マンデルボックス

「スケール2」のマンデルボックス

「スケール3」のマンデルボックス

「スケール-1.5」マンデルボックス

数学において、マンデルボックスは、2010年にトム・ロウによって発見された箱のような形状のフラクタルです。これは、有名なマンデルブロ集合と同様に、特定の幾何学的変換の反復において原点が無限大に逃げないようなパラメータの値として定義されます。マンデルボックスは連続したジュリア集合の写像として定義されますが、マンデルブロ集合とは異なり、任意の次元数で定義できます。^[1]通常、説明のために3次元で描かれます。^{[2] [3]}

簡単な定義

マンデルボックスの簡単な定義は次のとおりです。次の規則に従って ベクトルzを繰り返し変換します。

1. まず、zの各コンポーネントc (次元に対応) について、cが 1 より大きい場合は 2 から引きます。cが-1 より小さい場合は -2 から引きます。
2. 次に、ベクトルの大きさに応じて、いくつかの固定値と指定されたスケール係数を使用してベクトルの大きさを変更します。

世代

反復はベクトルzに次のように適用されます。^{[説明が必要]}

関数iterate( z ):
     zの各要素について:
        要素 > 1 の場合: 
            成分 := 2 - 成分
        それ以外の場合、コンポーネント < -1 の場合:
            成分 := -2 - 成分

    zの大きさ< 0.5
        の場合: z  := z * 4
    そうでない場合、 zの大きさ< 1
        の場合: z  := z / ( zの大きさ)^2
   
    z  :=スケール* z + c

ここでcはテストされる定数であり、scaleは実数である。^[3]

プロパティ

マンデルボックスの注目すべき特性は、特にスケール-1.5の場合、多くのよく知られたフラクタルの近似値を内部に含んでいることです。^{[4] [5] [6]}

マンデルボックスは固体コアを含むため、フラクタル次元は3、あるいはn次元に一般化した場合はnとなる。^[7]${\displaystyle 1<|{\text{scale}}|<2}$

マンデルボックスの辺の長さは4で、マンデルボックスの辺の長さは である。^[7]${\displaystyle {\text{scale}-1}$ ${\displaystyle 1<{\text{scale}}\leq 4{\sqrt {n}}+1}$ ${\displaystyle 4\cdot {\frac {{\text{scale}}+1}{{\text{scale}}-1}}}$

参照

• マンデルバルブ
• ブッダブロット
• リヒテンベルク図

参考文献

1. トム・ロウ「マンデルボックスとは何か？」2016年10月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年11月15日閲覧。
2. ロウ、トーマス (2021). スケール対称性の探究. 数学、科学、芸術におけるフラクタルとダイナミクス：理論と応用. 第6巻. World Scientific. doi :10.1142/11219. ISBN 978-981-3278-55-4. S2CID  224939666。
3. Leys, Jos (2010年5月27日). 「Mandelbox. Images des Mathématiques」（フランス語）.フランス国立科学研究センター. 2019年12月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年12月18日閲覧。
4. 「負の1.5マンデルボックス – マンデルボックス」。sites.google.com。
5. 「More negatives – Mandelbox」. sites.google.com .
6. “Patterns of Visual Math – Mandelbox, tglad, Amazing Box”. 2011年2月13日. オリジナルより2011年2月13日時点のアーカイブ。
7. チェン、ルディ.「マンデルボックス集合」.

外部リンク

• ギャラリーと説明
• マンデルボックスキューブの画像 2010年7月6日アーカイブ - Wayback Machine
• ビデオ：マンデルボックスキューブを拡大