マイヤーの定理

素数に関する定理

数論において、マイヤーの定理は、クラメールの素数の確率モデルが誤った答えを出す短い間隔内の素数の個数に関する、ヘルムート・マイヤーによる定理である。

定理は（Maier 1985）、πが素数関数でλ > 1 ならば、

{\frac {\pi (x+(\log x)^{\lambda })-\pi (x)}{(\log x)^{\lambda -1}}}

x が無限大に近づくにつれて極限は存在しません。より正確には、上側の極限は 1 より大きく、下側の極限は 1 より小さくなります。素数のクラメールモデルは、λ ≥ 2 のときに極限が 1 であると誤って予測します (ボレル–カンテリの補題を使用)。

証明

マイヤーは、準素数（素因数がより小さく、固定された数の集合）の計数関数に対するブッフスタブの等価関数を用いて、この定理を証明した。また、十分な長さを持つ等差数列における素数の個数に対する等価関数として、ギャラガーの定理を用いた。 $z=x^{1/u}$ $u$

ピンツ（2007）は別の証明を与え、素数の確率モデルのほとんどは平均二乗誤差を誤って予測することを示した。

\int _{2}^{Y}\left(\sum _{2<p\leq x}\log p-\sum _{2<n\leq x}1\right)^{2}\,dx

素数定理の1つのバージョン。

マイヤー、ヘルムート（1985）「短区間の素数」、ミシガン数学ジャーナル、32（2）：221–225、doi：10.1307/mmj/1029003189、ISSN 0026-2285、MR 0783576、Zbl 0569.10023
Pintz、János (2007)、「Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes」、Functiones et Expectimatio Commentarii Mathematici、37 : 361–376、doi : 10.7169/facm/1229619660、ISSN 0208-6573、MR 2363833、Zbl 1226.11096
Soundararajan, K. (2007)、「素数の分布」、Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (編)、『数論における等分布入門』。NATO高等研究所数論における等分布に関する議事録、カナダ、モントリオール、2005年7月11日～22日、NATO科学シリーズII：数学、物理学、化学、第237巻、ドルドレヒト：Springer-Verlag、pp. 59-83、ISBN 978-1-4020-5403-7、Zbl 1141.11043