め込まれた n 個の互いに素な円の運動群として定義されます。運動とは、配置空間におけるループであり、 3 次元円板にn個の円を埋め込むすべての可能な方法から構成されます。これは、任意の空間のループが群になるのと同じ方法で群になります。まず、パス g と h が (滑らかな) ホモトピーで関連付けられている場合にのみ同値であるとすることで、ループの同値類を定義します。次に、パスの連結によって同値類に対する群演算を定義します。1962 年の博士論文で、David M. Dahm は、この群から n 個の生成元上の自由群の自己同型群への入射準同型が存在することを示し、したがって、この群を自己同型群のこの部分群と同一視するのが自然です。^[1] また、ループ編組群が溶接編組群と同型であることを示すことも可能であり、例えば、John C. Baez、Derek Wise、Alissa Cransによる論文では、Xiao-Song Linの研究を使ったループ編組群のいくつかの表現も示されています。^[2]

参照

ブレイドグループ

参考文献

^ ゴールドスミス、デボラ・L.（1981）、「運動群の理論」、ミシガン数学ジャーナル、28（1）：3–17、doi：10.1307/mmj/1029002454、MR 0600411。
^ Baez, John C. ; Wise, Derek K. ; Crans, Alissa S. (2007)、「4D BF理論における弦のエキゾチック統計」、Advances in Theoretical and Mathematical Physics、11 (5): 707– 749、arXiv : gr-qc/0603085、Bibcode :2006gr.qc.....3085B、doi :10.4310/atmp.2007.v11.n5.a1、MR 2362007 。

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[1] ゴールドスミス、デボラ・L.（1981）、「運動群の理論」、ミシガン数学ジャーナル、28（1）：3–17、doi：10.1307/mmj/1029002454、MR 0600411。

[2] Baez, John C. ; Wise, Derek K. ; Crans, Alissa S. (2007)、「4D BF理論における弦のエキゾチック統計」、Advances in Theoretical and Mathematical Physics、11 (5): 707– 749、arXiv : gr-qc/0603085、Bibcode :2006gr.qc.....3085B、doi :10.4310/atmp.2007.v11.n5.a1、MR 2362007 。