マルチンゲール中心極限定理

確率論において、中心極限定理は、ある条件下では、多数の独立かつ同一分布に従う確率変数の和は、適切に尺度調整された場合、分布において標準正規分布に収束することを述べています。マルチンゲール中心極限定理は、この確率変数に関する結果をマルチンゲールに一般化したものです。マルチンゲールとは、時刻tから時刻t  + 1までの過程の値の変化が、以前の結果に左右されても期待値がゼロとなる確率過程です。

声明

マルチンゲール中心極限定理の簡単なバージョンは次のようになります。 を 境界付き増分を持つマルチンゲールとします。つまり、 X1、X2、…{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}

E⁡[Xt+1−Xt|X1、…、Xt]＝0、{\displaystyle \operatorname {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}

そして

|Xt+1−Xt|≤け{\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}

ある固定された境界kとすべてのtに対してほぼ確実に成り立つ。また、ほぼ確実に成り立つと仮定する。 |X1|≤け{\displaystyle |X_{1}|\leq k}

定義する

σt2＝E⁡[（Xt+1−Xt）2|X1、…、Xt]、{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}

そして

τν＝分{t:∑私＝1tσ私2≥ν}。{\displaystyle \tau_{\nu}=\min\left\{t:\sum_{i=1}^{t}\sigma_{i}^{2}\geq\nu\right\}.}

それから

Xτνν{\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}

は平均0、分散1の正規分布に収束する。より具体的には、 ν→+∞{\displaystyle \nu \to +\infty \!}

リムν→+∞P⁡（Xτνν<×）＝Φ（×）＝12π∫−∞×経験⁡（−あなた22）dあなた、×∈R。{\displaystyle \lim _{\nu \to +\infty }\operatorname {P} \left({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}x\right)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}

分散の合計は無限大に発散しなければならない

上記の結果の記述では、分散の合計が無限大になることを暗黙的に想定しているため、次の式が確率 1 で成り立ちます。

∑t＝1∞σt2＝∞{\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }

これにより、確率 1 で次のことが保証されます。

τν<∞、たν≥0{\displaystyle \tau _{\nu }<\infty ,\forall \nu \geq 0}

この条件は、たとえば、常にほぼ確実にゼロになるように定義されたマルチンゲールによって違反されます。

結果に対する直感

比率を合計として記述すると、結果は直感的に理解できます。

Xτνν＝X1ν+1ν∑私＝1τν−1（X私+1−X私）、たτν≥1{\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {\nu }}}+{\frac {1}{\sqrt {\nu }}}\sum _{i=1}^{\tau _{\nu }-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{\nu }\geq 1}

右辺の第1項は漸近的にゼロに収束しますが、第2項は、より単純なiid確率変数の場合の中心極限定理の和公式と定性的に類似しています。上記の式の項は必ずしもiidではありませんが、無相関であり、平均はゼロです。実際、

E[（X私+1−X私）]＝0、た私∈{1、2、3、。。。}{\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\forall i\in \{1,2,3,...\}}
E[（X私+1−X私）（Xj+1−Xj）]＝0、た私≠j、私、j∈{1、2、3、。。。}{\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})]=0,\forall i\neq j,i,j\in \{1,2,3,...\}}

参考文献

マルチンゲール中心極限定理の他の多くのバリエーションは、次の場所で見つけることができます。

  • ホール、ピーター; ハイデ、C.C. (1980).マルチンゲール極限理論とその応用. ニューヨーク: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-319350-8。

ただし、Hall & Heydeの定理5.4の証明には誤りが含まれていることに注意する必要がある。詳細については、

  • ブラッドリー、リチャード (1988). 「MI Gordinのいくつかの結果について：誤解の解明」.理論確率ジャーナル. 1 (2). シュプリンガー: 115–119 . doi : 10.1007/BF01046930 . S2CID  120698528 .
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