マハラム代数

数学において、マハラム代数（Maharam algebra）は、連続部分測度（下記で定義）を持つ完全ブール代数である。1947年にドロシー・マハラムによって導入された。^{[ 1 ]}

定義

ブール代数上の連続部分測度またはマハラム部分測度は、実数値関数mであって、

• ${\displaystyle m(0)=0,m(1)=1,}$ そして、もし.${\displaystyle m(x)>0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$
• もし なら、。${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle m(x)\leq m(y)}$
• ${\displaystyle m(x\vee y)\leq m(x)+m(y)-m(x\wedge y)}$ 。
• が最大下限 0 を持つ減少シーケンスである場合、シーケンスの制限は 0になります 。${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle m(x_{n})}$

マハラム代数は、連続した部分測度を持つ 完全なブール代数です。

例

すべての確率測度は連続的な部分測度であるため、測度ゼロ集合を法とする測定可能な集合の対応するブール代数は完全であり、それはマハラム代数です。

ミシェル・タラグランは、測度代数ではない、つまり、可算加法的に正の有限測度を許容しないマハラム代数を構築することで、長年の課題を解決しました。 ^{[ 2 ]}

参考文献

1. マハラム、ドロシー（1947年1月）「測度代数の代数的特徴づけ」『数学年報』48 (1):154. doi : 10.2307/1969222 .
2. Talagrand, Michel (2008-11-01). 「Maharamの問題」 . Annals of Mathematics . 168 (3): 981–1009 . doi : 10.4007/annals.2008.168.981 . ISSN 0003-486X . 

さらに読む

• バルカル、ボフスラフ；ジェフ、トーマス（2006）「弱い分配性、フォン・ノイマンの問題と測定可能性の謎」、記号論理学会誌、12（2）：241-266、doi：10.2178/bsl/1146620061、MR  2223923、Zbl  1120.03028
• ヴェリコビッチ、ボバン（2005）、「CCCフォーシングと実数の分割」、イスラエル数学ジャーナル、147：209-220、doi：10.1007/BF02785365、MR  2166361、Zbl  1118.03046