マーカムQ関数

統計学では、一般化された マーカムQ関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)={\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{b}^{\infty }x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx}$

ここで、およびは次数の第一種修正ベッセル関数である。 のとき、積分は任意の に対して収束する。マーカムQ関数は、非心カイ分布、非心カイ二乗分布、およびライス分布の相補累積分布関数として現れる。工学においては、この関数はレーダーシステム、通信システム、待ち行列システム、および信号処理の研究に用いられる。この関数は、パルスレーダーのジェス・マーカムによって初めて研究され、その名にちなんでマーカムと名付けられた^{[1] 。}${\displaystyle b\geq 0}$ ${\displaystyle a,\nu >0}$ ${\displaystyle I_{\nu -1}}$ ${\displaystyle \nu -1}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \nu =1}$

プロパティ

有限積分表現

という事実を用いて、一般化されたマーカムQ関数は次のように有限積分として定義することもできる。 ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-{\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{0}^{b}x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx.}$

しかし、マーカムQ関数の積分表現は、(i)積分の極限が関数の引数に依存しないこと、(ii)極限が有限であること、(iii)被積分関数がこれらの引数のガウス関数となることなどが好ましい。の正の整数値に対して、このような表現は三角積分^{[2] [3]}で与えられる。${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{n}(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{n}(a,a)&a=b,\\1+H_{n}(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

どこ

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\frac {\zeta ^{1-n}}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos(n-1)\theta -\zeta \cos n\theta }{1-2\zeta \cos \theta +\zeta ^{2}}}\exp(ab\cos \theta )\mathrm {d} \theta ,}$

そしてその比率は定数です。 ${\displaystyle \zeta =a/b}$

任意の実数に対して、そのような有限三角積分は^[4]で与えられる。${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{\nu }(a,a)+C_{\nu }(a,b)&a=b,\\1+H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a>b,\end{array}}\right.}$

ここで、は前に定義したとおりであり、追加の補正項は次のように与えられる。 ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle \zeta =a/b}$

${\displaystyle C_{\nu }(a,b)={\frac {\sin(\nu \pi )}{\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{1}{\frac {(x/\zeta )^{\nu -1}}{\zeta +x}}\exp \left[-{\frac {ab}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]\mathrm {d} x.}$

の整数値の場合、補正項は消える傾向があります。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle C_{\nu }(a,b)}$

単調性と対数凹性

• 一般化されたマーカムQ関数は、すべてのおよびに対しておよびで厳密に増加し、すべてのおよびに対して で厳密に減少します^[5]。${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle b,\nu >0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b\geq 0}$ ${\displaystyle \nu >0.}$
• この関数は、すべての^[5]に対して対数凹関数である。${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle a,b\geq 0.}$
• 関数は、すべてのおよびに対して厳密に対数凹関数であり、これは一般化されたMarcum Q関数が新しいものが中古品よりも優れているという性質を満たすことを意味する。^[6]${\displaystyle b\mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle \nu >1}$
• この関数は、すべての^[5]に対して対数凹関数である。${\displaystyle a\mapsto 1-Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle b,\nu >0.}$

シリーズ表現

• 一般化されたマルカムQ関数は不完全ガンマ関数を使って次のように表される^{[7] [8] [9]}${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {\gamma (\nu +k,{\frac {b^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k)}}\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k},}$

ここで、 は下側不完全ガンマ関数です。これは通常、次一般化マーカムQ関数の標準表現と呼ばれます。${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle \nu }$

• 一般化されたマーカムQ関数は、一般化されたラゲール多項式を使って次のように表すこともできる^[9]${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {L_{k}^{(\nu -1)}({\frac {a^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {b^{2}}{2}}\right)^{k+\nu },}$

ここで、 次、 位の一般化ラゲール多項式です。${\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

• 一般化されたマーカムQ関数はノイマン級数展開としても表すことができる^{[4] [8]}${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =1-\nu }^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }I_{-\alpha }(ab),}$

${\displaystyle 1-Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =\nu }^{\infty }\left({\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }I_{\alpha }(ab),}$

