マッキー・アレンズ定理

マッキー・アレンズ定理は、関数解析における重要な定理であり、与えられた線型関数空間を連続双対空間として持つ局所 凸ベクトル位相を特徴づける。ナリシ（2011）によれば、この深遠なる結果は双対理論の中心的概念であり、この理論は「位相ベクトル空間の現代理論の中核を成す」ものである[1]。

前提条件

X をベクトル空間とし、YをX上の点を分離するXの代数的双対のベクトル部分空間とします。𝜏 がX上の他の局所凸ハウスドルフ位相ベクトル空間位相である場合、X が𝜏を備えているときに Y をその連続双対空間として持つとき、 𝜏はXとYの双対性と両立するということになります。 X に弱位相𝜎( X , Y )を与えると、X 𝜎( X , Y )はハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間(TVS) となり、𝜎( X , Y )はXとYの双対性(つまり)と両立します。ここで次の質問をすることができます。X上に配置でき、XとYの双対性と両立するすべての局所凸ハウスドルフ TVS 位相は何か? この質問の答えは Mackey–Arens の定理と呼ばれています。 X σ ( X , Y ) ′ = ( X σ ( X , Y ) ) ′ = Y {\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}^{\prime }=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)^{\prime }=Y}

マッキー・アレンズ定理

マッキー・アレンズ定理[2] —ベクトル空間XとX上の局所凸ハウスドルフ位相ベクトル空間位相 𝒯 とする。X ' をXの連続双対空間とし、X を位相 𝒯 で表す。このとき、以下の式は同値である。 X T {\displaystyle X_{\mathcal {T}}}

  1. 𝒯 はX上の -位相と同一であり、ここで は< X 'の被覆であり、凸でバランスのとれたσ( X ' , X ) -コンパクト集合から成り、次の性質を持つ。 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }} G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}
    1. ならば、が存在する。 G 1 ′ , G 2 ′ ∈ G ′ {\displaystyle G_{1}^{\prime },G_{2}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} G ′ ∈ G ′ {\displaystyle G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} G 1 ′ ∪ G 2 ′ ⊆ G ′ {\displaystyle G_{1}^{\prime }\cup G_{2}^{\prime }\subseteq G^{\prime }}
    2. およびがスカラーである場合、となる が存在します。 G 1 ′ ∈ G ′ {\displaystyle G_{1}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} λ {\displaystyle \lambda } G ′ ∈ G ′ {\displaystyle G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }} λ G 1 ′ ⊆ G ′ {\displaystyle \lambda G_{1}^{\prime }\subseteq G^{\prime }}
  2. の連続双対はX 'と同一です。 X T {\displaystyle X_{\mathcal {T}}}

さらに、

  1. 位相𝒯はε( X , X ' )位相、つまりX 'の等連続部分集合への収束に関して一様である位相と同一である。
  2. マッキー位相τ( X , X ' )は、 XとXの双対性と両立するX上の最も微細な局所凸ハウスドルフTVS位相であり、 X T ′ {\displaystyle X_{\mathcal {T}}^{\prime }}
  3. 弱位相σ( X , X ' )は、 Xとの双対性と互換性のある、X上の最も粗い局所凸ハウスドルフ TVS 位相です。 X T ′ {\displaystyle X_{\mathcal {T}}^{\prime }}

参照

参考文献

  1. ^ シェーファー＆ウォルフ 1999、122ページ。
  2. ^ Treves 2006、196、368–370。

出典

  • ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
  • ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
  • トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
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