マダヴァの補正項は、 ケーララ学派の天文学と数学の創始者である サンガマグラマのマダヴァ （1340年頃 - 1425年頃） に帰属する数式であり、 π の マダヴァ・ライプニッツ無限級数 を切り捨てることによって得られる部分和近似よりも、数学定数 π （ 円周率 ）の値をより良く近似するために使用できます 。πのマダヴァ・ライプニッツ無限 級数 は
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }
最初の項の部分和をとると、 π の近似値は次のようになります 。
n
{\displaystyle n}
π
4
≈
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
1
2
n
−
1
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}}
Madhava補正項を と表記すると、 π のより良い近似値が次のように得られます 。
F
(
n
)
{\displaystyle F(n)}
π
4
≈
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
1
2
n
−
1
+
(
−
1
)
n
F
(
n
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F(n)}
マダヴァは の可能な値として3つの異なる表現を挙げている 。
F
(
n
)
{\displaystyle F(n)}
F
1
(
n
)
=
1
4
n
{\displaystyle F_{1}(n)={\frac {1}{4n}}}
F
2
(
n
)
=
n
4
n
2
+
1
{\displaystyle F_{2}(n)={\frac {n}{4n^{2}+1}}}
F
3
(
n
)
=
n
2
+
1
4
n
3
+
5
n
{\displaystyle F_{3}(n)={\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}
ケーララ学派の数学者たちの現存する著作には、補正項 とがどのように 得られたかについての記述はいくつかあるが、式がどのように 得られたかについては何も示されていない。そのため、これらの公式がどのように導かれたのかをめぐって多くの推測研究が行われている。
F
1
(
n
)
{\displaystyle F_{1}(n)}
F
2
(
n
)
{\displaystyle F_{2}(n)}
F
3
(
n
)
{\displaystyle F_{3}(n)}
ケーララ州のテキストに記載されている訂正用語 および の表現は 、1530年頃にケララ学派のインド天文学者ジェスタデーヴァが著した数学と天文学に関する主要な論文である ユクティバーシャ に明示的に与えられているが、 の表現は 、 の導出につながる議論のステップとしてのみそこに登場している 。 [1] [2]
F
2
(
n
)
{\displaystyle F_{2}(n)}
F
3
(
n
)
{\displaystyle F_{3}(n)}
F
1
(
n
)
{\displaystyle F_{1}(n)}
F
2
(
n
)
{\displaystyle F_{2}(n)}
1501年に完成したケーララ学派の天文学者・数学者であるニラカンタ・ソマヤジ によって書かれた論文『 タントラサングラハ』 のユクティディピカ・ラグヴィヴァルティ注釈 で は 、次の詩節（第2章：詩節271-274）で2番目の訂正用語が提示されています。 [3] [1]
詩の英語訳： [3]
直径の4倍に、4倍した値を3、5などの奇数でそれぞれ割り、それを交互に足し引きします。このプロセスが終わる奇数、つまり直径の4倍に次の偶数を掛け、それを半分にし、その偶数の2乗に1を加えた値で割ります。その結果は、最後の項の減算または加算に応じて加算または減算されます。これにより、同じプロセスを続けるよりも正確な円周が得られます。 現代の表記法では、これは次のように表すことができます (ここで は円の直径です)。
d
{\displaystyle d}
周
=
4
d
−
4
d
3
+
4
d
5
−
⋯
±
4
d
p
∓
4
d
(
p
+
1
)
/
2
1
+
(
p
+
1
)
2
{\displaystyle =4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4d\left(p+1\right)/2}{1+(p+1)^{2}}}}
と設定すると 、上記の式の右辺の最後の項は に簡約されます 。
p
=
2
n
−
1
{\displaystyle p=2n-1}
4
d
F
2
(
n
)
{\displaystyle 4dF_{2}(n)}
同じ解説書では、 次の節（第2章295～296節）でも訂正用語が示されています。
F
3
(
n
)
{\displaystyle F_{3}(n)}
詩の英語訳： [3]
より巧妙な方法ですが、もう一つ修正が必要です。直径の4倍を3、5などの奇数で割る最初の手順はそのままに、次に、直径の4倍に1を掛け、次の偶数を半分にして2乗したものを足し、さらに前の乗数の4倍に1を足したもので割り、さらに偶数を半分にして2乗したものを足し、さらにその前の乗数に1を掛けたもので割り、さらにその前の乗数に4倍したものを足し、さらにその偶数を半分にして2乗したものを足し、さらにその前の乗数に1を掛けたもので割ります。 現代の表記法では、次のように表現できます。
Circumference
=
4
d
−
4
d
3
+
4
d
5
−
⋯
±
4
d
p
∓
4
d
m
(
1
+
4
m
)
(
p
+
1
)
/
2
,
{\displaystyle {\text{Circumference}}=4d-{\frac {4d}{3}}+{\frac {4d}{5}}-\cdots \pm {\frac {4d}{p}}\mp {\frac {4dm}{\left(1+4m\right)(p+1)/2}},}
ここで、「乗数」を と設定すると 、上記の式の右側の最後の項は に簡約されます 。
m
=
1
+
(
(
p
+
1
)
/
2
)
2
.