ここで、合計は1ずつ増加します。 が整数値を仮定する場合、 となることに注意してください。${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle I_{\alpha }(ab)=I_{-\alpha }(ab)}$

• 非負の半整数値に対して、一般化マーカムQ関数の閉じた形式の表現は^{[8] [10]である。}${\displaystyle \nu =n+1/2}$

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right]+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k-1/2}I_{k-1/2}(ab),}$

ここでは相補誤差関数である。半整数パラメータを持つベッセル関数は有限和展開を持つため、^[4]${\displaystyle \mathrm {erfc} (\cdot )}$

${\displaystyle I_{\pm (n+0.5)}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!(n-k)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{z}\mp (-1)^{n}e^{-z}}{(2z)^{k+0.5}}}\right],}$

ここで、は非負整数であるので、半整数パラメータを持つ一般化マーカムQ関数を正確に表すことができる。より正確には、^[4]${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)=Q(b-a)+Q(b+a)+{\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{i}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {(i+k-1)!}{k!(i-k-1)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{-(a-b)^{2}/2}+(-1)^{i}e^{-(a+b)^{2}/2}}{(2ab)^{k}}}\right],}$

非負整数 に対して、 はガウスQ関数である。あるいは、半整数ベッセル関数を双曲線正弦関数と双曲線余弦関数の和としてより簡潔に表すこともできる。^[11]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(\cdot )}$

${\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2z}{\pi }}}\left[g_{n}(z)\sinh(z)+g_{-n-1}(z)\cosh(z)\right],}$

ここで、、 、 は任意の整数値 です。${\displaystyle g_{0}(z)=z^{-1}}$ ${\displaystyle g_{1}(z)=-z^{-2}}$ ${\displaystyle g_{n-1}(z)-g_{n+1}(z)=(2n+1)z^{-1}g_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$

再帰関係と生成関数

• 部分積分すると、一般化マーカムQ関数は次の再帰関係を満たすことがわかる^{[8] [10]}

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab).}$

• 上記の式は簡単に一般化できる^[10]

${\displaystyle Q_{\nu -n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{\nu -k}(ab),}$

${\displaystyle Q_{\nu +n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k}I_{\nu +k}(ab),}$

正の整数 に対しては、一般化マーカムQ関数 が成り立ちます。前者の漸化式は、負の に対しては、一般化マーカムQ関数 を正式に定義するために使用できます。 に対して およびをとると、一般化マーカムQ関数 のノイマン級数表現が得られます。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1}$ ${\displaystyle Q_{-\infty }(a,b)=0}$ ${\displaystyle n=\infty }$

• 関連する3項再帰関係は^[7]で与えられる。

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)-(1+c_{\nu }(a,b))Q_{\nu }(a,b)+c_{\nu }(a,b)Q_{\nu -1}(a,b)=0,}$

どこ

${\displaystyle c_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right){\frac {I_{\nu }(ab)}{I_{\nu +1}(ab)}}.}$

ベッセル関数の出現を消去すると、3次の再帰関係が得られる^[7]。

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}Q_{\nu +2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}}{2}}-\nu \right)Q_{\nu +1}(a,b)+\left({\frac {b^{2}}{2}}+\nu \right)Q_{\nu }(a,b)-{\frac {b^{2}}{2}}Q_{\nu -1}(a,b).}$

• これを導関数と関連付けたもう一つの再帰関係は次のように表される。

${\displaystyle Q_{\nu +1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b),}$

${\displaystyle Q_{\nu -1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b).}$

• の通常の積分生成関数は[ ^10]である。${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}Q_{n}(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}{\frac {t}{1-t}}e^{(b^{2}t+a^{2}/t)/2},}$

どこ${\displaystyle |t|<1.}$

対称関係

• 2つのノイマン級数表現を用いると、正の積分に対して次のような対称関係が得られる。${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)+Q_{n}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\left[I_{0}(ab)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {a^{2k}+b^{2k}}{(ab)^{k}}}I_{k}(ab)\right].}$

特に、私たちは${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle Q_{1}(a,b)+Q_{1}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{0}(ab).}$

