マリアヴァンの絶対連続性補題

数学、特に測度論において、マリアヴァンの絶対連続性補題はフランスの数学者ポール・マリアヴァンによって提唱された結果であり、マリアヴァン計算の正則性（滑らかさ）定理において基礎的な役割を果たしている。マリアヴァンの補題は、有限ボレル測度がルベーグ測度に関して絶対連続であるための十分条件を与える。

補題の記述

μ をn次元ユークリッド空間R ⁿ上の有限ボレル測度とする。任意のx  ∈  R ⁿに対して、定数C  =  C ( x ) が存在し、

${\displaystyle \left|\int _{\mathbf {R} ^{n}}\mathrm {D} \varphi (y)(x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq C(x)\|\varphi \|_{\infty }}$

任意のC ^∞関数φ  :  R ⁿ  →  Rに対して、コンパクト台が成り立つ。すると、μ はR ⁿ上のn次元ルベーグ測度λ ⁿに関して絶対連続となる。ここで、 D φ ( y ) はφのyにおけるフレシェ微分、 || φ || _∞はφの上限ノルムを表す。

参考文献

• ベル、デニス・R. (2006). 『マリアヴァン計算』 ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications Inc. pp. x+113. ISBN 0-486-44994-7。MR  2250060（セクション1.3を参照）
• ポール・マリアヴィン(1978). 「確率変分法と準楕円作用素」.確率微分方程式に関する国際シンポジウム講演論文集 (京都大学理学部数学科研究所, 京都, 1976) . ニューヨーク: Wiley. pp.  195– 263.MR  0536013