{\textstyle m=1+\left((p+1)/2\right)^{2}.}
p
=
2
n
−
1
{\displaystyle p=2n-1}
4
d
F
3
(
n
)
{\displaystyle 4dF_{3}(n)}
補正用語の正確さ とします
s
i
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
1
2
n
−
1
+
(
−
1
)
n
F
i
(
n
)
{\displaystyle s_{i}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}+(-1)^{n}F_{i}(n)}
。 と書くと 、誤差の 範囲は次のようになります。 [2] [4]
p
=
2
n
+
1
{\displaystyle p=2n+1}
|
π
4
−
s
i
(
n
)
|
{\displaystyle \left|{\frac {\pi }{4}}-s_{i}(n)\right|}
1
p
3
−
p
−
1
(
p
+
2
)
3
−
(
p
+
2
)
<
|
π
4
−
s
1
(
n
)
|
<
1
p
3
−
p
,
4
p
5
+
4
p
−
4
(
p
+
2
)
5
+
4
(
p
+
2
)
<
|
π
4
−
s
2
(
n
)
|
<
4
p
5
+
4
p
,
36
p
7
+
7
p
5
+
28
p
3
−
36
p
−
36
(
p
+
2
)
7
+
7
(
p
+
2
)
5
+
28
(
p
+
2
)
3
−
36
(
p
+
2
)
⋯
4
p
5
+
4
p
−
4
(
p
+
2
)
5
+
4
(
p
+
2
)
<
|
π
4
−
s
3
(
n
)
|
<
36
p
7
+
7
p
5
+
28
p
3
−
36
p
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}{\frac {1}{p^{3}-p}}-{\frac {1}{(p+2)^{3}-(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{1}(n)\right|<{\frac {1}{p^{3}-p}},\\[10mu]{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{2}(n)\right|<{\frac {4}{p^{5}+4p}},\end{aligned}}\\[20mu]&{\begin{aligned}&{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}-{\frac {36}{(p+2)^{7}+7(p+2)^{5}+28(p+2)^{3}-36(p+2)}}\cdots \\[10mu]&{\phantom {{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}}}<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{3}(n)\right|<{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}.\end{aligned}}\end{aligned}}}
計算における誤差の数値 π π の値を計算する際にこれらの近似値を使用する際の誤差 は
E
(
n
)
=
π
−
4
(
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
1
2
n
−
1
)
{\displaystyle E(n)=\pi -4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}\right)}
E
i
(
n
)
=
E
(
n
)
−
4
×
(
−
1
)
n
F
i
(
n
)
{\displaystyle E_{i}(n)=E(n)-4\times (-1)^{n}F_{i}(n)}
次の表は、 のいくつかの選択された値に対するこれらの誤差の値を示しています 。
n
{\displaystyle n}
π の値を計算するために 近似値を使用する際の誤差
F
1
(
n
)
,
F
2
(
n
)
,
F
3
(
n
)
{\displaystyle F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)}
n
{\displaystyle n}
E
(
n
)
{\displaystyle E(n)}
E
1
(
n
)
{\displaystyle E_{1}(n)}
E
2
(
n
)
{\displaystyle E_{2}(n)}
E
3
(
n
)
{\displaystyle E_{3}(n)}
11
−
9.07
×
10
−
2
{\displaystyle -9.07\times 10^{-2}}
1.86
×
10
−
4
{\displaystyle 1.86\times 10^{-4}}
−
1.51
×
10
−
6
{\displaystyle -1.51\times 10^{-6}}
2.69
×
10
−
8
{\displaystyle 2.69\times 10^{-8}}
21
−
4.76
×
10
−
2
{\displaystyle -4.76\times 10^{-2}}
2.69
×
10
−
5
{\displaystyle 2.69\times 10^{-5}}
−
6.07
×
10
−
8
{\displaystyle -6.07\times 10^{-8}}
3.06
×
10
−
10
{\displaystyle 3.06\times 10^{-10}}
51
−
1.96
×
10
−
2
{\displaystyle -1.96\times 10^{-2}}
1.88
×
10
−
6
{\displaystyle 1.88\times 10^{-6}}
−
7.24
×
10
−
10
{\displaystyle -7.24\times 10^{-10}}
6.24
×
10
−
13
{\displaystyle 6.24\times 10^{-13}}
101
−
9.90
×
10
−
3
{\displaystyle -9.90\times 10^{-3}}
2.43
×
10
−
7
{\displaystyle 2.43\times 10^{-7}}
−
2.38
×
10
−
11