特別な値

マルカムQ関数の具体的な値は^[6]

• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,0)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(a,+\infty )=0,}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(0,b)={\frac {\Gamma (\nu ,b^{2}/2)}{\Gamma (\nu )}},}$
• ${\displaystyle Q_{\nu }(+\infty ,b)=1,}$
• ${\displaystyle Q_{\infty }(a,b)=1,}$
• については、ノイマン級数表現の2つの形式を減算することにより、^[10]${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle Q_{1}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})],}$

これを再帰式と組み合わせると、

${\displaystyle Q_{n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]+e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n-1}I_{k}(a^{2}),}$

${\displaystyle Q_{-n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]-e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n}I_{k}(a^{2}),}$

任意の非負整数。${\displaystyle n}$

• については、一般化マーカムQ関数の基本的な積分定義を用いると、^{[8] [10]}${\displaystyle \nu =1/2}$

${\displaystyle Q_{1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

• については、${\displaystyle \nu =3/2}$

${\displaystyle Q_{3/2}(a,b)=Q_{1/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\sinh(ab)}{a}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

• なぜなら私たちは${\displaystyle \nu =5/2}$

${\displaystyle Q_{5/2}(a,b)=Q_{3/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {ab\cosh(ab)-\sinh(ab)}{a^{3}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.}$

漸近形式

• が固定かつ大きいと仮定すると、一般化されたMarcum-Q関数は次の漸近形を持つ^[7]。${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \zeta =a/b>0}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n},}$

ここで、${\displaystyle \psi _{n}}$

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {1}{2\zeta ^{\nu }{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{n}\left[A_{n}(\nu -1)-\zeta A_{n}(\nu )\right]\phi _{n}.}$

関数と関数は次のように与えられる。${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle \phi _{n}=\left[{\frac {(b-a)^{2}}{2ab}}\right]^{n-{\frac {1}{2}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n,{\frac {(b-a)^{2}}{2}}\right),}$

${\displaystyle A_{n}(\nu )={\frac {2^{-n}\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu +n)}{n!\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu -n)}}.}$

この関数は再帰を満たす${\displaystyle A_{n}(\nu )}$

${\displaystyle A_{n+1}(\nu )=-{\frac {(2n+1)^{2}-4\nu ^{2}}{8(n+1)}}A_{n}(\nu ),}$

および​${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle A_{0}(\nu )=1.}$

• 上記の漸近近似の最初の項では、

${\displaystyle \phi _{0}={\frac {\sqrt {2\pi ab}}{b-a}}\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right).}$

したがって、と仮定すると、一般化Marcum-Q関数の第一項の漸近近似は^{[7]である。}${\displaystyle b>a}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim \psi _{0}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(b-a),}$

ここではガウスQ関数である。ここで${\displaystyle Q(\cdot )}$ ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$ ${\displaystyle a\uparrow b.}$

の場合には、^[7]${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 1-\psi _{0}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(a-b).}$

ここでも${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5}$ ${\displaystyle a\downarrow b.}$

差別化

• の偏微分は^{[12] [13]}で与えられる。${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)=a\left[Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=a\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b)=b\left[Q_{\nu -1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=-b\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -1}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu -1}(ab).}$

2つの偏導関数は次のように関係づけられる。

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu +1}(a,b)=0.}$

• のn次偏微分は^[10]で与えられる。${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}Q_{\nu }(a,b)=n!(-a)^{n}\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {(-2a^{2})^{-k}}{k!(n-2k)!}}\sum _{p=0}^{n-k}(-1)^{p}{\binom {n-k}{p}}Q_{\nu +p}(a,b),}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial b^{n}}}Q_{\nu }(a,b)={\frac {n!a^{1-\nu }}{2^{n}b^{n-\nu +1}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=[n/2]}^{n}{\frac {(-2b^{2})^{k}}{(n-k)!(2k-n)!}}\sum _{p=0}^{k-1}{\binom {k-1}{p}}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{p}I_{\nu -p-1}(ab).}$

不平等

• 一般化されたMarcum-Q関数はTurán型不等式を満たす^[5]

