推定補題

複素解析において、推定補題はML不等式 （MLはMax×Lengthの略）とも呼ばれ、積分路の上限を与える。fがΓ上の複素数値連続関数であり、その絶対値| f ( z ) |が Γ上のすべてのzに対して定数Mで制限される場合、

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,l(\Gamma ),}$

ここでl (Γ)はΓの弧長である。特に、最大値をとる

${\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}$

上限として。直感的に、この補題は非常に簡単に理解できます。輪郭線を多数の小さな輪郭線分が連結されたものと考えると、各線分には最大値| f ( z ) |が存在します。そして、線分全体の最大値| f ( z ) |の中で、全体で最大のものが存在します。したがって、全体で最大の| f ( z ) | を経路全体にわたって合計すると、経路全体にわたるf ( z )の積分はそれ以下になります。

正式には、次のように、輪郭積分の定義、積分の絶対値不等式、および曲線の長さの公式を使用して、不等式が成り立つことが示されます。

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,l(\Gamma )}$

推定補題は、一般的には、等高線積分の手法の一部として用いられ、 | z |が無限大に近づくにつれて、等高線の一部における積分がゼロに近づくことを示すことを目的としています。このような場合の例を以下に示します。

例

輪郭Γ。

問題： 上限を求めよ

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|,}$

ここでΓは半径a >1の上半円| z | = aを反時計回りに1回横断したものです。

解答: まず積分経路の長さが半径aの円周の半分であることに注目してください。したがって

${\displaystyle l(\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a.}$

次に、 | z | = aのときの積分関数の上限Mを求める。三角不等式より、

${\displaystyle |z|^{2}=\left|z^{2}\right|=\left|z^{2}+1-1\right|\leq \left|z^{2}+1\right|+1,}$

したがって

${\displaystyle \left|z^{2}+1\right|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$

Γ上で| z | = a > 1となるため、

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

したがって、 M = ⁠の推定補題を適用する。1/（a ² − 1）²⁠。結果として得られる境界は

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

参照

• ジョーダンの補題

参考文献

• サフ, EB; スナイダー, AD (1993),数学、科学、工学のための複素解析の基礎(第2版), プレンティス・ホール, ISBN 978-0133274615。
• Howie, JM (2003),複素解析, Springer。