{\displaystyle -2.38\times 10^{-11}}
5.33
×
10
−
15
{\displaystyle 5.33\times 10^{-15}}
151
−
6.62
×
10
−
3
{\displaystyle -6.62\times 10^{-3}}
7.26
×
10
−
8
{\displaystyle 7.26\times 10^{-8}}
−
3.18
×
10
−
12
{\displaystyle -3.18\times 10^{-12}}
≈
1
×
10
−
16
{\displaystyle \approx 1\times 10^{-16}}
補正項の連分数表現 補正項は次 の連分数 式の最初の3つの収束項であることが指摘されている 。 [3]
F
1
(
n
)
,
F
2
(
n
)
,
F
3
(
n
)
{\displaystyle F_{1}(n),F_{2}(n),F_{3}(n)}
1
4
n
+
1
n
+
1
n
+
⋯
{\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\cdots }}}}}}}
1
4
n
+
1
2
n
+
2
2
4
n
+
3
2
n
+
⋯
⋯
+
r
2
n
[
4
−
3
(
r
mod
2
)
]
+
⋯
=
1
4
n
+
2
2
4
n
+
4
2
4
n
+
6
2
4
n
+
8
2
4
n
+
⋯
{\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {r^{2}}{n[4-3(r{\bmod {2}})]+\cdots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}
方程式をレンダリングする
関数
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
⋯
±
1
n
∓
f
(
n
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots \pm {\frac {1}{n}}\mp f(n+1)}
正確な表現は次のようになります: [1]
f
(
n
)
=
1
2
×
1
n
+
1
2
n
+
2
2
n
+
3
2
n
+
⋯
{\displaystyle f(n)={\frac {1}{2}}\times {\cfrac {1}{n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{n+{\cfrac {3^{2}}{n+\cdots }}}}}}}}}
この無限連分数の最初の3つの収束項は、まさにマダヴァの補正項である。また、この関数は 以下の性質を持つ。
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
f
(
2
n
)
=
1
4
n
+
2
2
4
n
+
4
2
4
n
+
6
2
4
n
+
8
2
4
n
+
⋯
{\displaystyle f(2n)={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}}
林による推測的導出 ら 1990年に発表された論文で、3人の日本人研究者グループは、マダヴァが3つの補正項を得たであろう独創的な方法を提案しました。彼らの提案は、2つの仮定に基づいていました。マダヴァは π の値としてを使用し 、除算には ユークリッドの互除法 を使用しました。 [5] [6]
355
/
113
{\displaystyle 355/113}
書き方
S
(
n
)
=
|
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
2
n
−
1
−
π
4
|
{\displaystyle S(n)=\left|1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}-{\frac {\pi }{4}}\right|}
計算した値を 分子が1である分数として表し、最後に分母の小数部を無視して近似値を取得します
π
=
355
/
113
,
{\displaystyle \pi =355/113,}
S
(
n
)
,
{\displaystyle S(n),}
S
(
1
)
=
97
452
=
1
4
+
64
97
≈
1
4
,
S
(
2
)
=
161
1356
=
1
8
+
68
161
≈
1
8
,
S
(
3
)
=
551
6780
=
1
12
+
168
551
≈
1
12
,
S
(
4
)
=
2923
47460
=
1
16
+
692
2923
≈
1
16
,
S
(
5
)
=
21153
427140
=
1
20
+
4080
21153
≈
1
20
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}S(1)&=\ \ \,{\frac {97}{452}}&&=\ \ \ {\frac {1}{4+{\frac {64}{97}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]S(2)&=\ \ {\frac {161}{1356}}&&=\ \ \,{\frac {1}{8+{\frac {68}{161}}}}&&\approx {\frac {1}{8}},\\[6mu]S(3)&=\ \ {\frac {551}{6780}}&&=\ \,{\frac {1}{12+{\frac {168}{551}}}}&&\approx {\frac {1}{12}},\\[6mu]S(4)&=\ {\frac {2923}{47460}}&&=\ {\frac {1}{16+{\frac {692}{2923}}}}&&\approx {\frac {1}{16}},\\[6mu]S(5)&={\frac {21153}{427140}}&&={\frac {1}{20+{\frac {4080}{21153}}}}&&\approx {\frac {1}{20}}.\end{alignedat}}}
これは、前に説明した補正項 に対応する次の最初の近似値を示唆しています 。
S
(
n
)
{\displaystyle S(n)}
F
1
(
n
)
{\displaystyle F_{1}(n)}
S
(
n
)
≈
1
4
n
{\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n}}}