${\displaystyle Q_{\nu }^{2}(a,b)>{\frac {Q_{\nu -1}(a,b)+Q_{\nu +1}(a,b)}{2}}>Q_{\nu -1}(a,b)Q_{\nu +1}(a,b)}$

すべてのおよびについて。${\displaystyle a\geq b>0}$ ${\displaystyle \nu >1}$

境界

単調性と対数凹性に基づく

一般化 Marcum-Q 関数のさまざまな上限と下限は、関数の単調性と対数凹性、およびが半整数値の ときに の閉じた形式表現が得られるという事実を使用して取得できます。${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle \nu }$

とを、それぞれ、実数を最も近い左半奇数と右半奇数に 写像する半整数丸め演算子のペアとすると、関係は次のようになる。${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}}$ ${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor _{0.5}=\lfloor x-0.5\rfloor +0.5}$

${\displaystyle \lceil x\rceil _{0.5}=\lceil x+0.5\rceil -0.5}$

ここで、およびは整数の床関数と天井関数を表します。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

• 全ての関数の単調性は次のような単純な境界を与える^{[14] [8] [15]}${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle Q_{\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}(a,b)<Q_{\nu }(a,b)<Q_{\lceil \nu \rceil _{0.5}}(a,b).}$

しかし、この境界の相対誤差は の場合にはゼロに近づかない。^[5]の整数値の場合、この境界は次のように減少する。${\displaystyle b\to \infty }$ ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n-0.5}(a,b)<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b).}$

整数値に対する一般化マルカムQ関数の非常に良い近似は、上限と下限の算術平均を取ることによって得られる^[15]${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\approx {\frac {Q_{n-0.5}(a,b)+Q_{n+0.5}(a,b)}{2}}.}$

• の対数凹性を利用することで、より厳密な境界を得ることができる[ ^5]${\displaystyle \nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$

${\displaystyle Q_{\nu _{1}}(a,b)^{\nu _{2}-v}Q_{\nu _{2}}(a,b)^{v-\nu _{1}}<Q_{\nu }(a,b)<{\frac {Q_{\nu _{2}}(a,b)^{\nu _{2}-\nu +1}}{Q_{\nu _{2}+1}(a,b)^{\nu _{2}-\nu }}},}$

ここで、に対して となる。この境界の厳密さは、または が増加するにつれて向上する。この境界の相対誤差は のときに0に収束する。^[5]の整数値に対して、この境界は次のように減少する。${\displaystyle \nu _{1}=\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}$ ${\displaystyle \nu _{2}=\lceil \nu \rceil _{0.5}}$ ${\displaystyle \nu \geq 1.5}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle b\to \infty }$ ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{n-0.5}(a,b)Q_{n+0.5}(a,b)}}<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b){\sqrt {\frac {Q_{n+0.5}(a,b)}{Q_{n+1.5}(a,b)}}}.}$

コーシー・シュワルツ境界

整数値の三角関数の積分表現を用いると、次のコーシー・シュワルツ境界が得られる^[3]。${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}},\qquad \zeta >1,}$

どこ。 ${\displaystyle \zeta =a/b>0}$

指数型境界

解析的な目的のためには、必ずしも最も厳密な境界値ではないとしても、単純な指数関数形式で境界値を求めることがしばしば有用である。 とすると、整数値 に対するそのような境界値の一つは ^{[16] [3]}で与えられる。${\displaystyle \zeta =a/b>0}$ ${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2}+{\frac {\zeta ^{1-n}-1}{\pi (1-\zeta )}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}-e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

のとき、境界は次のように簡略化される。 ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{1}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2},\qquad \zeta <1,}$

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right]\leq Q_{1}(a,b),\qquad \zeta >1.}$

