マルクス・山部予想

数学において、マルクス＝山辺予想は、大域的漸近安定性に関する予想である。ある力学系の固定点におけるヤコビ行列がフルヴィッツ行列である場合、その固定点は漸近的に安定である。マルクス＝山辺予想は、同様の結果が大域的に成り立つかどうかを問うものである。正確には、この予想は、次元実ベクトル空間上の連続微分可能写像が固定点を持ち、そのヤコビ行列が至る所でフルヴィッツ行列である場合、その固定点は大域的に安定である、というものである。 ${\displaystyle n}$

この予想は2次元の場合に成立する。しかし、高次元においては反例が構築されている。したがって、2次元の場合に限り、マルクス・山辺の定理とも呼ばれる。

2次元以上の高次元に適用可能な大域漸近安定性に関する関連する数学的結果には、様々な自律収束定理が含まれる。スカラー非線形性を持つ非線形制御システムに対するこの予想の類似物は、カルマン予想として知られている。

推測の数学的表現

を、任意の に対してフルヴィッツ安定であるヤコビアンを含む写像とします。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

すると は、動的システムのグローバルアトラクターになります。${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

この予想は については真であり、 については一般に偽です。 ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n>2}$

参考文献

• マルクス・ローレンス；山辺英彦（1960）「微分システムの大域的安定性判定基準」大阪数学ジャーナル12 （ 2）：305-317。
• マイスターズ、ゲイリー (1996). 「マルクス・山辺予想の伝記」(PDF) . 2023年10月20日閲覧。
• グティエレス, カルロス (1995). 「二次元大域漸近安定性予想の解」. Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 12 ( 6): 627– 671. Bibcode :1995AIHPC..12..627G. doi : 10.1016/S0294-1449(16)30147-0 .
• フェスラー, ロバート (1995). 「2次元マルクス-山辺安定性予想の証明と一般化」. Annales Polonici Mathematici . 62 : 45–74 . doi : 10.4064/ap-62-1-45-74 .
• シーマ、アンナ。ファンデンエッセン、アルノ。ガスール、アルメンゴル。ハバーズ、エンゲルベルト。マニョサス、フランチェスク (1997)。 「マルクス・ヤマベ予想に対する多項式の反例」。数学の進歩。131 (2): 453–457 .土井: 10.1006/aima.1997.1673。hdl : 2066/112453。
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• Bragin, VO; Vagaitsev, VI; Kuznetsov, NV; Leonov, GA (2011). 「非線形システムにおける隠れた振動を発見するためのアルゴリズム．アイザーマン予想とカルマン予想，そしてチュアの回路」．Journal of Computer and Systems Sciences International . 50 (5): 511– 543. doi :10.1134/S106423071104006X. S2CID  21657305.
• Leonov, GA; Kuznetsov, NV (2013). 「力学系における隠れたアトラクター．ヒルベルト・コルモゴロフ問題，アイザーマン問題，カルマン問題における隠れた振動からチュア回路における隠れたカオスアトラクターまで」．International Journal of Bifurcation and Chaos . 23 (1): 1330002– 1330219. Bibcode :2013IJBC...2330002L. doi : 10.1142/S0218127413300024 .