マルチンゲール表現定理

確率論において、マルチンゲール表現定理は、ブラウン運動によって生成される濾過に関して測定可能な有限分散を持つランダム変数は、このブラウン運動に関する イトー積分で表すことができるということを述べています。

この定理は表現の存在を主張するだけで、それを明示的に見つけるのには役立ちません。多くの場合、マリアヴァン計算を使用して表現の形式を決定することが可能です。

同様の定理は、ジャンププロセス、たとえばマルコフ連鎖によって誘導されるフィルタリング上のマルチンゲールにも存在します。

声明

を標準フィルタリングされた確率空間上のブラウン運動とし、をによって生成された拡張フィルタリングとする。X が に関して測定可能な平方積分可能な確率変数である場合、に関して適応される予測可能なプロセスCが存在し、 ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}$

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}$

その結果、

${\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}$

金融への応用

マルチンゲール表現定理は、ヘッジ戦略の存在を証明するために用いられる。Q-マルチンゲール過程 を仮定し、そのボラティリティは常に非ゼロとする。そして、 が他のQ-マルチンゲールである場合、測度0の集合を除いて一意で、確率1でNが次のように表されるよう な、 -予測可能な過程 が存在する。${\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty}}$ ${\displaystyle \sigma_{t}}$ ${\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }$

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}$

複製戦略は次のように定義されます。

• 時刻tに株式を保有し、${\displaystyle \varphi _{t}}$
• 債券のユニットを保有する。${\displaystyle \psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}}$

ここで、 は債券価格を時点 まで割り引いた株価であり、は時点 におけるオプションの期待収益です。 ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle t}$

満期日Tにおけるポートフォリオの価値は次のようになります。

${\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

そして、この戦略が自己資金調達的であることは簡単に確認できます。ポートフォリオの価値の変化は、資産価格の変化にのみ左右されるからです。 ${\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}$

参照

• 後方確率微分方程式

参考文献

• モンタン、ベノワ（2002）「金融における確率過程の応用」
• Elliott, Robert (1976) 「部分的にアクセス可能なジャンプ時間を持つジャンプ プロセスのマルチンゲールの確率積分」、Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete、36、213–226