^{コーシー・シュワルツ不等式によって得られるもう一つの境界は[3]}のように与えられる。

${\displaystyle e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1}$

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.}$

チェルノフ型境界

一般化マーカムQ関数のチェルノフ型境界は整数で与えられ、^{[16] [3]}${\displaystyle \nu =n}$

${\displaystyle (1-2\lambda )^{-n}\exp \left(-\lambda b^{2}+{\frac {\lambda na^{2}}{1-2\lambda }}\right)\geq \left\{{\begin{array}{lr}Q_{n}(a,b),&b^{2}>n(a^{2}+2)\\1-Q_{n}(a,b),&b^{2}<n(a^{2}+2)\end{array}}\right.}$

ここでチェルノフパラメータの最適 値は${\displaystyle (0<\lambda <1/2)}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {n}{b^{2}}}-{\frac {n}{b^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {(ab)^{2}}{n}}}}\right).}$

半線形近似

^{1次のMarcum-Q関数は[17]}によって半線形近似できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(a,b)={\begin{cases}1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b<c_{1}\\-\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)\left(b-\beta _{0}\right)+Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right),~~~~~\mathrm {if} ~c_{1}\leq b\leq c_{2}\\0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b>c_{2}\end{cases}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{0}={\frac {a+{\sqrt {a^{2}+2}}}{2}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(a)=\max {\Bigg (}0,\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)-1}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}(a)=\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}.\end{aligned}}}$

効率的な計算のための同等の形式

マーカムQ関数は次のように再表現できる^[18]。

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=Q_{N}({\sqrt {2NX}},{\sqrt {2Y}}).}$

は、正規化された検出閾値 を とする、一定の受信信号対雑音比 を持つ非干渉的に積分された受信信号サンプルの検出確率として解釈できる。この Marcum Q 関数の等価形式では、 および が与えられた場合、および となる。を表す式は多数存在する。しかし、数値計算において最も信頼性が高く、正確で、効率的な5つの式を以下に示す。それらは形式 1 である。^[18]${\displaystyle P_{N}(X,Y)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X=a^{2}/2N}$ ${\displaystyle Y=b^{2}/2}$ ${\displaystyle P_{N}(X,Y)}$

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}},}$

フォーム2：^[18]

${\displaystyle P_{N}(X,Y)=\sum _{m=0}^{N-1}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}+\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\left(1-\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\right),}$

フォーム3：^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}},}$

フォーム4：^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\left(1-\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\right),}$

そして5つ目を形成する：^[18]

${\displaystyle 1-P_{N}(X,Y)=e^{-(NX+Y)}\sum _{r=N}^{\infty }\left({\frac {Y}{NX}}\right)^{r/2}I_{r}(2{\sqrt {NXY}}).}$

これら5つの形態のうち、2番目の形態が最も堅牢である。^[18]

アプリケーション

一般化された Marcum Q 関数は、多くのランダム変数の累積分布関数 (cdf) を表すために使用できます。

• が速度パラメータ を持つ指数分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)}$
• が形状パラメータと速度パラメータを持つアーラン分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Erlang} (k,\lambda )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)}$
• が自由度を持つカイ二乗分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,{\sqrt {x}})}$
• が形状パラメータと速度パラメータを持つガンマ分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{\alpha }(0,{\sqrt {2\beta x}})}$
• が形状パラメータと尺度パラメータを持つワイブル分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (k,\lambda )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\frac {k}{2}}\right)}$
• がパラメータ を持つ一般化ガンマ分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {GG} (a,d,p)}$ ${\displaystyle a,d,p}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{\frac {d}{p}}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {p}{2}}\right)}$
• が非心パラメータと自由度を持つ非心カイ二乗分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})}$
• がパラメータ を持つレイリー分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)}$
• がパラメータ を持つマクスウェル・ボルツマン分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Maxwell} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{3/2}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)}$
• が自由度を持つカイ分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,x)}$
• が形状パラメータとして、広がりパラメータとして持つ仲上分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Nakagami} (m,\Omega )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{m}\left(0,{\sqrt {\frac {2m}{\Omega }}}x\right)}$
• がパラメータ と を持つライス分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \mathrm {Rice} (\nu ,\sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$
• が非心パラメータと自由度を持つ非心カイ分布である場合、その累積分布関数は次のように与えられる。${\displaystyle X\sim \chi _{k}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(\lambda ,x)}$

