ローデンの不等式

確率論において、ローデンの不等式はランダム変数の停止和のオーバーシュートモーメントの境界であり、 1970年にゲイリー・ローデンによって初めて発表されました。^{[1]オーバーシュートは}再生理論において中心的な役割を果たしています。^[2]

不平等の声明

X ₁ , X ₂ , ... を独立かつ同一分布に従う正の確率変数とし、和 S n = X 1 + X 2 + ... + X n を定義する。S n_が 最初 に_与え られ た_値 b を_超えた時点を考え、その時点におけるR _b  =  S _n  −  bを計算する。R _bはbにおけるオーバーシュートまたは超過と呼ばれる。ローデンの不等式によれば、このオーバーシュートの期待値は次のように定義される^[2]。

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{b})\leq {\frac {\operatorname {E} (X^{2})}{\operatorname {E} (X)}}.}$

証拠

^{ローデン[1]} 、カールソンとナーマン^[3]、チャン^[4]による3つの証明が知られています。

参照

• ワルド方程式

参考文献

1. Lorden, G. (1970). 「境界超過について」.数理統計年報. 41 (2): 520– 527. doi : 10.1214/aoms/1177697092 . JSTOR  2239350.
2. Spouge, John L. (2007). 「異なる分布を持つ独立被加数の境界を超えるオーバーシュートに関する不等式」. Statistics & Probability Letters . 77 (14): 1486– 1489. doi :10.1016/j.spl.2007.02.013. PMC 2683021. PMID 19461943  . 
3. カールソン, ハッセ; ネルマン, オッレ (1986). 「ローデンの更新不等式の代替証明」.応用確率論の進歩. 18 (4). 応用確率トラスト: 1015–1016 . doi : 10.2307/1427260 . JSTOR  1427260. S2CID  124416862.
4. Chang, JT (1994). 「オーバーシュートの不等式」.応用確率年報. 4 (4): 1223. doi : 10.1214/aoap/1177004913 .