無視された分数は、分子を1とし、分母の小数部を無視して次の近似値を求めることができます。これには以下の2つの手順があります。
64
97
=
1
1
+
33
64
≈
1
1
,
33
64
=
1
1
+
31
33
≈
1
1
,
68
161
=
1
2
+
25
68
≈
1
2
,
25
68
=
1
2
+
18
25
≈
1
2
,
168
551
=
1
3
+
47
168
≈
1
3
,
47
168
=
1
3
+
27
47
≈
1
3
,
692
2923
=
1
4
+
155
692
≈
1
4
,
155
692
=
1
4
+
72
155
≈
1
4
,
4080
21153
=
1
5
+
753
4080
≈
1
5
,
753
4080
=
1
5
+
315
753
≈
1
5
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {64}{97}}&=\ \,{\frac {1}{1+{\frac {33}{64}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},&{\frac {33}{64}}&=\,{\frac {1}{1+{\frac {31}{33}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},\\[6mu]{\frac {68}{161}}&=\ \,{\frac {1}{2+{\frac {25}{68}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},&{\frac {25}{68}}&=\,{\frac {1}{2+{\frac {18}{25}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},\\[6mu]{\frac {168}{551}}&=\ {\frac {1}{3+{\frac {47}{168}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},&{\frac {47}{168}}&=\,{\frac {1}{3+{\frac {27}{47}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},\\[6mu]{\frac {692}{2923}}&={\frac {1}{4+{\frac {155}{692}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},&{\frac {155}{692}}&={\frac {1}{4+{\frac {72}{155}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]{\frac {4080}{21153}}&={\frac {1}{5+{\frac {753}{4080}}}}&&\approx {\frac {1}{5}},&\quad {\frac {753}{4080}}&={\frac {1}{5+{\frac {315}{753}}}}&&\approx {\frac {1}{5}}.\end{alignedat}}}
これにより、次の2つの近似値は 補正項と全く同じになる。
S
(
n
)
,
{\displaystyle S(n),}
F
2
(
n
)
,
{\displaystyle F_{2}(n),}
S
(
n
)
≈
1
4
n
+
1
n
=
n
4
n
2
+
1
,
{\displaystyle S(n)\approx {\frac {1}{4n+{\dfrac {1}{n}}}}={\frac {n}{4n^{2}+1}},}
そして
F
3
(
n
)
,
{\displaystyle F_{3}(n),}
S
(
n
)
≈
1
4
n
+
1
n
+
1
n
=
n
2
+
1
n
(
4
n
2
+
5
)
,
{\displaystyle S(n)\approx {\dfrac {1}{4n+{\dfrac {1}{n+{\dfrac {1}{n}}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n(4n^{2}+5)}},}
マダヴァに帰属する。
参照
参考文献
^ abc CT Rajagopal & MS Rangachari (1978). 「中世ケララ数学の未開拓の源泉について」. 正確科学史アーカイブ . 18 (2): 89– 102. doi :10.1007/BF00348142. S2CID 51861422 ^ ab KV Sarma、K. Ramasubrahmanyan、MD Srinivas、MS Sriramによる英語解説付き (2008). Ganita-Yukti-Bhasha of Jyeshthadeva. Volume I – Mathematics . New Delhi: Hindustan Book Agency. pp. 201– 207. ISBN 978-81-85931-81-4 。 {{cite book }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ abcd CK Raju (2007). インド文明における科学、哲学、文化史 DP Chattopadhyaya 編集長 第10巻 第4部 数学の文化的基礎：数学的証明の性質と16世紀におけるインドからヨーロッパへの微積分の伝播 ニューデリー：文明研究センターおよびDorling Kindersley（インド）Pvt Ltd. pp. 173– 174. ISBN 978-81-317-0871-2 。 ^ ランジャン・ロイ (2011). 『15世紀から21世紀にかけての数学の発展における無限級数と積の源泉』 ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. 5ページ. ISBN 978-0-521-11470-7 。 ^ 林 剛志、楠葉 剛志、矢野 正之 (1990). 「円周に対するマダヴァ級数の補正」 Cenluurus ( 33): 149–174 ^ ジョージ・ゲヴァルギース・ジョセフ (2009). 