脚注

1. JI Marcum (1960). パルスレーダーによる目標検出の統計理論：数学的付録, IRE Trans. Inform. Theory, vol. 6, 59-267.
2. MK SimonとM.-S. Alouini (1998). 一般化フェージングチャネルにおけるデジタル通信の性能に対する統一的アプローチ, Proceedings of the IEEE , 86(9), 1860-1877.
3. A. Annamalai and C. Tellambura (2001). 一般化Marcum-Q関数のCauchy-Schwarz境界とその応用, Wireless Communications and Mobile Computing , 1(2), 243-253.
4. 実数階Mに対する一般化Marcum Q関数Q _M ( a , b )の単純な指数積分表現とその応用. 2008 IEEE Military Communications Conference , サンディエゴ, カリフォルニア州, 米国
5. Y. Sun, A. Baricz, S. Zhou (2010). 一般化MarcumおよびNuttall Q関数の単調性、対数凹性、および厳密な境界について. IEEE Transactions on Information Theory , 56(3), 1166–1186, ISSN  0018-9448
6. Y. Sun and A. Baricz (2008). 一般化Marcum Q関数の不等式.応用数学と計算203(2008) 134-141.
7. NM Temme (1993). 非心カイ二乗分布の漸近的および数値的側面. Computers Math. Applic. , 25(5), 55-63.
8. 分数階数Mを伴う一般化Marcum Q関数Q _M ( a ,  b )の新たな展開とその応用」2009年第6回IEEEコンシューマー通信・ネットワーキング会議、1–5、ISBN 978-1-4244-2308-8
9. S. Andras, A. Baricz, Y. Sun (2011) 一般化Marcum Q関数：直交多項式アプローチActa Univ. Sapientiae Mathematica , 3(1), 60-76.
10. YA Brychkov (2012). Marcum Q関数のいくつかの性質について.積分変換と特殊関数23(3), 177-182.
11. M. AbramowitzとIA Stegun (1972). 公式10.2.12, 修正球面ベッセル関数,数学関数ハンドブック, p. 443
12. WK Pratt (1968). MarcumのQ関数の偏微分. IEEE紀要, 56(7), 1220-1221.
13. R. Esposito (1968). MarcumのQ関数の偏微分に関するコメント. IEEE紀要, 56(12), 2195-2195.
14. VM Kapinas, SK Mihos, GK Karagiannidis (2009). 一般化MarcumおよびNuttal Q関数の単調性について. IEEE Transactions on Information Theory , 55(8), 3701-3710.
15. R. Li, PY Kam, H. Fu (2010). 一般化Marcum Q関数の幾何学的アプローチによる新しい表現と境界値、およびその応用. IEEE Trans. Commun. , 58(1), 157-169.
16. MK SimonとM.-S. Alouini (2000). 一般化Marcum Q関数の指数型境界とフェージングチャネルにおける誤り確率解析への応用. IEEE Trans. Commun. 48(3), 359-366.
17. H. Guo、B. Makki、M. -S. Alouini、T. Svensson、「予測アンテナシステムへの応用を伴う1次Marcum Q関数の半線形近似」、IEEE Open Journal of the Communications Society、vol. 2、pp. 273-286、2021年、doi: 10.1109/OJCOMS.2021.3056393。
18. DA Shnidman (1989). 検出確率の計算と一般化Marcum Q関数. IEEE Transactions on Information Theory, 35(2), 389-400.

参考文献

• Marcum, JI (1950)「Q関数表」アメリカ空軍RAND研究覚書M-339 . カリフォルニア州サンタモニカ：ランド・コーポレーション、1950年1月1日。
• ナットル、アルバート H. (1975): QM関数を含むいくつかの積分、IEEE Transactions on Information Theory、21(1)、95–96、ISSN  0018-9448
• Shnidman, David A. (1989):検出確率の計算と一般化Marcum Q関数、 IEEE Transactions on Information Theory、 35(2)、389–400。
• ワイスタイン、エリック・W・マーカム Q関数. MathWorld—Wolfram Webリソースより. [1]