順列のホップ代数
代数学において、マルヴェヌート・ポワリエ・ロイテナウアー・ホップ代数（Malvenuto–Poirier–Reutenauer Hopf algebra of permutations ）またはMPRホップ代数 は、すべての有限対称群S nのすべての元を基底とするホップ代数であり、対称関数のホップ代数の非可換な類似体である。これは代数としては自由であり、次数付き余代数としては次数付き余自由であるため、ある意味では可換性や余可換性から可能な限り遠い。これはマルヴェヌートとロイテナウアー（Malvenuto & Reutenauer、1995年）によって導入され、ポワリエとロイテナウアー（Poirier & Reutenauer、1995年）によって研究された。
意味
MPR 代数の基礎となる自由アーベル群は、 n = 0, 1, 2, ....の対称群S nの互いに素な和集合からなる基底を持ち、これは順列として考えることができます。
恒等順列 1 は空順列であり、余単位順列は空順列を 1 に、その他を 0 にします。
MPRにおける2つの順列( a 1 ,..., a m )と( b 1 ,..., b n )の積は、シャッフル積 ( a 1 ,..., a m ) ш ( m + b 1 ,..., m + b n )で与えられます。
m点の順列aの余積はΣ a = b * c st( b ) ⊗ st( c )で与えられます。ここで、和はa ( m個の整数のシーケンスとして考えられます) を 2 つのシーケンスbとcの連結として 記述するm + 1 通りの方法であり、st( b ) はシーケンスbの要素が順序を維持しながら {1, 2, ..., n }の形式のセットになるように縮小された bの標準化です。
対蹠には無限の順序がある。
他の代数との関係
ホップ代数の置換は、対称関数、準対称関数、非可換対称関数の環（それぞれSym、QSym、NSymと表記）を、以下の可換図に示すように関連付けます。QSymとNSymの双対性は、この図の主対角線上に表示されます。
参考文献
- ハゼウィンケル, ミヒール; グバレニ, ナディア; キリチェンコ, VV (2010), 「代数、環、加群。リー代数とホップ代数」 , 数学概論・モノグラフ, 第168巻, プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学協会, ISBN 978-0-8218-5262-0、MR 2724822、Zbl 1211.16023
- マルヴェヌート、クラウディア；ロイテナウアー、クリストフ（1995）「準対称関数とソロモン降下代数の双対性」、J. Algebra、177（3）：967–982、doi：10.1006/jabr.1995.1336、MR 1358493
- ポワリエ、ステファン。ロイテナウアー、クリストフ (1995)、「Algèbres de Hopf de tabaux」、Ann。科学。数学。ケベック州、19 (1): 79–90、MR 1334836