『無限への道：ケーララ州の中世インド数学とその影響 』 ニューデリー: SAGE Publications India Pvt Ltd. pp. 132– 133. ISBN 978-81-321-0168-0 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}{\frac {1}{p^{3}-p}}-{\frac {1}{(p+2)^{3}-(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{1}(n)\right|<{\frac {1}{p^{3}-p}},\\[10mu]{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}&<\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{2}(n)\right|<{\frac {4}{p^{5}+4p}},\end{aligned}}\\[20mu]&{\begin{aligned}&{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}-{\frac {36}{(p+2)^{7}+7(p+2)^{5}+28(p+2)^{3}-36(p+2)}}\cdots \\[10mu]&{\phantom {{\frac {4}{p^{5}+4p}}-{\frac {4}{(p+2)^{5}+4(p+2)}}}\left|{\frac {\pi }{4}}-s_{3}(n)\right|<{\frac {36}{p^{7}+7p^{5}+28p^{3}-36p}}.\end{aligned}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3209ce7108dc0dc2434c27fe6de8587da7700e)
![{\displaystyle {\cfrac {1}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {r^{2}}{n[4-3(r{\bmod {2}})]+\cdots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {1}{4n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {4^{2}}{4n+{\cfrac {6^{2}}{4n+{\cfrac {8^{2}}{4n+\cdots }}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3fa67d4fe78143c4c33bc7c55e952c1c600af5)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}S(1)&=\ \ \,{\frac {97}{452}}&&=\ \ \ {\frac {1}{4+{\frac {64}{97}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]S(2)&=\ \ {\frac {161}{1356}}&&=\ \ \,{\frac {1}{8+{\frac {68}{161}}}}&&\approx {\frac {1}{8}},\\[6mu]S(3)&=\ \ {\frac {551}{6780}}&&=\ \,{\frac {1}{12+{\frac {168}{551}}}}&&\approx {\frac {1}{12}},\\[6mu]S(4)&=\ {\frac {2923}{47460}}&&=\ {\frac {1}{16+{\frac {692}{2923}}}}&&\approx {\frac {1}{16}},\\[6mu]S(5)&={\frac {21153}{427140}}&&={\frac {1}{20+{\frac {4080}{21153}}}}&&\approx {\frac {1}{20}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fbd6561d4b7fa2ce6bb1ff9ad14498c57107de)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {64}{97}}&=\ \,{\frac {1}{1+{\frac {33}{64}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},&{\frac {33}{64}}&=\,{\frac {1}{1+{\frac {31}{33}}}}&&\approx {\frac {1}{1}},\\[6mu]{\frac {68}{161}}&=\ \,{\frac {1}{2+{\frac {25}{68}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},&{\frac {25}{68}}&=\,{\frac {1}{2+{\frac {18}{25}}}}&&\approx {\frac {1}{2}},\\[6mu]{\frac {168}{551}}&=\ {\frac {1}{3+{\frac {47}{168}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},&{\frac {47}{168}}&=\,{\frac {1}{3+{\frac {27}{47}}}}&&\approx {\frac {1}{3}},\\[6mu]{\frac {692}{2923}}&={\frac {1}{4+{\frac {155}{692}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},&{\frac {155}{692}}&={\frac {1}{4+{\frac {72}{155}}}}&&\approx {\frac {1}{4}},\\[6mu]{\frac {4080}{21153}}&={\frac {1}{5+{\frac {753}{4080}}}}&&\approx {\frac {1}{5}},&\quad {\frac {753}{4080}}&={\frac {1}{5+{\frac {315}{753}}}}&&\approx {\frac {1}{5}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de52d69cacd6e9cf3f64ae7811d5cc6d33e69337)
